初中数学-方程思想解题实例

1、方程思想解题实例一、 知识梳理 方程思想是指从分析问题的数量关系入手，适当设定 未知数，把所研究的数学问题中已知 量 和未知量之间的数量关系，转化为方程 或方程组的数学模型，从而使问题得到 解决的 思维方法 方程思想的独特优势是使问题简单化，方便解题，我们在初中阶段陆续学习了一元一次方 程，二元一次方程（组） ，分式方程，一元二次方程，感受到了方程思想在解决实际问题中 的魅力。同样，方程思想在几何问题及函数问题中仍然有相当广泛的应用，我们会经常利 用到这些方程、方程组作为解题的工具 方程思想的本质是用设未知数 用未知量表示已知 量的方法，通过分析题中的等量关系，利用所学定理、性质等寻找出等量关

2、系。本专题主 要从几何中的方程思想及函数中的方程思想展开讨论。二、课堂案例讲练 几何中的方程思想 在几何中建立等量关系的常用方法有1 利用勾股定理建立等量关系；2 利用图形中的线段相等建立等量关系；3 利用图形中的相似三角形对应边成比例建立等量关系。4 利用三角形外角定理及三角形内角和建立等式（一） 利用勾股定理建立等量关系 例 1 如图所示，折叠长方形（四个角都是直角）的一边AD 使点 D 落在 BC 边的点 F 处，已知AB=DC=8cmAD=BC=10cm ，求 EC 的长BF 的长，利用勾股定理即可求解析： 想求得 EC 长，利用勾股定理计算，需求得FC 长，那么就需求出得 BF 长

3、解：设 EC 的长为 xcm ，DE= （8-x ）cm ADE 折叠后的图形是 AFE，AD=AF ， D= AFE ， DE=EF AD=BC=10cm ， AF=AD=10cm 又 AB=8cm ，在 RtABF 中，根据勾股定理，得 AB2+BF2=AF28 2+BF 2=10 2 BF=6cm FC=BC-BF=10-6=4cm 在 Rt EFC 中，根据勾股定理，得： FC 2+EC 2=EF 2 42+x2=（8-x）2，即 16+x 2=64-16x+x 2， 化简，得 16x=48 x=3 故 EC 的长为 3cm 前思后想：翻折中较复杂的计算，需找到翻折后相应的直角三角形，

4、利用勾股定理求解所需线段，另本题也可以利用三角形相似，及线段相等建立等量关系来解决 .课堂训练：1.有两张相同的矩形纸片，边长分别为2和 8，若将两张纸片交叉重叠，则得到重叠部分面积最小是 ，最大的是 .2. 动手操作：在一张长 12cm 、宽 5cm 的矩形纸片内，要折出一个菱形小颖同学按照取两组对边中点的 方法折出菱形 EFGH （见方案一） ，小明同学沿矩形的对角线 AC折出 CAE= CAD ， ACF= ACB 的 方法得到菱形 AECF （见方案二）1）你能说出小颖、小明所折出的菱形的理由吗？2）请你通过计算，比较小颖和小明同学的折法中，哪种菱形面积较大？（二） 利用三角形相似的性

5、质建立等量关系例 1： 有一块两直角边长分别为 3cm 和 4cm 的直角三角形铁皮，要利用它来裁剪一个正方形，有两种方 法：一种是正方形的一边在直角三角形的斜边上，另两个顶点在两条直角边上，如图（1）；另一种是一组邻边在直角三角形的两直角边上，另一个顶点在斜边上，如图（2）两种情形下正方形的面积哪个大？解析：（1 ）利用三角形的面积关系求出 AB 边上的高，再利用相似三角形的性质求出正方形的边长； （2 ）设出正方形的边长，再利用相似三角形的性质求出正方形的边长前思后想：（ 1 ）利用面积法求出直角三角形斜边上的高是解答此题的关键；（2 ）也可根据 ADE ACB 或BFE BCA 来解答

6、课堂训练：1. 如图，铁道口的栏杆 AB 的短臂0.85m 时，长臂端点 B 升高多少？ 下面是小明的解题过程：OA=1.25m ，长臂 OB=16.5m ，?当短臂端点 A? 下降如图，连接 AA， BB，因为 2，所以 AA? O BB =0.85，所以1.25 0.8516.5 BBAOAABOBBO，有AOAOBOBOAO=A O，BO=B O，所以又 1=，因为 AO=1.25 ， BO=16.5 ，AA，解得 BB=11.22，?即长臂端点 B 升高了 11.22m”你认为小明的解题过程正确吗？如果不正确，请写出你的答案2如图，在 矩形 FGHN 中，点 F、G 在边 BC 上，点

7、 N 、 H 分别在边 AB 、 AC 上，且 ADBC，垂足为 D，AD交 NH 于点 E，AD=8cm ，BC=2 4cm，NF：NH=1：2，求此 矩形的面积3. 如图 3，在梯形 ABCD 中， AD BC，AD 3，DC 5，AB 4 2，B 45 动点 M 从 B 点出发沿线段 BC 以每秒 2 个单位长度的速度向终点 C 运动；动点 N 同时 从 C 点出发沿线段 CD 以每秒 1 个单位长度的速度向终点 D 运动设运动的时间为 t 秒1）求 BC 的长2）试探究： t 为何值时， MNC 为等腰三角形三） 利用线段相等建立等量关系例 1. 如图，等腰梯形 ABCD中，ADBC，

8、AB=CD，AD=10cm，BC=30cm，动点 P从点 A 开始沿 AD 边向点 D 以每秒 1cm 的速度运动，同时动点 Q 从点 C开始沿 CB边向点 B 以每秒 3cm 的速度运动，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t 秒（1）t 为何值时，四边形 ABQP 是平行四边形？（2）四边形 ABQP 能成为等腰梯形吗？如果能，求出t 的值；如果不能，请说明理由解析：（1）当 AP=BQ 时，四边形 ABQP是平行四边形； （2）若四边形 ABQP 能成为等腰梯形，则一定要满足PD=CQ.解：（ 1）当 AP=BQ时，四边形 ABQP是平行四边形，而 AP=t1=；t

9、BQ=BC-CQ=30-t 3=30-3tt=30-3t 解之得： t=7.5（2）四边形 ABQP 能成为等腰梯形四边形 ABCD为等腰梯形AB=CD， B=C.若四边形 ABQP是等腰梯形则 AB=PQ， B=PQB, CD=PQ， C=PQB CD PQ四边形 PQCD为平行四边形 PD=CQ .而 PD=AD-AP=10-t 1=10-t； CQ=t3=3t,则 10-t=3t, 解得 t=2.5前思后想：做此类运动题时要先在图上画出符合题意的大致图象，然后设出未知量，根据 题意寻找等量关系，第( 2)问可这样思考：先逆向假设四边形ABQP能成为等腰梯形，则PD=CQ，建立相关的等式，

10、若能解出符合题意的值，则存在，然后再顺向写出过程 课堂训练：1. 如图，在直角梯形 ABCD 中， AD BC， C90， BC 16， DC 12， AD 21。 动点 P从点 D出发，沿射线 DA 的方向以每秒 2两个单位长的速度运动，动点 Q从点C 出发，在线段 CB 上以每秒 1 个单位长的速度向点 B 运动，点 P， Q 分别从点 D， C 同时出发，当点 Q 运动到点 B 时，点 P 随之停止运动。设运动的时间为 t(秒)。当 t 为何值时，以 B，P，Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形？2.如图，直角梯形 ABCD中， AD BC， ABC90，已知 AD AB 3，BC 4，动

11、点 P从 B 点出发，沿线段 BC向点 C作匀速运动；动点 Q从点 D 出发，沿线段 DA向点 A 作匀速运 动过 Q 点垂直于 AD 的射线交 AC于点 M，交 BC于点 N P、 Q两点同时出发，速度都为 每秒 1个单位长度当 Q点运动到 A 点， P、Q两点同时停止运动设点 Q运动的时间为 t 秒(1)求 NC、PN的长(用 t 的代数式表示 )；(2)当 t 为何值时，四边形 PCDQ构成平行四边形？当 t 为何值时，四边形 PCDQ构成等腰梯形？；是否存在某一时刻，使射线 QN 恰好将梯形 ABCD 的面积和 周长同时平分？若存在，求出此时 t 的值；若不存在，请说明 理由（四） 设

12、未知量求角度例 1：已知：如图所示，在 ABC 中， AB=AC ，D 为 AC 上一点，且 BD=BC ，E 为 AB 上一点，且（四） 设未知量求角度例 1：已知：如图所示，在 ABC 中， AB=AC ，D 为 AC 上一点，且 BD=BC ，E 为 AB 上一点，且AD=DE=EB ，那么 A 的度数是 度.解析： 设 EBD=x ，根据等边对等角得出 A= 2x， C= ABC=3x ，根据三角形内角 和定理得出 2x+3x+3x=180 ，所以 A=45 前思后想：等腰三角形中求某个角的度数时，通常都可以根据“三角形内角 和、三角形外角的性质、等腰三角形的性质” ，找出相应的等量关

13、系，通过列 方程解决此类问题。课堂练习：1.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30，则顶角的度数为 2.等腰三角形两角的度数之比为 4:1 ，其内角的度数分别为 .3.如图，在ABC 中， AB=AC ，点 D在AC上，且 BD=BC=AD ，则 A= 4. 如图，点 O 是等边ABC 内一点，连接 OA、OB、OC，将BOC 绕点 C 按顺时针 方向旋转 60得ADC ，连接 OD （ 1）求证： COD 是等边三角形； （ 2）若 OA=3 ，OC=4 ，OB=5 ，试判断AOD 的形状，并说明理由（3）若 AOB=110 ， BOC= ，请探究：当 为多少度时， AOD 是等腰三角形？

14、函数中的方程思想函数中的方程思想主要体现在： 1.求两个函数图象的交点 问题; 2.已知 y 的值，求相应 x的 值。例 1：解析：根据题意分别求出 A， B，C，D的坐标，再用 SACD-SBCD即可求出ABC 的面积前思后想：本题也可将 ABC 的面积分成两个三角形面积的和来求解 例 2 （2012 南京 ） 若反比例函数 y= k 与一次函数 y=x+2 的图象没有交点，则 k 的值可以是（ ）A.-2B.-1C.1D.2解析：函数图象交点问题都可以通过联立方程组（也就是利用两个函数值相等）来解决，此题联立方程后会得到一个一元二次方程，没有交点就意味着此方程无解，也就是判别式小于 0.解

15、：令=x+2, 得 x2+2x-k=0, 由两图象没有交点，可得此方程无解，即b2-4ac=4+4k0, 解得 k-1, 故选Ay1=y2 ，在所形成的一元二次0课堂练习：11. （2011 黄石 ）若一次函数 y=kx+1 的图象与反比例函数 y= 的图象没有公共点，则实数 k 的取值范x围是 2.一次函数图象 y=kx+2 与抛物线 y=2x 2+3x+1 的交点个数为 .3已知，如图，一次函数 y=2x+1 与反比例函数 y= k 交于 A,B 两点，其中点 A 的横坐标为 1. （1 ）求反比例函数 y= k 的解析式；（2）过点 A作y轴的平行线，过点 B作x轴的平行线，两平行线相交

16、于点 C，求 ABC 的面积.课后作业检测1.在ABC 中， A- C=35， B-A=5，求 B=.2.在ABC 中， AB=AC ， BD平分 ABC 交AC边于点 D， BDC=75，则 A的度数是3.如图， A=15， AB=BC=CD=DE=EF ，则 DEF=.4. 如图，已知第一象限内的图象是反比例函数 图象的一个分支，第二象限内的图象是 反比例函数 图象的一个分支，在 轴上方有一条平行于 轴的直线 与它们分别交于点 A、B，过点 A、B作 轴的垂线，垂足分别为 C、D.若四边形 ACDB 的周长为 8 且 ABAC，则点 A 的坐标是.（第 4 题） （图） （图）5.如图，在

17、梯形 ABCD 中， AD BC， A=60，动点 P 从 A 点出发，以 1cm/s 的速度 沿着 ABCD 的方向不停移动，直到点 P到达点 D 后才停止 .已知 PAD 的面积 S（单位：）与点 P移动的时间 t（单位： s）的函数关系式如图所示，则点P 从开始移动到停止移动一共用了 秒（结果保留根号） .6.如图，已知 ABC 中， AB AC 10厘米， BC 8厘米，点 D 为 AB 的中 点（1）如果点 P在线段 BC上以 3厘米/秒的速度由 B 点向 C点运动，同时，点 Q在线段 CA 上由 C 点向 A 点运动（1）若点 Q的运动速度与点 P的运动速度相等，经过 1秒后， B

18、PD与CQP 是否全等，请说明理由；若点 Q 的运动速度与点 P的运动速度不相等，当点 Q 的运动速度为多少时，能够使BPD 与 CQP 全等？2）若点 Q 以中的运动速度从点 C出发，点 P 以原来的运动速度从点 B 同时出发，都 逆时针沿 ABC三边运动，求经过多长时间点 P与点 Q 第一次在 ABC的哪条边上相AP点 N ，遇？ 7.（ 2012 江宁二 模） 数学实 验室： 小明取 出一张 矩形纸片 ABCD ，AD=C=5 ，Q后将2）如何折叠能够使 MNK 的面积最大？请你利用备用图探究可能出现的情况，求出AB=CD =25他先在矩形 ABCD 的边 AB 上取一点 M，接着在 C

19、D 上纸片沿 MN 折叠，使 MB与 DN 交于点 K，得到 MNK （如图）B最大值8全国第十届数学教育方法论暨 MM 课题实施 20 周年纪念活动于 9 月 27 在无锡市一中拉开帷幕与会 期间全国数十位老师上了精彩纷呈的展示课，其中青岛一位老师的“折纸 ”课，武汉的裴光亚教授评价是： 栩栩如生，五彩缤纷 ”课堂上老师提出这样一个问题：你能用手中的矩形纸片尽可能大的折出一个菱形 吗？有两位同学很快折出了各自不同的菱形，如下图：（1 ）如果该矩形纸片的长为 4，宽为 3，则图 1 、图 2 两图中的菱形面积分别为 .（2）这时老师说，这两位同学折出的菱形都不是最大的，聪明的你能够想出最大的菱

20、形应该怎样折出来 吗？如图 3 所示：在矩形 ABCD 中，设 AB=3 ，AD=4 ，请你在图中画出面积最大的菱形的示意图，标注 上适当的字母，并求出这个菱形的面积（3）借题发挥：如图 4，在矩形 ABCD 中， AB=2 ，AD=3 ，若折叠该矩形，使得点 D与 AB边的中点 E 重合，折痕交 AD 于点 F ，交 BC 于点 G，边 DC 折叠后与 BC 交于点 M 试求 EBM 的面积9.如图，在等腰梯形 ABCD 中， AD BC ，AB=CD=10 ， AD=6 ， BC=18 ， M是 CD的中点， P是BC 边 上的一动点（ P 与 B，C 不重合），连接 PM 并延长交 AD

21、 的延长线于 Q （1）当P在B，C之间运动到什么位置时，四边形 ABPQ 是平行四边形？请说明理由10.如图，在直角梯形 ABCD 中， A=90 ， AB CD ， AB=1 ， CD=6 。（1）若 AD=5 ，在线段 AD 上是否存在点 P，使得以点 P、A、B 为顶点的三角形和以点 P、C、D 为顶 点的三角形相似？若存在，这样的点 P 有几个？它们到点 A 的距离是多少？若不存在，请说明理由。（2 ）若设 AD=m ，在线段 AD 上存在唯一的一个点 P，使得以点 P、 A、 B 为顶点的三角形和以点 P、 C、 D 为顶点的三角形相似？求 m 的值。AB11. 如 图 ， 已 知

22、 直 线 y 1 x 1212y 2x2 bx c 与直线交于与 y 轴交于 点 A，与 x 轴交 于点 D，抛物 线A、E 两点，与 x轴交于 B、 C两点，且 B 点坐标为 （1 ，0）。求该抛物线的解析式；动点 P 在 x 轴上移动，当 PAE 是直角三角形 时，求点 P 的坐标 P。12. （ 2012 ?扬州）已知抛物线 y=ax 2+bx+c 经过 A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，直线 l 是抛 物线的对称轴（ 1）求抛物线的函数关系式；（ 2）设点 P 是直线 l 上的一个动点，当 PAC 的周长最小 时，求点 P 的坐标；（ 3）在直线 l 上是否存在点 M，使

23、 MAC 为等腰三角形？若存在，直接写出所有符 合条件的点 M 的坐标；若不存在，请说明理由t 10 2t 得 tt 10 2t 得 t答案：（一）利用勾股定理建立等量关系1. 4，1722. （1）略 （ 2）方案一： 30cm2方案二： 35.21 cm 2 , 方案二小明同学所折的菱形面积较大。（二）利用三角形相似的性质建立等量关系1. 不正确作 ACAB，B DAB， 所以 A CO=B DO=90， 又 1= 2，所以 OCA ODBACAOBDBO所以因为 A O=AO=1.25， B O=BO=16.5， A C=0.85 ，所以0.85 1.2516.5BD，解得 BD=11.22 ，即长臂端点 B 升高了 11.22m22.46.08 cm 23. （1） BC=10（2）分种情况 讨论 ：当 NC MC 时，如图 1， 由103当 MN NC 时，如图 2，过 N 作 NE MC 于 E2525A由等腰三角形三线合一性质得NCECDCHC即EC 60 或 120 2. 1