薄壳几何方程的简化课件

1、弹性力学板壳理论 19章湖南大学力学系桶和水壶蛋壳天然壳体壳体的工程应用2湖南大学力学系国家大剧院香港国际会展中心3湖南大学力学系悉尼歌剧院火电厂冷凝塔4湖南大学力学系火箭外壳射电望远镜5湖南大学力学系19章 壳体一般理论19.1 曲线坐标与正交曲线坐标1. 直角坐标系与曲线坐标系引入曲线坐标原因：壳体表面弯曲，直角坐标系不方便度量（直尺、软绳选择的问题。）设直角坐标 可以用3个参数 表示：6湖南大学力学系将 代入（1）式，得到一条过 点的曲线 ：如果在某区域 内上式成立，且：那么，对于一点 ，必有唯一的参数值 与之对应 。为一一映射（一对一关系）；7湖南大学力学系同样以 , 代入或以 代入（

2、1）式可以得另外两条曲线:以这三条曲线为坐标线， 点为原点构成的坐标系称为曲线坐标系， 就是点在曲线坐标系的坐标。2. 拉密系数不同坐标系度量空间的单位度量一般不同（直角坐标系的长度；极坐标系的弧度加距离）。8湖南大学力学系在 坐标线上取微元 , 即 。直角坐标系下的单位度量与曲线坐标系的单位度量间有没有关系呢？ 面 面 面OPP19湖南大学力学系长度：10湖南大学力学系令则：可见直角坐标单位度量与曲线坐标单位度量相差一个因子 。同理考察 线， 线上的度量，得到11湖南大学力学系为：这三个系数称为拉密系数，它表征曲线坐标变化引起的直角坐标系中弧长的变化比例。一般它们也是 的函数，特殊情况下可能

3、是常数。12湖南大学力学系设 分别为 在 点的切向单位矢量 ，若 ，则切线相互垂直，此时曲线坐标 构成正交曲线坐标系。对于正交曲线坐标系，拉密系数作为 函数是相互关联的： 3. 正交曲线坐标设：为方便起见，13湖南大学力学系则（自然满足）此外，连续光滑曲面应有三阶以上连续导数，（与偏导顺序无关）将 表达式代入该式，并利用正交条件，可以得到以下高斯科达奇条件：14湖南大学力学系15湖南大学力学系目标：由几何变形推导出正应变 ，剪应变 与位移 间的关系。1. 曲率半径，曲率以 点为原点建立曲线坐标系，取微元 进行几何分析：19.2 正交曲线坐标中的弹性力学几何方程 交 于 点，则 曲率半径为 ，夹

4、角为16湖南大学力学系17湖南大学力学系曲率：同理可得其它5个曲率及曲率半径：18湖南大学力学系求 正应变 ，由3部分贡献组成。先考虑 对 的贡献：2. 正应变19湖南大学力学系 对 应变影响为（理解为 运动到了 位置 ）。 同理， 对 应变影响为：20湖南大学力学系其它两个正应变类似可得：21湖南大学力学系以直角 的剪应变 为例，此项剪应变系由 及 在 面内转角相加。 3. 剪应变（1） 的转角分为两部分，由于 （可以理解为： ， 相对 转角）22湖南大学力学系由于 ， 转角（理解为 ， 点切线相对 点切线转角，该转角与 相等）:（角度张大）23湖南大学力学系（2）同理， 的转角24湖南大学

5、力学系几何方程 ：25湖南大学力学系1. 壳 : 两个相距较近的曲面围成的几何体称为壳。 这两个曲面称为壳面； 2. 中面 : 与两壳面等距离的中间曲面称为中面。 3. 闭合壳体 ，开敞壳体 . 蒸汽锅炉 高压锅19.3 关于壳体的一些概念26湖南大学力学系4. 壳体理论的假定： (1) 垂直于中面方向的正应变忽略不计； (2) 中面法向线元变形前后保持为直线，且垂直于 中 面； (3) 与中面平行的截面上正应力对形变影响忽略不计； (4) 体力及面力均可化为作用于中面的荷载。 27湖南大学力学系薄壳：若壳体厚度 （中面），这个壳 称为薄壳。 特点及应用：相对薄板而言，能承受更大荷载。如飞机机

6、体，轮船壳。（鸟类的蛋、植物果实的外壳也是自然选择的结果）28湖南大学力学系一、概念1. 主曲率过中面 点的无数平面曲线中有一根曲线在M点的曲率最大；与之正交的另一根曲线，其曲率最小。过 点这两根曲线的曲率称为中面在 点的主曲率，记为 。主曲率半径：19.4 壳体的正交曲线坐标29湖南大学力学系2. 曲率主向：主曲率曲线在 点切线方向。3. 中面曲率线：中面上曲线若每点切线方向都是曲率主向，称曲率线。（例子：地球仪经、纬线即为曲率线）4. 壳体曲线坐标选取：取中面曲率线 为两坐标线，中面法线为 坐标线。30湖南大学力学系5. 拉密系数的中面表示中面点 的拉密系数用 ， 表示，即： 则 ， 仅为

7、 ， 的函数 。 由拉密系数定义知中面曲线 长度： 长度长度31湖南大学力学系对壳内任一点 ，由图1比例关系易知：将 ，及 代入上式 ，得：由于 为直线，故 即：同理有：(2)32湖南大学力学系6. 正交曲线坐标下壳体的高斯科达奇条件将该关系代入拉密系数相容方程(19-3) (19-4)，有以下结果： （19-3）前二式恒成立；第 三式成为：（高斯条件）(3a)33湖南大学力学系（19-4）第 三式恒成立；前二式成为：这两式表示：中面内拉密系数与主曲率之间关系，可用于简化计算。壳体理论以中面位移，中面形变及中面内力为讨论对象，有了中面解，根据任一点与中面点间位移，形变及内力的关系，就可容易求解

8、。下面章节将体现这种思想(科达奇条件)(3b)34湖南大学力学系目的：讨论壳体内点的位移与应变关系。（1）根据壳体理论法向应变为0的假设，即：利用（19-6）第三式，及 ，我们有： 即： 与 无关这表明壳体内各点沿 方向位移与 无关，可以统一表示为 。 19.5 壳体的几何方程35湖南大学力学系（2）根据壳体理论第（2）计算假定，有：由(19-6)中第5、4两式，并应用(19-9)，(19-10)式，得：36湖南大学力学系对 积分，并注意 与 无关，从而有：37湖南大学力学系令中面上 ， 为： ，上式变为：求解 ，得：(19-13)38湖南大学力学系这就将壳体任意点位移用中面位移表示出来了。将

9、(19-9)、(19-10)、(19-13)这些用中面位移、中面拉密系数表示的壳体位移和拉密系数代入几何方程(19-6)中剩下的1、2、6式中：39湖南大学力学系40湖南大学力学系这就把壳体任意点应变用中面应变表示出来了。（3）薄壳几何方程的简化：对于薄壳，厚度 与曲率半径 之比远小于1，而 ，故 , 因而： 从而 式简化为：41湖南大学力学系令：(19-15)42湖南大学力学系式可以表示为：因而 为中面内 方向的正应变， 为 方向的剪应变。而 为壳体内各点超出中面应变的那部分应变。将其与（13-6）式对比，可知 代表中面内各点主曲率 的改变， 为中面内扭率的改变。 43湖南大学力学系中面应变

10、（19-15）一经确定，则壳体内任意点应变可由（19-14）确定。因而以后主要研究中面应变与位移间关系（ 19-15 ），这也就是薄壳的几何方程。（注意已经使用薄壳假定）当然，对 ， 简化还有其它形式，书中提到符拉索夫，科尔摩诺夫的简化结果，对薄壳，这些简化结果之间差异不大。44湖南大学力学系内容：将壳体横截面上的应力向中面简化，得出壳体内力；并导出中面上壳体的物理方程。1. 中面内力截面应力： 共6个（ ，均不在横截面），向中面简化：19.6 壳体内力及物理方程45湖南大学力学系46湖南大学力学系面力 线分布力线分布力矩2. 如何简化：为例取 面上 处 微元，其弧长 ，中面弧长 故： 47湖

11、南大学力学系将 代入并简化，得:力矩:48湖南大学力学系同理得到其它3个薄膜力和5个平板内力与截面应力关系式，见式(a) 。虽然剪应力有互等关系, 但平错力 , 因为 一般不等于 ，同理 一般不等于 。 49湖南大学力学系3. 物理方程的中面内力, 中面应变表示变形体物理方程(不计 对应变影响,假设3)将(19-4)式应变的中面表示形式代入上式，然后将上式代入式( a)中，积分后得到内力与中面应变的关系式：50湖南大学力学系(19-18)51湖南大学力学系如果在(a)式中利用薄壳定义： 及 用1代替，则(19-18)中与 相关项可以略去, 得到: (19-19)这里 ,称为薄壳弯曲刚度。52湖

12、南大学力学系若中面内力已知，则可由(19-19)解出 ， ，然后代入应力-应变关系式(b)中，即可求出截面应力(1) 引起薄膜应力沿厚度方向均匀分布。(2) 引起弯扭应力沿厚度线性分布。(19-20)53湖南大学力学系至于横向剪应力 则可以套用板的小挠度弯曲公式, 即(13-14)第4, 5两式, 得:至于 ，可以直接忽略不计。54湖南大学力学系目标:建立壳体中面内力与荷载之间关系, 即:壳体平衡微分方程.为简明起见, 将内力画在一个图上, 弯矩、扭矩画于另一个图上。 为转化在中面面积上的外荷载。 19-7 壳体平衡微分方程55湖南大学力学系弯矩和扭矩：56湖南大学力学系列平衡方程，略去三阶以

13、上微量。(1) 由 及 得投影：(2) 由于 在 方向投影为 边上的拉压力在 点切线方向投影为： 57湖南大学力学系(3) 由于 ，在 边上的 有投影 : 58湖南大学力学系(4) 由于 ，及 有(5) 由于 ，在 边上， 有投影：(6) 由于 ，只有3阶以上投影，忽略。(7) 由于荷载 ：59湖南大学力学系将(a)-(f)式代入平衡方程，有：同理可得另外2个力的平衡方程及3个力矩平衡方程，得到(19-21)：60湖南大学力学系(19-21)61湖南大学力学系对于薄壳，可用 代替 ，故平衡方程(19-21)可化为：将物理方程代入后可知其为恒等式。故只剩下5个平衡方程。其中：62湖南大学力学系(

14、19-22)63湖南大学力学系该方程只关于内力 8个内力。另：几何方程6个(19-15)或(19-16)，中面位移3个。物理方程6个(19-19)，中面应变6个。平衡方程5个(19-22)，内力8个。 共17个方程，17个未知量，故理论上可解。64湖南大学力学系壳体边界：壳面、壳边；一般壳面无约束，壳面力已归入荷载中，故无位移和应力边界条件。一般只需考虑壳边上的条件。一、对于闭合壳体：由于 坐标线也闭合，而中面上任一点位移、形变、内力都是单值的，故是 的周期函数 。例：19.8 壳体的边界条件65湖南大学力学系二、壳体上具有垂直于 坐标线的壳边，则边界坐标： ，或 易表示，否则复杂得多。1.

15、位移边界条件 （以 边界为例）中面边界上点的位移 确定。此外由直法线假设，变形后中面法线绕 线转角 在边界上亦确定。注意到：故 ：66湖南大学力学系表示如下：如果边界为完全约束，则 均为0。同样可得 上的位移边界条件。67湖南大学力学系2. 内力边界条件（以 边界为例）类似于板的等效剪力，壳体边界上扭矩可以化为等效剪力和等效平错力。在微弧段 上，扭矩 可用一对力 代替。 而在 上，扭矩 亦可用一对力 表示。这里68湖南大学力学系在 点将两力向 方向投影，有： 这就是扭矩的等效剪力。另一方面，上述两个力在平错力 方向有投影：单位弧长总剪力：(19-24)69湖南大学力学系单位弧长总平错力：(19

16、-25)于是： 边界上内力边界条件可以表示为：将总剪力，总平错力代入：70湖南大学力学系对于完全不受约束和边界荷载的自由边，内力边界条件可简化为：(19-26)对于非完全约束，又非完全自由边界，可能既包含位移边界条件，也包含内力边界条件。71湖南大学力学系3. 简支边界条件： 完全约束，故 为0。 即：(19-27)72湖南大学力学系4. 固支边：（薄壳）在 边上， ，(19-23)可以简化为：73湖南大学力学系19.9 薄壳的无矩理论什么是无矩理论：假设壳体的所有横截面上弯矩、扭矩为0。一、基本方程在壳体平衡微分方程(19-22)中，令：(a)目的：简化壳体方程，方便计算。74湖南大学力学系

17、前三式为：(19-30)得到第(4)、(5)式:即剪力也为0。(b)75湖南大学力学系(c)物理方程(19-19)中，舍去与弯矩、扭矩有关的后三式，只保留前三式：76湖南大学力学系几何方程(19-15)中同样略去曲率，扭率的改变，保留前三式：(d)77湖南大学力学系从(c)、(d)方程中消去 得到无矩理论中的弹性方程：(19-31)该方程与平衡方程(19-30)一起有6个未知函数：内力： 中面位移：78湖南大学力学系 “总剪力为0”，“弯矩为0”这两种内力边界条件自然满足。另一方面：为了总剪力和弯矩等于0，位移条件中挠度为0和转角为0的条件必须放弃(否则有约束会导致 和 )。于是任何边界上只剩下两个边界条件：(1)、自由边