高职单招单考复习用书数学点对点精准突破考点64：二面角

1、考点64二面角【考点分析】.考试要求了解半平面、二面角、直二面角的概念，理解二面角的平面角的概念，能求二面角的平 面角.考情分析面面角为近几年的重要考点，也是一个难点，以解答题形式为主，分值约为2 7分，主要考查二面角的平面角的求值.知识清单(1)二面角的相关定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面；(2)二面角平面角定义：过棱上的一点，分别在二面角的两个面内作与棱垂直的射线，以这两条射线为边的最小正角，叫做二面角的平面角；(3)二面角平面角的取值范围是0 w 180，当二面角的两个半平面重合时，规定二面角为0；当二面角的两个半

2、平面合成一个平面时，规定二面角为180;当两个半平面垂直时，规定二面角的大小为90 .棱上一点双垂线法：如图(1)在棱上任取一点 O,过这点在这两个平面内分别引棱的垂线OA,OB, AOB就是二面角的平面角；面上一点 三垂线法：如图(2)自二面角的一个面上一点 A向另外一个面引垂线AB,过B作OB 1,连接AO, AOB就是二面角的平面角；空间一点垂面法：如图(3)若1, AOB就是二面角的平面角；【精确诊断】1.正方体ABCD ABGD中，平面ABC1D1与平面ABCD所成的角为(A. 30B.45C.60D.902.正四棱锥的侧棱长为则侧面与底面所成角的余弦值【答案】15 .153. (2

3、014 年第 32 题)(1)画出底面边长为意图；(2)由作出的正四棱锥4cm,高为2 cm的正四棱锥ABCD的示【答案】(1)作图如下:P ABCD求二面角PAB(2)如图所示，取 AB的中点M,底面的中心C的大小.O, PM AB,BC / OM ,OMAB,PMO即为二面角AB C的平面角，由题意可得 tanPMO2 r 一一一 一一,、万1,即二面角P AB C的度数为45.【精准突破】题型1双垂线法型例1如图，正方体ABCDABQiDi中，求平面 ADQ与平面ABCD所成角的正切值.【思路点拨】求面面角的关键是找棱的垂线，都是等腰三角形,可以取中点用三线合一.【问题解答】解：如图，连

4、接 BD交AC于点O ,由正方体性质易得 AD DC, AD1D1cDO AC, D1O ACDO 平面 ABCD ,D1O 平面 AD1GD1OD就是所求的角，不妨设正方体的棱长为2,则RtA D1OD 中，DD12, DO V2,AB题型2 三垂线法型例2 如图所示，DA 平面ABC,在RtA ABC中，BAC=90 ,3, AC 4, AD 4,求二面角D BC A的平面角的正切值.在 RtA ABC 中，由 BAC=90 , ABtan D1OD= 2.【变式1】正方体ABCD A181c1D1中，二面角D AD C的平面角的余弦值【变式 2】正方体 ABCD ABiCiDi中，求平面

5、 A1DC1与平面 ADD1A所成的角正弦【思路点拨】线面垂直考虑三垂线法.【问题解答】解：过 A作AELBC,连接DE,-DA 平面 ABC, DA BC,又 v DA AE A, BC DE即DEA就是所求的角， TOC o 1-5 h z 一 一一.r _123, AC 4,勿信 AE=,5AD 5 5tan DEA=不，即所求的角正切值为 -.E 33【变式】如图所示 ，PA 平面ABCD ,且ABCD是矩形AB 2, AD 2& AP 3,求二面角P BD A的平面角的 正切值.【答案】过A作AFLBD,连接PF , 丫 PA 平面 AC, PA BD,又PAnAF A, BD PF

6、,即PFA就是所求的角，由 BAD=90 , AB 2, AD 2 而易得 AF = tan PFA 鬓=点，即所求的角正切值为百. r题型3垂面法型例3 如图所示，SA 平面ABC, AB BC,SA AB3面角C SA B的平面角的大小.【思路点拨】线面垂直中的线恰好是该二面角的棱，考虑垂面法【问题解答】解： SA 平面ABC, SA AB ,SA AC,BAC就是所求的角，“AB BC, AB BC,BAC 45 ,即二面角C SA B的平面角的大小为 45 .【变式】题目如例题，则 S BC A的平面角的大小为 【答案】45 .题型4面面角已知型例4如图，在平面角为60的二面角-l-内

7、有一点P,过P作PC 交于点C, PD 于点D,且PC 1, PD 2,则线段CD的长为_一【答案】7.【变式】平面角为 60的二面角 -l-内有一点P,且P到两个半平面的距离都等于 6,则点PU棱l的距离为.【答案】12.【反思提升】.思想方法(1)解题关键是找棱的垂线，然后证明所求角，首先考虑现有的垂线，再考虑添辅助 线或找垂面.(2)抽象二面角 -l-可直接用长方形折纸模型.误区指津(1)面面角找到一定要说明.(2)要注意取值范围，有钝角 .【精细训练】考点64二面角A基础训练、选择题1.正方体ABCDABiCDi中，二面角 A BD A1的平面角的正切值为（得 C. 2 D.-62.若

8、二面角-l-的大小为60 ,其中内有一点P,且点P到棱l为2，3 ,则P到距离的距离为（）A. 1 B.2 C.2.3D. 3【答案】D.3.在正四棱锥 P ABCD中,PA 2底AB 4,二面角P AB C的大小为（A. 30 B. 45 C. 60【答案】C.D. 90则二面角P BC A4个6.如图所示，四边形 ABCD为正方形,PA 平面 ABCD ,PA AB 2 则.如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上任一点, 的平面角为（）.A. ABP B. ACP C. PAC D.者 B 不是【答案】B.把正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角，对于下列结论： AC BD;

9、ABCD为等边三角形； AD与AB所成角为60 ; 1 ,AD与平面ABC所成角的余弦值为 万，其中正确的个数为（）.A. 1 个 B. 2 个C.3 个D.【答案】C.平面PAD与平面ABCD所成的角为平面PBC与平面BCD所成的角为平面PBD与平面ABCD所成的角的正切值为.【答案】90 ；45 ； 2.在正三柱 ABC AB1C1中，已知 AB=2, AA| 3,则二面角 A BC A的大小.已知斜坡面和水平面所成的二面角的大小为45 ,某人沿坡面内一条直线与坡脚成、填空题60的直线前进160米，则升高 米.【答案】40 6三、解答题9.在正方体 ABCD AB1C1D1的棱长为2,求二

10、面角 D1 AC【答案】如图，连接 BD交AC于点O,由正方体性质易得 AB BC, AD1 D1cBO AC, D1O AC ,BO 平面 ABCD,D1O 平面 AD1C,B的平面角的余弦值B所以由余弦定理得cos DiOBOB2 D1O2 BD2-2 OB D1OOD法一：Rt D1DO 中，cos DiOD 西cos D1OBcos D1OD10. (2015年第33题)在长为 a正方体 ABCD分成两部分；求：(1)直线GB与平面AD1C所成的角；(2)平面CQ与平面AD1C所成二面角的余弦值(3)两部分中体积大的部分的体积.A B1C1D1中，平面ADQ把正方体【答案】(1)由CB

11、/ AD1, AD1 平面AD1C ,易得CB II平面AD1C所以所求角为 0 ；(2)连ZCD1 ,C1 D相交于点O,连结AO,易知平面C1D与平面 AD1C所成二面角的为 AOD或其补角.Rt ADO中，AD a, DO ga,AOAD2 DO2 咚 a ,故OD 3cos AOD,即平面CD与平面AD1c所成二面角的余弦值为O33T 3T或三；111(3)V*s aDDd a a一铤 BADC 33adc 13 2a a136a,故两部分中体积大 3135 3的部分的体积为V正方彳V ADC a 6a 6a .B提升训练1.空间三条射线 PA, PB,PC不共面，若 APC APB45 , BPC 60 ,则二面角DiOB就是所求的角，由题知：OB & DiO=；6, DB 2后B PA C的大小是【答案】90 .在长方形 ABCD中，若AB 葬cm, BC 1 cm,沿对角线BD折成直二面角，则A到C 的距离是.10cm.22, BC 3, PB 6,求