弹簧振子周期影响因素

1、(4)(5)（南京210096）摘要：本文研究了弹簧质量对弹簧振子系统周期的影响，分析了不同方法近似成立的条件并对计算结果进行了讨论。并且通过对弹簧振子研究的进一步探析，发现如果弹簧的形状不是几何对称,即使用相同的方法对弹簧两端分别挂测，其质量对周期公式产生的影响也是不同的。从而发现弹簧振子的周期与其重心位置也是有关的。关键词：弹簧振子；周期；质量；重心Springvibratorcycleimpactfactors(InformationscienceandengineeringcollegeofSoutheastUniversity,Nanjing,210096)Abstract:This

2、paperstudiesthequalityofspringspringvibrationsubsystemtheinfluenceofthecycle,andanalyzesonthedifferentmethodsofapproximateestablishedconditionandthecalculationresultsarediscussed.Andthroughthespringvibratorfurtheranalysis,foundthatiftheshapeofthespringisnotsymmetricalgeometric,thatis,usingthesamemet

3、hodofspringendshangseparatelymeasured,itsqualitytocycletheimpactoftheformulaisalsodifferent.Springvibratortofindthecycleofbarycenterpositionisalsorelatedwith.keywords:springvibrator;cycle;quality;focus人们在讨论弹簧振子的振动情况时，往往忽略弹簧本身的质量。实际弹簧振子由质量为m、劲度系数为k的弹簧和连接于弹簧一端的质量为M的振动物体组成。由于弹簧本身有质量，这种弹簧振子不是理想振子，它的振动周期

4、与弹簧的质量有着密切的联系。当我们把这种影响仅归于质量因素时，振子的周期可以写成与弹簧有效质量有关的表达式。而且质量一定，形状不规则的弹簧，其运动周期还与他的形状及重心相关。作者简介：实验回顾在“弹簧振子周期公式研究”的实验中，最后的课题探究采用控制变量的方法，控制振子质量M不变，研究弹簧自身质量m对弹簧振子振动周期的影响。测得的数据见表1。弹簧编号12345弹簧劲度系数k/6.6856.3435.0184.0573.478tT30T/s118.0418.4720.8823.3825.33217.9918.5620.8923.2925.34317.9218.5120.8523.3325.35平

5、均17.9818.5121.8723.3425.35周期T/s0.59970.61720.69620.77800.8450T2k/4-n20.06090.06120.06160.06220.0629弹簧质量5.486.447.629.6511.59表1弹簧振子周期与质量的关系分析弹簧质量对振动周期的影响2.1利用机械能守恒法进行分析如图2所示,设弹簧未形变时的长度为二,此时弹簧单位长度的质量为I二二二。设弹簧质量m比振动物体的质量M小,以至于弹簧质量对弹簧振子的振型没有影响。近似地,可以假定弹簧各截面的位移是按线性规律变化的，因此，离弹簧固定端距离为u的截面的位移为二二：:二：匕其中,x为振动

6、物体离开弹簧平衡位置0的位移。不计各种阻力引起的能量损耗,弹簧振子系统的能量守恒。用Origin软件作出-飞一二：图像，并进行线性分析。图2弹簧振子示意图00630-00625-00620-Y=A+B*XParameter00615-00610-LinearFitofBook9JValueError0.059110.324375.35304E-50.00633弹簧的动能振动物体的动能(1)(3)00050006000700080009001000110012mO(2)图厂一-图像由Origin软件线性分析的到B=0.324370.00633。可见如果考虑弹簧质量，弹簧这子周期公式就不再简单的满

7、足公式-=那么弹簧质量是如何影弹簧振子系统的弹性势能Ep=kx2根据机械能守恒定律有卅+耳)/+扣宀常数将(4)式对时间求导，整理后得+二+kx=0响弹簧振子运动的呢。我想通过理论推导与实验的结合来进行一定的分析。2011大学生物理实验研究论文可以写成V45(13)与谐振子的动力学方程比较得弹簧振子系统的周期为T=2(M+Y)/k?2可见，当考虑弹簧质量m,且在m比M小时，弹簧振子的运动仍可认为是谐振动，但计算周期时要把弹簧质量的1/3加到M上去，再按不考虑弹簧质量时的周期计算公式计算即可。探究实验中求得的B=0.324370.00633。其误差为|-0.32437|X100%二2.689%误

8、差5%，在误差允许范围内，可以认为两者相等。2.2利用迭代法进行分析设弹簧的匝数为N，实际弹簧振子的运动可以归结为不同圆频率谐振动的合成，即将式(9)代入式(8)中有cot(an+mi)=cotan=Y(an+htt)利用级数展开式式(12)通过分析发现，对固定的Y值，n=0对应的基频-:的振幅占绝对优势，高频振动的振幅随频率的增大而迅速减小(比如，Y=1时,-；二=98%)。因此，为简单起见，只讨论n=0时弹簧振子的周期。取式(13)右边前两项易得(14)X：N.=工n=且使工扎=1tl=0再取初值一；代人式(14)迭代，有由参考文献3知2sir2(an+nn)an+HTijan+jiti)

9、+isin2+】:町(7)其中5(n=0,1,2,)是为了描述动态劲度系数和有效质量一而引入的一系列参数，它们由弹簧振子的本征方程：；=，=：(8)和本征值PL=(an+nn)/N决定。振动物体的各阶振动周期为Tr.=2Jr(M+betlm)/k(9)(10)V+3-|l+45y+1/3；代人式(11)可得11b=b=3+,5(v+1/3)因此迭代法近似得到基频振动的周期为To=2jtM+bm)/kL(15)(16)(17)b由式(16)给出，只与振动物体质量和弹簧质量之比Y有关。式(17)把弹簧质量对振动周期的影响归结为有效质量.，很容易就能求出基频振动周期。其中ben=(an+nn)-2-

10、X2.3对两种分析方法的讨论(1)比较两种不同方法知道,从机械能守恒定律出发,计算过程简单清晰,而迭代法过程稍为复杂,但能得到更准确且带有普遍意义的结果。机械能守恒近似法中假定弹簧各截面的位移按线性规律变化，或者说(11)此时弹簧的动能(19)图3研究示意图是弹簧各个匝数之间变化均匀，相当于要求弹簧各向均匀同性。因为弹簧的一端固定，另一端系一振动物体，振动物体振动状态的任何变化都能够同时传递到弹簧的各个部分，必然要求弹簧的质量m比振动物体的质量M小得多。事实上，比较式(6)，式(17)可知，前者正是后者在Y8时的极限情形。(2)特别地,如果弹簧的质量m和振动物体的质量M相等，即式(17)中丫=

11、1,两种方法得到的振动周期比0.9938显然，使用机械能守恒近似法已经是很好的近似，而不必要求Y1或Y8，也可以不考虑其它高频振动的影响。(3)注意到机械能守恒近似法中我们还假设弹簧单位长度的质量:=-：是常数，事实上弹簧振动时弹簧单位长度的质量入随x的变化而变化，即(18)和式(1)结果相同，因此弹簧单位长度的质量入随x变化不影响计算结果。由上文的式(17)已知一沖，将其改写为4n24ti2二bm+bl(20)令y=：,x=M,A二二,，则y=a+bx，从n组:值，可求得A,B的值，从而求得b的值(21)B的不确定度U(b)=b(警尸+詈尸+住严阡弹簧重心对周期公式的影响3.1问题提出与理论

12、分析上文讨论的都是柱形弹簧的质量对其振动周期的影响，那么对于形状不对称的弹簧，其重心会不会也是影响振动周期的因素呢？我想通过对锥形弹簧的相关测定来验证我的猜想。研究示意图见图3。3.2测量锥形弹簧正挂时的b值首先测量弹簧的质量m=12.65g,其次测量弹簧下端悬挂不同负载M时的周期的周期T,共测3组，用秒表测量连续振动50次的时间t,测量数据见表2。砝码编号12345振子质量M/严一浊)1.012.303.324.335.3150T/s150.7653.1856.1958.7461.10249.5653.4156.5258.8961.19350.2853.6556.4058.7061.21平均

13、50.2053.4256.3758.7861.172011大学生物理实验研究论文周期T/s1.0041.06831.12741.17551.0081.14131.27101.38181.2233表2弹簧正挂周期测量数据使用Origin软件作出一二图像。Y=A+B*XParameteri.o=M/gT098487ValueError088745000697011440.001945砝F码编号12345振子质量M(10-akg)1.012.303.324.335.3150T/s138.6143.1046.3249.3152.16238.5843.1246.2849.3052.11338.7043.

14、1446.3649.3552.03平均38.6343.1246.3249.3252.10周期T/s0.77260.86270.92640.98641.0419Ta0.59690.74430.85820.97301.08561.496表3弹簧反挂周期测量数据图4弹簧正挂一二图像用Origin分析得到A=0.887450.00697B=0.11440.0019,u(A)=0.00697,u(B)=0.00194使用Origin软件作出丁一二图像。T0.57902A0.S8745.b=Bm=0.1144x12.65=6132天平的仪器误差一川=u(B)u(m).1,1-1.00.90.80.70.6

15、-Y=A+B*XParameterValueErrorA048240.00101B0113462.80598E-4niii2345XAxisTitle0.6132X0.00697+0.88745-10.00194V*0.1144=0.0116结果:b=0.6130.0113.3测量锥形弹簧反挂时的b值步骤同上，测量数据表格如下图5弹簧反挂:一二图像用Origin分析得到A=0.48240.0010B=0.113460.0003,u(A)=0.00101,u(B)=0.0002805980.48240.11346X12.65=0.3361上述实验的两个b值显著不同,说明修正系数b不是普遍适应的常数,它不仅与弹簧的形状有关,而且还与弹簧振子系统重心的相对位置有关。0.3361XI0.00101+0.4S240.113460.000280598=0.0015结果:b=0.33610.00153.4讨论与思考对于同一