2022年MT高数专升本教案

1、* 用 2 号字,公式编辑器中,尺寸定义, （标准 12,下上标 7,次下上标 5,符号 18,次符 号 12）*2 ； 第一部分 函数, 极限和连续 一,函数的定义域,函数的特性 （有界性单调性奇偶性等） y 有界： f x M或 a f x b如： y sin x, y cos x,反三角函数 段 函 数 一 般 不 是 初 等 函 数 , 但 也 有 特 例 ； 如 说 明 ： 分 x x 0 x 2x x 0二,极限的概念与运算 1, 左极限： lim x x0 f x f x0 f x0 0 A, A 右极限： x lim f x x0 f x0 结论: lim f x A lim

2、f x x x0 x x0 2 , x lim f x A 和 x lim f x 结论: lim f x x A x lim f x f x0 lim x x0 A lim x 0 f x A f x A 三,极限的运算 1 ,无穷小与有界函数的乘积是无穷小；例 : lim x sin x x 0 2 , 0型 , lim x 1 2 x 2x 34x 3例: lim x 3 2 x 95x 第 1 页,共 31 页3 , 型 a x m1am例： lim x x 2 23x 2x 5 1, lim x a 0 x m nb0 x n2x n1 b1 x bn lim nn2 32n323n

3、3lim n22nn1 331 31 4 ,例: lim n 2 含数列之和 ,先求和 1n1 1 222n四,无穷小与无穷大 1 ,无穷小与无穷大的判别； 例： f x x 2 1何时是无穷小？何时是无穷大？是否有水平或铅直渐近线？ x 2x 何时是无穷小？何时是无穷大？是否有水平或铅直渐近线？ x 1练习： f x 2 ,无穷小的比较： lim x 0, lim x , lim x 1 x x x 五,两个重要极限 1 ,夹逼准就： 如 yn xn zn , lim yn nlim nzn a, lim nxn a第 2 页,共 31 页2 ,第一类重要极限： lim sin x 1x 0

4、 x 0特点： 1 型 2 含三角函数或反三角函数 0例: lim sin 3x x , 1lim tg 2x 3x lim sin 2x 3x cos2x , 1 22 lim sin 2x 3 2x cos2x 3lim 1cosx x 0 x 2 lim x 0 2 sinx 2 22 x , lim arcsinx x ,lim sin 3x sin 2x , lim sin x x 3 ,其次类重要极限 ： 1lim 1 x 1x x lim 1 x 0 x x e1特点： 1 底数:1 12 指数: 例:求 lim 1 六,函数的连续性 x 0 2x x , lim 1x x x

5、11 x 1 ,定义 x lim x0 f x f x0 第 3 页,共 31 页x x 0例 争辩函数 f x 在 x 0处的连续2x x 0 性； 2 , 函 数 的 间 断 点 不 连 续 点 ： 没 有 定 义 , lim f x x x0 不 存 在 , lim f x x x0 f x0 3 ,初等函数的连续性： 一切初等函数在定义区间内是连续的； 4 ,有界性与最大值最小值定理 5 ,零点定理 例 证明方程 3 x 2 4x 10在区间 0,1 内至少有一个6 ,介值定理 根 练习 : 1 ,判定函数 f x 2 x 3 2 x 3 的奇偶性； 1, 2 ,求极限： lim x

6、2 2x x 2 sin x cosx , lim 1 n, lim x x x 2 1111n, lim n3n1nn22n3nlim x 0 x x 113 ,求极限： lim nn111n12 11n 2 2 2 n 4 ,争辩极限： lim x 0 ex 1 e1 x ； ex e x sin x 5 ,求函数 y 2的连续区间；如有间断点,试指出间断点的类型； x x 6设 f x 的定义域为 0,1 ,就函数 第 4 页,共 31 页f x 1 4f x 1的定义域是 （ D ） 09 年 x bx . 4C 1 1 , 4 4 D 1 3 , 4 4 A 0,1 B 1 5 ,

7、4 4 7以下极限存在的是 （ B ） 09 年 A lim x x 1B lim 2 x x sin x 8. C lim n11n 2 D lim x 0 211； nx 如 lim an nk （ k 为常数）,就 lim a2n nk 9设函数 f x x e , x 00在 x 0处连ax, x 续, 就 a 1； 09 年 10 lim x x x 14 （ 05 年） 2 x 11 lim nn 2n n 35n 5（06 年） 12 设 lim x f x 1 ,就 lim f x 2 x f x = ； 13. 运算 lim x 0ex ex 2 09 年 2 x 14 设曲

8、线 y f x 在原点与曲线 y sin x 相切, 求 lim nn f 209 年 n15 求 极 限 lim x ax bx a（08 年） 第 5 页,共 31 页16. 求极限 lim n2n 5n 3 nn 7 n 7（08 年） 其次部分 一元函数微分学 一,导数的概念 1 ,定义： f x lim f x 0 x f x x 0 x lim f x f x0 x x0 x x0 例： 2 lim x 0 f 1 2 x 2x f 1 2 f 1 例 ： 设 函 数 y f x 在 点 x x0 处 可 导 , 就 lim h 0 f x 0 3h h f x 0 2h .（05

9、 年二） A f x0 , B3 f x 0 , C4 f x0 , D5 f x0 . 2 ,几何意义： 曲线 y f x 在 x0 处的切线斜率是导数 f x0 ； 3 ,可导与连续的关系 第 6 页,共 31 页例： f x 3xx 0处连续但不行二,导数的运算 在 导 1 ,函数的和,差,积,商求导 2 ,复合函数的求导 3 ,高阶导数 4 ,隐函数的导数 例 求由方程 ey 2 xy x e0 所确定的隐函数的导数 y ； 5 ,由参数方程所确定的函数的导数 设 x t dy t ,就有 t y dx t t d 2 y t 2 dx记法：（ dy t t dt）tdt,dx 三,微

10、分的运算 dy f xdx 四,中值定理：罗尔定理 拉格朗日中值定理 五,洛必达法就 x 例： 求 lim ex e, lim sin 2x x 0 sin x x 0 sin3x lim 1 x 10 型 x 0 x 0例： 求 x lim 2 e x 2 x x lim 2x ex x lim 例： lim x ln x0 型 x 0 ； 0型 2ex 第 7 页,共 31 页例： lim x x 1 x 1x 例： 求 lim x x 0 1 ln x ln N （ N e） 型 00型 六,单调性,极值,凹凸性,拐点判定（列表） 七,最大值与最小值 值 1 , f x 在 a, b上的

11、最大值和最小值 方法：比较驻点,不行导点与端点的函数 2 , f x 在 a, b 内的最大值和最小值（驻点唯独） 八,曲线的斜渐近线与垂直渐近线 y f x 的斜渐近线 y ax b： a lim f x ,b lim f x ax x x x 1 3 2例： 争辩函数 f x 3 x 2x 3x的单调性,极值,凹凸性,拐点； 例：（ 1）当 （ 2）当 x x 0时, e xx 1 x 3x 1 x 2 2 （单调性） （极值） 练习： 0时, 2xx y 1 ,设 e xy,求 y , 2 ,设 y 1 x ,求 y n 1 x 3 ,设 y ln1 e ,求 dy； 2 x 4 ,求函

12、数 y x x 1 的导数；（ 05 年二） 第 8 页,共 31 页y 2 x x x 1 exln x2x 1 在什么范畴 y exln x 2x 1 2ln x x 1 x2x 1 2 x x 12 x x 2x 1 ln x x 1 x2x 1 2 x x 15 ,设 f x x sin 1x x 0, （ 为实数）,试问 0 x 0时, （06 年二） （1 ） f x 在点x 0 连续；f x 在点 x 0可（2） 一元函数积分学 导. 第三部分 一,不定积分 1 ,不定积分的概念： d f xdx dx d f x dx dx f x,f x C2 ,基本积分公式（直接积分法）

13、3 ,第一类换元法（凑微分法） 例：运算以下积分： 第 9 页,共 31 页（ 1） 2 x dx；（2） cosx sin xdx；11 2 x 22 dx；（ 4） xe dx；3 ln x x dx ；（ 7） 2 x （ 3） x2 x （ 5） x 2 3x 12x 3dx ； 6 1 ee2cos2 x dx；（8） x 2 dx；x 1 x （ 9） 1dx；10 x 2 cos2xdx（ 11） x 42 x 2 x 4e x dx, （12） e x dx； 4 ,其次类换元法： （ 1 ）被积函数含 n ax b,令 n1 dx,x 1ax b 1t ； 例： 求 2dx

14、x x 3（ 2 ）被积函数含 a2 x2 , 令 x a sin t 224 x dx t 2； 例： 求 a 0 （ 3 ）被积函数含 x2 a2 ,令 x a tant 例： 求 （ 4 ）被积函数含 1 2 x x 2a a2 2dx a 0 ,令 x a sect 第 10 页,共 31 页例： 求 2 x 1a2dx a 0 5 ,分部积分法 （1 ）幂函数尽量不凑微分 例： 求 x cos xdx , x 2 ex dx, x2 ln xdx , x arctan xdx x cos xdx xd sin x x sin x sin xdx x 2 ln xdx 1 3 ln x

15、dx 3 1 3 x 3 ln x x 3 1 x dx n（2 ）单一函数： ln xdx,arccosxdx ln xdx 2 x ln x 2 2 x ln x 1 dx x x ln 2 x 2 ln xdx （3 ）求 x e sin xdx 6 ,一些简洁有理函数的积分； 例： 求 x 1dx 1 abx c dx 2 1 x 1 2 1 x dx 1 x x 12 x 1练习 第 11 页,共 31 页1, x11dx,x dx,x 2 2 1cos xdx,2 x 2x 3 cos1dx,3 x 2x 1dx 2 2, cosxdx,xdx dx,tan xdx,tan2xdx

16、,tan3xdx 3, 41dx,41x2 dx,14, 2 x 4x2 42 x dx 5, 1 dx 1 e 2 x 12 x dx 1edx （ 06 年二）, x 1 x 二,定积分 1e 2 x e 2 x dx（05 年二）, 2 x 1 e 2 x 2 x e2 x dx 1 d 1 e2 x dx 1 e 2 1 ex 2 x 3 1dx（08 年二） 1 ,定积分的概念： 定积分的定义及其几何意义 2 ,变上限的定积分 如 F x 如 F x 例： 求 lim x 0 x f tdt ,就 F x f x aa x f tdt ,就 F x f x x 1et 2 dt li

17、m x 0 cosx 1e dt cosx x2 x2 第 12 页,共 31 页lim x 0 ecos2 x sin x 2x 3 ,定积分的运算（牛顿一莱布尼茨公式,换元积分法,分部积分法） 例： 求 1 x2 11 3 x4 dx,32 x dx,02 x 1dx 0 x 2 4 ,无穷区间的广义积分 dx 例： 运算反常积分 , 1 x 5 ,平面图形的面积和旋转体的体积 1dx , x 2 1dx x2 A b a f 2 x f1 x dx V A b2 f x 2 f x dx a类似有： d 2 y 1 y dy, c 第 13 页,共 31 页V d 2 y 2 y dy

18、c 21练习： 1,运算以下积分： （3） 3 / 2 x 3 dx;sin x 1 x 2 2 dx; 1 x （4） 1x xe dx;1dx;4x dx 2（ 07 005 3 （ 6） 310 x 12（7） 0cos xdx;（8） 01 cos2xdx;9 ex ln x dx;1 / e 10设 f x 2 x , 1x 0 , 求 11f x dx.x 0 x 11（11） 2 x x 2exdx （05 年二） ; 0012dx（05 年一）, 02 xsin xdx （06 年二）, 22 x 年二）； 1 x 2 3x 0（12）运算 lim x 0 x t eet 2

19、dt 01 cos x （08 年二） 第 14 页,共 31 页n n2,证明：（ 1） sin xdx = 0 2 sin xdx 2x t sin nxdx 0sin ntdt 2 sin n tdt 2 sin nxdx 0 02 2n n1（ 2）设 I n 0 sin xdx,证明： I nn I n22 n 1（3）证明： 0 cos xdx 0, 0 cos 2n 1 xdx 0 2 cos 2n 1 xdx cos 2n 1 xdx 20 cos xdx 2 n 2 0 2 cos xdx 2n 0 cos 2n1 xdx 0 2 cos 2nxdx 2 cos 2n xdx

20、 3 ,求 y x, x 1 与 x 轴围成图形的面积,并求此图形分别 x轴和 y旋转所得的体积； 绕 轴 第四部分 无穷级数 一,数项级数 第 15 页,共 31 页1 ,数项级数 级数收敛的必要条件：如 un 收敛, bn 是（ ）. （ 05n1就 lim un n0例 几何级数 n 1 n1 aq aq 0 的收敛性 例： 级数 un 收敛的必要条件为 . （ 07 二 ） n1例：设级数 an 和级数 bn 都发散,就级数 an n1n1n1一） A 发散, B 条件收敛, C 确定收敛, D 可能发散或者可能收敛 . 2 ,比较判别法： 设 un , vn 是两个正项级数,且 un

21、 vn n1 n1（ 1）如 vn 收敛,就 un 收敛； n 1 11, n1n1n, n1n1（ 2）如 un 发散,就 vn 发散； n1n1例 ： 判 定 n12n1n, n111, 2n 2n 第 16 页,共 31 页n 1 n, 2 2 n sec n n11的收敛性； nn例： 判别正项级数 n ln1 n1结论：对于 p 级数,当 p 1时收敛；当 1 p例： 如级数 当 p 1时,1 3 11 收敛,就 的取值范畴是 . 2 13n 1 n1 n 2 的敛散性 . （06 二） 1时发散；（熟记此结 1 论） 称为调和级数；（调和级数发散） n（06 二） 定理（比较审敛法

22、的极限形式）：设 un , vn 是两个正项级数, n1 n1（1）如lim n un vn l 0 l ,且 n1 vn 收敛,就 n1 un 收敛； 发散； （2）如lim n un vn l 0 或lim n un vn ,且 n1 vn 发散,就 n 1 un 结论：如 lim n un vn l 0 l ,且 n1 vn 与 n1 un 收敛性相同； 21 sin n例： 级数 是发散, 的收敛 2n 1 nn 1 n 1 n 13 ,比值判别法： 设 un 为正项级数, n 1 第 17 页,共 31 页如 un lim u nn（1）当 1,就 的级数； 1时级数收（2）当 敛；

23、 时级数发散； （3）当 1或 说明： 比值判别法比较适合用于一般项中含 1时,不能确定； n n., a 例：判定级数 nn. 的收敛性； n 1 10 4 ,交叉级数： n1 1 n 1 un , un 0定理（莱布尼兹判别法） ：设交叉级数中意条件 （ 1） u1 u2 u3 ,即数列 un 单调削减； （ 2） lim un n0； 就交叉级数收敛； 5,一般级数 确定收敛： n1un 收敛, 条件收敛： n1un 发散而 n1un 收敛； 第 18 页,共 31 页例：判定级数 1 n1 1, 1 n1 12的收敛性； n1 n n 1 n例： 对于级数 1 n 1p,以下说法中正确

24、的为（ ）（ 07二） n1 nA）当 p 1时,发散 B 当 p 1时,条件收敛 C 当 p 1时,条件收例： 级数 D 当 pcosn 1时,确定收敛 为（ ）. （06 二） 敛 n 0 n 1 A 确定收敛 B 条件收敛 C 发散 D 无法判定 1 n n 1 n 1例： 判定 , 的收敛性； n1 2n 1 n 1 n n 3 n3 n sin n 例： 确定级数 的收敛性 . （07 二） n 1 n. 二,幂级数： n0n an x a0 2 a1 x a2 x n an x 1,幂级数的收敛半径与收敛区间 定理：如 lim nan 1,就收敛半径： an第 19 页,共 31

25、页R1, R10例： 幂级数 n0 x 2n的收敛半径为. （08 二） n2例： 确定幂级数 n 1 1n1 x 收敛半径及收敛域,其中 a 为正常数 . （ 07 二） n na 例： 求幂级数 n 0 3 n x 2n 的收敛半径与收敛区间 .（ 06 二） 2,函数开放为幂级数 11x 1 x 2 x n x | x | 1 ex 1 x x 2 2. x n n. sin x x 3 x 5 x n 1 2n 1 x 3. 5. 2n 1. | x | cosx 1x 2 2. x 4 4. n 1 x 2 n 2n. | x | 例： 将函数 f x 2 x ln 1 x 开放成

26、x 的幂级（ 08 一） 数 . 第 20 页,共 31 页例： 将函数 y arctan x开放为麦克劳林级. （07 二） 数 练 习 ： 1 , 判 断 级 数 sin n , n 1 3n , n1n 1 , n3 4n 1nn2 1 n1 12的收敛性； n1 nn2,判别级数 , n1 1 n 2n 1 n 2的收敛性； n. 3,求幂级数 xn 和 n 1 2 n 1 nx 的收敛区间； n1n04,将函数 f x x 1 在点 x0 x 1处开放成幂级数,并指出收敛区间（端点3不 考虑）；（07一） 5,将函数 y ln x展 x 1 的幂级数并指出收敛区 . （06 二） 6

27、,把函数 y 成 1开放成 x 1 的幂级数,并求出它的收敛区 间 . （05 一） x 1 间 27,将函数 f x ln x 3x 2开放成 x 的幂级数, 并指出收敛半径；（ 06 一） 2 4 6 n 2 n *4 ,求 x x x 1 x 的和函数,并 由求 1 的值； 第 21 页,共 31 页求幂级数 n1n 2 1 x2 nn1 nx 2 , n13n的收敛区间 1 1 x 2 1 x x n x | x | 1 112 1 x 4 x 2 n x | x | 1 2 x f x ln x23x 2 ln x 2 ln x 1 ln 2 ln 1x 2 ln x 1 第五部分

28、常微分方程 一,一阶微分方程 1 ,微分方程的概念：微分方程的定义,阶,解,通解,初始条件,特解 2 ,可分别变量的方程： g ydy xdx 解法 : 分别变量： g ydy f xdx y e sin x 0, 两边积分 g ydy f xdx dy 例: dx dy 2xy, tan x dx xe x 2 y xe x 2ey y 1, y y 第 22 页,共 31 页dy xe x e 2y, e dy y xe dx x 2dx 2 dy y 6x 2 y 0（交换变量） dx 例 ： f x 在 1, 具 有 连 续 导 数 , 且 满 足 x x 2 f x 1 1 t 2

29、f tdt 1,求 f x .（ 07 二） dy x1 y 2 例： 运算微分方程 中意初始条件 y0 1 的特解 . （06 二） dx y1 x 2 例： 微分方程 dy 2x 1e x 2 x y 的通解 y = （06 一） dx 3 ,一阶线性方程： y P x y Qx 通解为： P x dx P x dx y e Q xe dx C 也可表示为： y Y y sin x 例： 求解微分方程 y y cosx e .（07 二） 例： 求微分方程 cosx dy dx sin x y sin x的通解 . （05 二） 二,二阶线性微分方程 1 ,二阶常系数齐次线性微分方程： y

30、 px y q x y 0特点方程 r2pr q0第 23 页,共 31 页特点根： r1, r2 x （ 1）如特点方程有两个不相等的实根 r1 , r2 通解为： y c e r x 1 c 2 e r x 2（ c ,c 2是任意常数） （ 2）如特点方程有两个相等的实根 r1 r2 rrx 通解为： y c1 c2 xe （ c1,c2 是任意常数） （ 3）如特点方程有一对共轭虚根 通解为： r1 i , r2 x e c1 cos x ix y c2 sin 例： 求微分方程 d 2 y dy0 的通解 . （08 二） 2 dx dx 例： 微分方程 y 4 y 5y 0 的通解

31、为 .（06 二） 例： 任给有理数 a,函数 f x 中意 f x x f a t dt 1,求 f x （ 07 一） 02 ,二阶常系数非齐次线性微分方程： y py qy f x （1 ） y py qy pm xe x 如 不是特点方程 r2pr q0的y Qm xe 如 是特点方程的单根,特解为 根, y xQm xe x 如 是特点方程的重根,特解 y 2 x Qm xe x x e A cos x B sin x （2 ） y py qy 当 i不是特点根时, 第 24 页,共 31 页y 当 y x e a cos x bsin x i是特点根时 , xe x a cos x

32、 b sin x .例：求以下方程的特解 （1） y y 2sin 3x （2） y y 2 cosx （3） y 2 y 6 y sin 2x 5 cos2x d y 2 dy 例： 求微分方程 dx 2 dx e x 的通解 . （08 一） x 例： 求微分方程 y 2 y 5 y 2e 的通解 . （07 二） 例：求微分方程 d y dx 22 3dy dx 2 y 2e 中意 x y x 0 1, dy 0的特解；（06一） dx x 0例： 求二阶微分方程 x d dx 2 y 2 2 dy x dx y x的通解 . （05 一） 例： 如函数 f x 0 x t f t dt

33、 e,求 f x . （06 二） x 例：对于 y x 2 y x 2 y x xe sin x,其特解可以假设为 . （07 二） 练习： 1,求微分方程 y 5 y 6 y 2 x xe 的通解 1, y |x 002 y e2 x 2,解微分方程 y y |x 03,解方程 y y cos2x 第 25 页,共 31 页4,设 y 1, y x, y x 2 为微分方程 y py qy f x 的 三个解,就 y py qy f x 的通解为 2y c x 1 c 2 x 1 1y1 py1 qy1 f x y2 py2 qy2 f x 5, 如 y xsin x , y sin x

34、分 别 为 非 齐 次 线 性 方 程 y py qy f x 的解,就 y x 1 sin x 为以下方程中 （ B ）的解：（07 二） qy 0A） y py （B） y py qy2 f x C y py qyf x D y py qy xf x 6 , .已知 y=f x 连续可导且中意 : f x cos x 2x f t sin tdt x 1, 求 fx 07 , .已知 y=f x 连续可导且中意 : 1f xtdt 2 f x , 0f 1=1,求 f x 第 26 页,共 31 页一阶线性方程： y Px y Q x 通解为： P x dx P x dx y e Q xe

35、 dx C 也可表示为： y Y y 第六部分 空间解析几何与向量代数 一,向量代数 1 ,向量的概念：向量的定义向量的模单位向量向量在坐标轴上的投影向量的坐 标表示法向量的方向余弦 1 与向量 a 同方向的单位向量叫a的单位向量 : e ab = a. | a | 做 2 非零向量 a 平行于 b 的充要条件是：存在唯独的实数 ,使 3 已知 P1 x1 , y1 , z1 , P2 x2 , y2 , z2 ,就z1 k , P1P2 x2 x1 i y2 y1 j z2 x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 4 方向角与方向余弦 0方 向 角 ： r, , 与 Ox, Oy, Oz 轴 正 向 的 夹 角 （ 分 别 记 为 ）. , , . 规 定 设 r OM xi y j zk x, y, z,就OM 2 x 2 y 2 z r方向余弦： 方向角的余弦 cos x x2 x z2 , cos y , cos rz | r | y 2 r第 27 页,共