7.1 复数的概念（解析版）

1、7.1复数的概念【知识点梳理】知识点一：复数的基本概念.虚数单位i数Z叫做虚数单位，它的平方等于-1,即产知识点诠释：，是一1的一个平方根，即方程d=l的一个根，方程1=_1的另一个根是i;，可与实数进行四那么运算，进行四那么运算时，原有加、乘运算律仍然成立。,复数的概念形如a + 力，（）的数叫复数，记作：z = a + bi （ a.bR ）；其中：。叫复数的实部，人叫复数的虚部，是虚数单位。全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示。 知识点诠释：复数定义中，容易忽视，但却是列方程求复数的重要依据.复数的分类对于复数 z = a+bi （a,be R ） 假设h=0,那么q+加为实数，假

2、设厚0,那么q+4为虚数，假设=0且屏0,那么q+历为纯虚数。分类如下:z = a+bi(a.b g /?)实数3 = 0）虚数（。0）纯虚数（ =0）非纯虚数（4W0）用集合表示如以下图:4 .复数集与其它数集之间的关系N整Z&Q&R&C （其中N为自然数集，Z为整数集，。为有理数集，E为实数集，。为复数集。）5.共舸复数:当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共筑复数。虚部不等于。的两个共 规复数也叫做共枕虚数。通常记复数Z的共珑复数为Z。故答案为：8 + 6i类型五、复数的轨迹与最值问题例 20. (2021 全国高一课时练习)设全集 U=C, A=z|z|-l|=l

3、-|z|, zGC, B=zz 1由复数模的几何意义可知，复数Z在复平面内对应的点的集合是以原点。为圆心、1为半径的圆.例2L (2021 .江苏金陵中学高三阶段练习)假设复数Z满足zi = i，那么|z-2i|的最大值是.【答案】3【详解】设2 = +历，力,那么6+=1,根据复数几何意义知，|z-2i|表示在复平面内，33到(0,2)的距离，那么最大值为2 + 1=3,故答案为：3例22. (2021 重庆市实验中学高三阶段练习)设复数z满足|z-”=|z + l|=|z + i|,那么2=.【答案】0【详解】设复数 Z = X+W(XR),由|z-l|=|z + l|,可得复数z对应的点

4、在以(-1,0)和(1,0)为端点的线段的垂直平分线上，所以x = 0,由|z + l卜|z + i|可得复数Z对应的点在以(TO)和为端点的线段的垂直平分线上，所以y = x,由|z-1卜|z + i|可得复数z对应的点在以(1,0)和为端点的线段的垂直平分线上， 所以y = r,x = 0又由/2.应选：C.（2022浙江高三专题练习）复数4 =加 +（4-22.（加氏），Z2 =2cose+（X + 3sin（9）i（；l,并且z = z ,那么;I的取值范围是（ 1JA.C.A.C.916,7B.D.【答案】A【解析】【分析】 根据复数相等的充要条件消去2可将用sin。表示，根据三角函

5、数的有界性结合二次函数的单调性即可得【详解】: 4 = %【详解】: 4 = %出结果.化为 4sin2e = 2 + 3sin。,= 2cos94 - nr = 4 + 3sin。 TOC o 1-5 h z (3丫 9AZ = 4 sin。一二-I8j 1639当sin9 = j时，2取得最小值-当sin6 = -1时，2取得最大值7, o1627 ,169 1/1的取值范围是二，7 ,16应选：A.二、多项选择题9. （2021 ,山东莱西高一期末）设复数z = m（3 + i）-（2 + i）, i为虚数单位，机eR,那么以下结论正确的为（ ）2A.当可根Zj2 + z22 = 0,那

6、么 Z|=Z2=0D.假设复数z满足|z| = l,那么|z + 2i|的最大值为3【答案】BD【解析】【分析】通过复数的基本性质，结合反例，以及复数的模，判断命题的真假即可.【详解】解：对于A选项，当两个复数都是实数时，可以比拟大小，所以A不正确；对于B选项，复数的实部与虚部都是。时; 复数是0,所以B正确；对于C选项，当马=l*2=i,满足z： + z22=0，但马=Z2=（）,所以C不正确；对于D选项，复数z满足忖=1,那么复数z在复平面内的轨迹为单位圆，那么|z + 2i|的几何意义，是单位圆上的点到（0,-2）的距离，它的最大值为3,所以D正确；应选：BD.（2021 .江苏.南京市

7、第二十九中学高二期中）“虚数”这个词是17世纪著名数学家、哲学家笛卡尔创制的， 当时的观念认为这是不存在的数.人们发现即使使用全部的有理数和无理数，也不能解决代数方程的求解问 题，像d +1=（）这样最简单的二次方程，在实数范围内没有解.引进虚数概念以后，代数方程的求解问题才 得以解决.设/是方程f+x + l = 0的根，那么（）B. t + t =-1c. v是该方程的根D.产21是该方程的根【答案】ABD【解析】【分析】根据每个选项的描述进行判断，即可得出结果.【详解】解：对于A选项，由于，是方程的根，那么产+/ + 1 = 0,而尸_1 = _1 乂/+, + 1) = 0,故,=1,

8、选项A正确；对于B选项，由虚根成对定理可知，T也是方程f+x+JO的根，故r+7 = _1,选项B正确；对于C,，工0且产T + lwO,故T不是该方程的根，选项C错误；对于D,泮21=卜33.产=而=L = 1,代入方程得，f + + 1 /=0,t tyt J tt.！是该方程的根，即产21是该方程的根，选项D正确. t应选：ABD.三、双空题(2019 浙江台州模拟预测)z是复数，i是虚数单位，且z = -2 +5，(z+4)2 =1 + 473/,那么|?|=，复数N在复平面内对应的点位于第 象限.【答案】 V7 二【解析】【分析】利用共飘复数的定义求出三，然后根据复数相等求出参数。的

9、值，即得复数z, Z ,进而可得|z|及复数5在 复平面内对应的点所在的象限.【详解】_L 4-2=1因为z = 2 +出，所以N = 2由，所以(z + 4/=(2-出)2=4-/4出=1 + 46所以 广，解得 -4 = 4A/3a = Y，所以z = -2-Qi, z =-2 + V3z ,所以|z|=V7,复数5在复平面内对应的点为(-2,6),位于第 二象限.故答案为：y/l ；二.【点睛】此题主要考查共辄复数的定义、复数相等、复数的模、复数的几何意义、复数的运算等，考查考生的运算求解能力.四、填空题（2021 湖北高一期末）根wR,复平面内表示复数（加2-56） +（加2+m）i的

10、点在虚轴上，贝I【答案】-1或6【解析】【分析】根据复数的几何意义得对应点的坐标在虚轴上，解方程求得结果.【详解】复数对应点的坐标为（4-5m-6 , m2 +m）,假设点在虚轴上，那么 m2 - 5m - 6 = 0 ,解得m=-1 或2 = 6 .故答案为：-1或6.（2021福建福州高三期中）i为虚数单位，复数4=1 + ,在复平面中将4绕着原点逆时针旋转165。得到 Z2,那么 z?=.【答案】0 6【解析】【分析】结合复数的几何意义，特殊角的三角函数值，即可得解.【详解】解：4=1 + /在复平面内对应的点为所以|。4| = F彳=2,且。4与1轴正方向的夹角为60。, 将其逆时针旋

11、转165。后落在第三象限，且与x轴负半轴的夹角为60。+ 165。-180。= 45。，所以对应的点为所以 z2 二 /2 /2i.故答案为：-0i.(2022上海高三专题练习)。是实系数一元二次方程/一(2m-1)工+/+ 1 =()的一个虚数根，且 |a区君，假设向量M = (26-1,3-，那么向量|3|的取值范围为【答案】收理【解析】【分析】根据条件一元二次方程根的特征可知，a也是犬-(2机-1次 +/+1 = 0的虚数根，结合条件，利用 根与系数之间的关系和判别式求出2的取值范围，然后再利用向量的模长公式和一元二次函数性质即可求 解.【详解】不妨设 i = a + bi , a =

12、a . bi，因为。是实系数一元二次方程2-(2加-1口 +加2+1 = 0的一个虚数根，所以a也是/ _(22-1)工+/+1 =0的一个虚数根，1.A/从而 aa = /+Z?2 =|。2=/ + 5，又因为f - (2机- l)x +62 +1 = o无实根，所以 A = -(2m-l)2-4(m2 +1)0，3由可得，根2,4因为人=(2口1,3 一),所以向2 =(2加一 +(3一加 =5(-一 1)、+5 ,由一元二次函数性质易知，3 f 325当 2 = 1时，有最小值5；当2 = -时，当机=2时，| W|2=10，故当1v22时，5。柒2(竽，即右4164故向策面的取值范围为

13、：君，返1故答案为：I君， 五、解答题知识点二：复数相等的充要条件两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚局部别相等，那么我们就说这两个复数相等.即:a-c 如果,那么。+沅=。+成 b = a特别地：a+bi = Qa = b = O. 知识点诠释：一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样.根据复数a+bi与c+di相等的定义，可知在a-c, /尸。两式中，只要有一个不成立，那么就有a+h#c+di (a, b, c, dR).一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比拟大小,如果两个复数都是实数，就可以比拟大小; 也只有当两个复数全是实数时才能比拟大小. 知识点三：

14、复数的几何意义.复平面、实轴、虚轴：如下图，复数z = a + bi (。/尺)可用点Z(a,b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫 做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴. P ZGO) O,：X-0知识点诠释：实轴上的点都表示实数.除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.复数集与复平面内点的对应关系按照复数的儿何表示法，每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点， 有唯一的一个复数和它对应。复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即复数z = a+ 复平面内的点Z(q1) 这是复数的一种几何意义。 3.复数集与复平面中的向量的对应关系

15、在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应 的，所以，我们还可以用向量来表示复数。17. (2022江西上饶高二期末(文)复数z =(6帆+8)+ (疗-3瓶+2)i ,其中i是虚数单位，m为实数.实数.当复数z为纯虚数时，求加的值;当复数zi在复平面内对应的点位于第三象限时，求m的取值范围.【解析】(1)因为z为纯虚数,所以m2 - 6m + 8 = 0m2 - 3m + 2 0由阜彳寻m=2或根=4 ,且加w 1且mw 2综上可得，当z为纯虚数时根=4;因为zi = -(/-3m + 2)+ (/6m+8)i在复平面内对应的点位于第三象限,

16、一(加2 -3根+ 2) 0m2- 6m + 8 0自牟得根2,且2m4即220）满足闵=A，4的实部与虚部的积为5（1）求 4 ；（2）设 z2 =（/2q 3）+ （q2 4a + 3）i（a H）, ,求。的值.从4 二 Z八 Z2为纯虚数；Z2在复平面上对应点的坐标为（-3,3）,这三个条件中选一个，将问题（2）补充完整，并作答.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）【解析】,（+2 =34（1）解：由 ，nm = 15Q m n 0,解得m=5, n = 3所以 4 =5 + 3i.（2） ./Z = 5 + 3i假设选，由z1=Z2，那么:一：，解得 =4a -4。+

17、 3 = 320 公八2解得。=-1a -4。+ 3_仿22。3 = 3假设选，由题意2 , o ,解得。=0.q2_44 + 3 = 321.（2021全国高一专题练习）为虚数单位，关于工的方程X2氏+10 = 0（/?）的两根分别为否，马.（1）假设l=3 + i,求实数的值；（2）假设|不一%|=2,求实数的值.【解析】解：（1）西为方.程V庶+10 =。（尺）的根，所以（3 + i一 （3 + i） + 10 = 0,整理得至.18 3p +（6 p）i=0,由pwR可得 =6.(2)由方程fa+1。=。(/?)可得x，Y2)p2 10iu，4假设 R-1020 即 -2加或 22屈，

18、那么 X = 422210=-Jp2-40 ,42 V那么 x1-x2= J / _ 40,即玉 - % | = dP? - 4。- 2，解得 p - 2,假设一100即一2何 轴对称，那么，=( zA. 1+iA. 1+i1 iD.+ -2 2【答案】B【详解】角星：设z = q + 5（。*eR）,那么 z + 2 = （a + 2）+ /?i, z + 2i = a +（2b）i,依题意得 + 2 = a b = 2-ba，解得，应选：B.例15. (2022河北高三阶段练习)在复平面中，复数(。+ 121+(1-“修。2。对应的点在第二象限，那么实数的可能取值为()A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】CD【详解】因为复数(。+ 1疔21+(1 。疔2。=(1 a) + ( + l)i 在第二象限，所以+应选：CD.例16. (2022江西上饶高二期末(文)复数2 =(苏-6帆+ 8) + (4-3m + 2)i,其中i是虚数单位，m为实数.(1)当复数Z为纯虚数时，求相的值；(2)当复数zi在复平面内对应的点位于第三象限时，求用的取值范围.【解析】(1)因为z为纯虚数，所以所以m2 6m