固体力学中的边界积分方程及其边界元法综述

1、2014年03月17日计算固体力学读书报告固体力学中的边界积分方程及其边界元法综述Review of the Boundary Integral Equation andBoun dary Eleme nt Method in Solid Mecha nics土木工程系评语读书报告计算固体力学（2013-2014）- - TOC o 1-5 h z 目录 HYPERLINK l bookmark4 o Current Document 摘要2A BSTRACT 2一、弓丨言 3 HYPERLINK l bookmark10 o Current Document 1）什么是边界元法3 HYPER

2、LINK l bookmark12 o Current Document 2）积分方程和边界元法的发展历史2 3 HYPERLINK l bookmark6 o Current Document 二、边界元法5 4 HYPERLINK l bookmark14 o Current Document 1）概述4 HYPERLINK l bookmark16 o Current Document 2）基本解4 HYPERLINK l bookmark18 o Current Document 3）拉普拉斯（Laplace ）积分方程 5 HYPERLINK l bookmark26 o Curre

3、nt Document 4）拉普拉斯（Laplace ） 边界积分方程 6 HYPERLINK l bookmark28 o Current Document 5）拉普拉斯（Laplace ）积分方程离散化与解法6 HYPERLINK l bookmark30 o Current Document 6）泊松（Poisson） 边界积分方程 7 HYPERLINK l bookmark32 o Current Document 三、结束语8 HYPERLINK l bookmark34 o Current Document 参考文献 9读书报告计算固体力学(2013-2014) 摘要本文综述了边

4、界元法的历史、现状及发展，并对积分方程和边界元法的原理进行了简单推导。边界元法是在经典的积分方程的基础上，吸收了有限元法的离散技术而发展起来的计算方法，具有计算简单、适应性强、精度高的优点。它以边界积分方程为数学基础，同时采用了与有限元法相似的划分单元离散技术，为代数方程组，再用数值方法求解代数方程组, 的有限单元法求解不可压缩材料会遇到严重困难 问题。近年来随着将快速多级算法引入边界元法 几个数量级的提高。关键词：边界元法积分方程边界离散通过将边界离散为边界元，将边界积分方程离散从而得到原问题边界积分方程的解。用传统，但是用边界元法求解这类材料不会有任何，使边界元法的计算效率和解题规模都有了

5、快速多级算法AbstractThis paper reviews the history, curre nt situati on and developme nt of the boun dary eleme nt method and deduced the in tegral equatio n. The boun dary eleme nt method is based on the in tegral equati on and absorbed the discrete tech no logy of fin ite eleme nt method. It has the adv

6、a ntages of simplecalculatio n, stro ng adaptability and high accuracy. It is based on the boun dary in tegral equati on, though boun dary discretizatio n discrete boun dary in tegral equati ons into algebraic equati ons, and then by the numerical method solving algebraic equations, thus obtain the

7、original problem soluti on of boun dary in tegral equatio ns. The soluti on of n early or exactly in compressible materialproblems prese nts serious difficulties and errors whe n using the conven ti onal displaceme nt-basedfin ite eleme nt method, because the gen eral stress-stra in equati ons of el

8、asticity contain terms thatbecome infin ite as Poiss ons ratio reaches 0.5, Whindthy element method accommodatessuch problems without any difficulty due to the nature of the integral equations used in the analysis. In recent years, the fast multi-pole boundary element method has received much atte n

9、ti on because some large-scale engin eeri ng desig n and an alysis problems were an alyzed faster using boun dary eleme nt method tha n with fin ite eleme nt method. This new trend suggests future prospects for boun dary eleme nt method applicati ons.Keywords: Boundary Element Method; Integral Equat

10、ion; Boundary Discretization Method;Fast Multipole Algorithm引言什么是边界元法边界元法是在经典的积分方程的基础上，吸收了有限元法的离散技术而发展起来的计算方法。从计算格式形成的全过程来看，关键问题有两个。一个是问题的边界化，即将给定区域上的定解问题化为可以只考虑边界的问题。这一步的关键是格林公式，这是边界元法的基石。边界化的结果使问题降维，如果是各维尺度相近的大型问题，代数方程组的未知数按指数规律减少，这无疑将大大减少准备工作、存储量与机时。有限元法要将全部区域及边界 离散，并要求将全部节点纳入方程进行计算，这是因为这些节点值包含在同

11、一个封闭方程组中。边界元法的封闭方程组中只有边界结点上的未知量，解完方程组再根据需要有目的地求内部值，因此减少了计算的盲目性。第二个关键是边界的离散化。单就离散技术本身而言，与有限元法没有很大的不同。由于只对边界离散，因此计算误差只来源于边界，这就使我们将减少误差的全部注意力放在边界上。有由于区域内由解析公式计算，这就提高了计算精度，并达到内部值的某些特殊要求，如连续性、可微性等。计算格式形成的两个关键已经体现了计算简单、适应性强、精度高的优点，这正是这种方法的生命力所在。积分方程和边界元法的发展历史21828年George Green就对位势问题提出了三个Green等式，其中包括解的积分表示

12、式，即将问题的解表示为单层势和双层势与边界变量及其法向导数乘积的边界积分。1903年由Erik Ivar Fredholm 奠基了积分方程理论。1926年Erich Trefftz提出了区别于 Ritz法的积分方 程边界解法，即Trefftz法。1963年M.A.Jaswon将边界积分方程直接法用于位势问题。1967年F.J.Rizzo在Quarterly Applied Mathematics发表了关于弹性静力学问题直接法边界积分方 程方法的论文一维函数具有下列性质:。C.A.Brebbia于1978年出版了书籍工程师用边界元法，P.K.Nanerjee和R.Butterfield于1981

13、年出版了工程科学中的边界元法。我国的边界元法研究起步于20世纪70年代末，清华大学的杜庆华在推动我国边界元法研究方面起了重要作用。清华大学张楚汉运用动力学边界元法与断裂力学原理提出重力坝 地震断裂与拱坝裂缝扩展模型，在边坡与地下工程研究方面提出了时域边界元与离散元耦合模型。边界元法由于形成的代数方程组的系数矩阵是满阵，因此对于求解规模有很大的制约，传统的边界元法难以处理工程实际中复杂的大规模计算问题。由于20世纪90年代开始将计读书报告计算固体力学（2013-2014）(5) 算数学的重要成果一一快速多级算法引入边界元法，使边界元法的计算效率和解题规模都有了几个数量级的提高。采用快速多极边界元

14、法，在一台微机就能计算数十万、甚至上百万个 自由度的大规模问题， 在微机机群并行系统能计算近千万自由度，在超级计算机最大的算例达到数千万自由度。这是边界元法今年的重要进展之一。边界元法51）概述采用边界元法求解时，根据积分定理，将区域内的微分方程变换成边界上的积分方程。 然后，将边界分割成有限大小的边界元素，称为边界单元，把边界积分方程离散成代数方程。同样，把求解微分方程的问题变换成求解关于节点未知量的代数方程的问题。边界元法分为直接法和间接法两类。直接法用物理意义明确的变量来建立积分方程，积分方程中的未知函数就是所求物理量在边界上的值；间接法用物理意义不一定明确的变量来建立积分方程。2）基本

15、解边界元法中，将微分方程变换成积分方程时要应用基本解。设以函数u表示的某一物理现象与时间无关，微分方程为：Lu（P） =0（ 1）其中L为线性微分算子，P为区域内的点。式（1）的基本解u*定义为下列方程的解：Lu*（P,Q） 、（P -Q） =0（2）式中的P和Q为无限域中的任意两点,、.（PQ）为狄拉克（Dirac）.函数:(4)b.aU(x)(x- )dxu()0a ：: b:a或 b :读书报告计算固体力学(2013-2014) 对于二维和三维问题只需把积分换为二维和三维积分即可。拉普拉斯(Laplace)积分方程考虑下述二维拉普拉斯方程的混合边界条件问题:l2u=0区域吶(6)u =u

16、边界:u 上边界】q上(7)式中厂为拉普拉斯算子。格林(Green)公式:(8)式中P、Q为二维无限域中的任意两点。取P点为坐标原点，将(9)式写成极坐标形式,即:d2u* 1 du*dr2 r dr=(r)(10)r = 0r =0拉普拉斯方程(6)的基本解u (P,Q)满足方程:(9)l2u*(P,Q)、(P _Q)二0r为P点和Q点之间的距离。运用格林公式可得拉普拉斯方程的基本解：* 1 1 ,、u (P,Q) ln( 11)2 兀 r(P,Q)把u和u*(P,Q)代入格林公式中，并由 ：函数的性质，可得：u(P) = u*(P,Q)q(Q)u(Q)q*(P,Q)d】(Q)( 12)式中

17、q*(P,Q)=工(P,Q)。该式是区域内任意点的函数值u(P)、边界上的函数值u(Q)岔(Q)和函数的法向导数值 q(Q)之间的关系式，称为积分方程。如果边界上所以未知的函数值和函数的法向导数值全部求出的话，区域内任意点的函数值就可以通过上式计算。将基本解式(11)代入(12)式得:u（P） *少侖器虫）启口荷心）(13)4）拉普拉斯（Laplace）边界积分方程式（12）对于区域内的任意点都适用，现在把式（12）用在边界上，可得边界积分方程：C（P）u（P）二u*（P,Q）q（Q）_u（Q）q*（P,Q）d（Q）（ 14）式中的C（P）是与P点处的边界几何形状有关的常数，C（P）二兰巳，J

18、（P）为边界点P处2n的边界切线之间的夹角，对于光滑边界d（p）二：。将基本解式（11）代入边界积分方程（14）式得:u(P)=1(Q)r(P,Q) ：n(Q)-u(Q)lnn(Q )1EdQ)(15)5）拉普拉斯（Laplace）积分方程离散化与解法一般情况下，不可能用解析法来求解积分方程，而必须采用近似的数值解法。边界元法将区域的边界分割成 n个边界单元，整个边界上的积分以n个边界单元上的积分和来表示。各边界单元上的函数值和函数的法向导数值，可以通过插值函数 （也称形函数）和边界单元上有限个点（称为节点）的函数值和函数的法向导数值，以多项式近似。现采用常单元将边界积分方程离散成联立一次方程

19、组。把边界F分割成n个边界单元 匚（j=1 , 2，n）。其中n1个边界单元属于边界-u, Q个边界单元属于边界-q，总的边界单元数n=n 1+ n2。对 于常单元（也称 0次单元），节点取在边界单元的中点，边界上的函数值和函数的法向导数 值在边界单元上设为常量，并等于节点的值。对于n个节点，得到的联立一次方程组，可以用下列矩阵形式表示：HU=GQ（16）其中，H和G是n n阶的系数矩阵，U和Q分别是边界单元节点的函数值和函数的法向导 数值的列向量。在（16 ）式中，未知量和已知量在方程的两边都有，可写成下述形式：H11H21H12H22H11H21H 1i 1H 21 1.n1Hn2HnlG

20、nG21Gnl以直线为界,可用部分矩阵表示如下:G2把未知量移到等号的左边,已知量移到等号的右边，得1H1G2将等号左边的系数矩阵用A表示，未知的列向量用X表示，Gi+ Gm 丨 q1G21 1 G2nq2qiqiiGnl 半Gnn qnn等号右边的已知列向量用未知IJ已知示，上式可以写成:(17)AX 二 F在边界上n个函数值和n个函数的法向导数值中，n1个函数值和n2个函数的法向导数值(n n2 = n )作为边界条件给出，所以由上述方程组可以求出边界上所有未知的函数值(n2个)和函数法向导数值(n1个)。把整个边界上的函数值和函数的法向导数值代入积分方程式(12)，就可以计算区域内任意点

21、的函数值。泊松(Poisson)边界积分方程考虑下述二维泊松方程的边值问题：可2u=b区域0内 TOC o 1-5 h z u =u边界u上(18)q二昱冈边界丨q上与拉普拉斯方程一样，可得积分方程：u(P)亠 $U*(P,Q)b(Q)d(Q) = u*(P,Q)q(Q) -u(Q)q*(P,Q)d】 (Q)( 19)边界积分方程：.* * * ._ C(P )u(P ) - u (P ,Q)b(Q)d 锂 Q)二-u (P ,Q )q(Q)-u(Q )q (P ,Q )d】(Q )( 20) 式中的系数C（P）与拉普拉斯方程中相同。对于n个节点，用矩阵形式表示的联立一次方程组为：HU =GQ

22、 B（ 21）其中H、G、U和Q与拉普拉斯方程中相同，而 B=（Bi B2 Bn T。把式（21）中的未知量和已知量重新排列后可以写成AX =F，式中的 X为未知列向量。按给定的边界条件解上述方程组，可求出边界上未知的函数值和函数的法向导数值。然后，由边界上的函数值和函数的法向导数值，计算区域内的函数值。三、结束语边界元法的创立既有边界积分方程理论的深厚数学基础和现代飞速发展的计算机的坚实物质基础，同时也受到了有限元法的启发和推动。它几十年的发展也继续受到有限元法和其它数值方法飞速发展的启发和推动，但另一方面也不能回避，它的发展因为与有限元法等的竞争而受到制约。经过 40多年的发展，在固体力学

23、领域，边界元法已经成为除有限元法 外最重要的一种有效的数值分析方法，它被定位在有限元法的一种重要的补充。对于应力集中一类求解场具有高梯度、应力具有奇异性的断裂力学等问题，边界元法不仅具有比有限元法更高的精度，而且在得到同样精度的解的条件下具有更高的效率。其原因不仅在于边界元法降低了问题的维数，而且还因为通常最大应力发生在边界，边界元法可以更直接地得到边界值的较精确的解。 边界元法对于求解半无限域问题也有较大的优势，因此在水工结构、 地下工程、岩土工程等领域得到了广泛应用。因为边界元法要以存在解析基本解（包括具有良好收敛性的级数解） 为先决条件，因此很难用来解决非均匀介质等复杂问题，这是它的最大的弱点。为了推动边界元法的继续发展，除了研究它的理论、方法，力图取得新的突破之外， 应用研究对于边界元法乃是至关重要的。在国际上，