阻滞增长模型和多元线性回归模型的研究及其在跳高运动问题中的应用

1、阻滞增长模型和多元线性回归模型的研究及其在跳高运动问题中的应用10组 付董帅、贾晓明、吴丽娜摘要： 跳高经过百余年的演变和开展，已经到达了非常高的水平。在这种情况下，研究当前跳高工程的竞技能力特征及其主导因素对于更新人们的观念，准确把握跳高运动工程开展脉搏，制定跳高运动工程的规划，实施训练重点及促进跳高水平的快速提高将具有重要意义。本文采用阻滞增长模型进行预测，根据模型，对数据进行拟合，得到相应的函数，根据函数，预测出下一届奥运会的成绩。其中得到男子的极限成绩为2.401米，女子的为2.1065米。下一届奥运会男子冠军的成绩为2.3868米，女子冠军成绩为2.0713米。与已有30届奥运跳高冠

2、军成绩男子2.38米，女子2.05米比拟，男子数据相当吻合。因为影响比赛成绩的因素很多，实际成绩与预测成绩难免有误差，跳高作为一项体育运动，也有人为因素对其产生影响，所以女子冠军成绩预测与实际值相差0.02误差已很小。接着，根据查找数据建立各身体素质指标与跳高成绩的散点图，发现其符合线性关系，因此，采用多元线性回归模型对国际男子的身体素质进行了分析，此外，我们还用到了随机数法检验多元线性回归模型得到的成绩，利用函数产生一组随机数，对模型进行了检测，发现与真实数据吻合。同样的，我们将国内男子的各项身体素质指标与跳高成绩建立了散点图，发现其不符合线性关系，所以我们采用了非线性回归模型对国内男子身体

3、素质进行了分析，其中还用到了逐项回归模型，从逐项回归图中，我们可以清楚的看到跳高成绩与助跑摸高的相关性极强，与其他因素相关性那么较弱。关键词：阻滞增长模型；多元线性回归；模型；跳高运动1 引言随着科学技术的开展和竞技体育标准的不断提高，“数学模型在我国体育领域中的应用研究越来越广泛。通过建立数学模型,进行精度分析,可以为运发动的培养提供科学的训练依据，使训练更有成效。跳高运动是田径运动的田赛工程，是一种由有节奏的助跑、单脚起跳、越过横杆落地等动作组成，以越过横杆上缘的高度来计算成绩的运动工程。跳高经过跨越式、剪式、滚式到现在的俯卧式、背越式，经过百余年的演变和开展，已到达相当高的水平。目前世界

4、跳高运动总体水平正处于稳定开展时期，然而我国的跳高运动却出现了滑坡现象。在这种形势下,对当代世界跳高运动开展特点进行研究。对中国和世界的跳高成绩进行比拟研究，分析影响跳高成绩的关键因素，能使我们更多地了解和掌握世界跳高的动态及开展趋势。2 定义符号说明符号说明运发动跳高成绩增长率跳高原成绩跳高成绩的极限回归系数因变量观察值误差值离差平方和3 阻滞增长模型1我们假设运发动跳高成绩增长率是跳高原成绩的线性减函数，即随着跳高成绩的增加，跳高成绩增长速度会慢慢下降：运发动跳高成绩最终会到达饱和，且趋于一个常数，当时，增长率为0：由上面的关系式可得出：把上式代进指数增长模型的方程中，并利用初始条件，可以

5、得到：解得：表1 历届奥运会男、女跳高冠军成绩届123457891011年份1896190019041908191219201924192819321936男子米1.811.901.801.901.931.931.981.941.972.03女子米-1.591.6571.60届14151617181920212223年份1948195219561960196419681972197619801984男子米1.982.042.122.162.182.242.232.252.362.35女子米1.681.671.761.851.901.821.921.931.972.02届242526272829

6、30年份1988199219962000200420212021男子米2.382.342.392.352.362.362.38女子米2.032.022.052.012.062.052.05利用初始条件，可以得到：解得：同理，女性有利用初始条件，可以得到：解得：我们可以利用已有数据拟合2求解得: ， ，,可以预测第30届伦敦奥运会男、女冠军成绩分别为2.3868、2.0713。如图1，为男女冠军成绩增长曲线：图1 男女冠军成绩增长曲线4 多元线性回归模型 一元线性回归是一个主要影响因素作为自变量来解释因变量的变化，在现实问题研究中，因变量的变化往往受几个重要因素的影响，此时就需要用两个或两个以上

7、的影响因素作为自变量来解释因变量的变化，这就是多元回归亦称多重回归。当多个自变量与因变量之间是线性关系时，所进行的回归分析就是多元性回归。 4.1多元回归模型原理3，4称为多元线性回归模型。 多元线性回归模型包含一个因变量与两个或两个以上自变量，误差项为随机变量， 为模型的参数，称回归系数；误差项是一个期望值为0的随机变量，即；误差项的方差都相等，即误差项服从正态分布，即。其中称为总体多元线性回归方程. 表示当其他变量不变，而每变动一个单位时，E(y ) 相应的变值。4.2估计的多元回归的方程 是未知参数，可以跟样本数据做估计。记的估计为，那么称为估计的多元回归方程或样本多元回归方程。4.3参

8、数的最小二乘估计使因变量的观察值 与估计值之间的离差平方和到达最小来求解，即使到达最小。 称 为 的最小二乘估计。根据微积分中求极值的原理，应是以下正规方程组的解表2 国际男子跳高运发动各项素质指标4.4逐项回归模型我们根据表2中所给数据，分析得到各个影响跳高成绩的身体素质指标与跳高成绩的相关性。画出与的散点图，判断与的线性相关性。由图得知，即30m行进跑 ，100m跑的成绩与跳高成绩没有相关性，至少没有其他因素与跳高成绩的相关性强，所以在拟合回归方程时对30m行进跑，100m跑的成绩不予考虑。表2 各个影响跳高成绩的身体素质指标与跳高成绩5序号跳高成绩Y30行进跑X1三级跳远X2助跑摸高(净

9、高)X3助跑46步跳高X4后抛铅球X5深蹲杠铃X6杠铃半蹲系数X7100X812.42.610.11.252.25162002.5510.722.312.99.651.182.1815177.52.3210.932.392.710.051.242.2415.9197.52.5210.842.332.99.751.192.1915.3182.52.3710.952.372.89.951.222.2215.7192.52.4710.862.2739.451.162.1514.21702.21172.352.89.851.22.215.5187.52.4210.882.342.99.81.192.2

10、15.41852.3910.992.2839.51.162.1614.41702.2411102.322.99.71.182.1815.21802.3410.9112.362.89.91.212.2115.61902.4510.8 122.339.61.172.1714.81752.2910.9132.2939.551.172.1614.6172.52.2610.9142.2639.41.152.1414176.52.1811152.382.7101.232.2315.81952.510.8图2 残差分析图4.5 拟合系数Bb = 0.380000000000056 0.19999999999

11、9989 0.000000000000094 -0.000000000000037 0.000000000000002 -0.000000000000000 -0.000000000000001b 相应的置信区间bint = 0.379999999999630 0.380000000000482 0.199999999999903 0.200000000000074 -0.000000000000070 0.000000000000259 -0.000000000000217 0.000000000000143 -0.000000000000008 0.000000000000012 -0.0

12、00000000000000 0.000000000000000 -0.000000000000139 0.0000000000001374.6 残差r = 1.0e-014-0.044408920985006 0.044408920985006 0.044408920985006 0.044408920985006 0.1332267629550190 0.088817841970013 0.044408920985006 0.044408920985006 0.044408920985006 0.044408920985006 -0.044408920985006 0.0444089209

13、85006 0.044408920985006残差置信区间rint =1.0e-014 -0.174827876818459 0.086010034848446 -0.075632338755296 0.164450180725308 -0.102792636223376 0.191610478193389 -0.111724823478331 0.200542665448343 0.006006450717947 0.260447075192090 -0.113347975666237 0.113347975666237 -0.034688669879802 0.21232435381982

14、7 -0.037816211774479 0.126634053744492-0.043071619076001 0.131889461046013 -0.100443457735274 0.189261299705287 -0.150512906389603 0.150512906389603 -0.124259209630290 0.213077051600302-0.177784444724125 0.088966602754112 0.044408920985006 0.044408920985006 -0.118516213105756 0.207334055075769 残差置信区

15、间包含0点，说明回归模型y=0.38+0.19999*x2能较好地符合原始数据。4.7相关系数平方R ； 假设统计变量F； 及F对应的频率stats=17.88760373475343e+027 1.22480195141135e-110 5.91645678915759e-031R2为1说明自变量与因变量有较好的相关性。得到回归方程：y=0.38+0.19999*x2表3原始数据与预测数据的比拟6序号123456789原始成绩Y(m)2.42.312.392.332.372.272.352.342.28预测成绩y(m)2.4002.3102.3902.3302.3692.2702.3492.

16、3392.279序号101112131415原始成绩Y(m)2.322.362.32.292.262.38预测成绩y(m)2.3192.3602.29992.2902.2592.3794.8 产生随机数进行模型检测4.8.1 算跳高运发动的各项身体素质指标是符合均匀随机分布的，我们可以利用产随机数的方法来检测我们得到的多元回归方程。4.8.2随机数的产生方法： 首先利用rand函数产生一组0-1分布的均匀随机数要产生在上的均匀随机数，通过即可产生。4.8.3利用产生随机数的方法，在带入到我们的回归方程利用MATLAB软件得到一组运发动的跳高成绩如下： 表4利用产生随机数的方法得到的跳高成绩序号

17、12345678成绩2.3652.2952.33082.3572.382.3942.3362.279序号9101112131415成绩2.2802.2962.3772.2952.3732.2942.3905 非线性回归方程 我们利用MATLAB软件逐项回归函数，也可以得出相同的结果，在影响运发动跳高成绩的各项身体素质指标中只有X3即助跑摸高与跳高成绩有线性相关性。所以对于国内男子跳高成绩，我们可以用非线性回归的方法来预测。5.1非线性回归是在影响因变量的多个自变量与因变量线性相关性不强的时候，采用的一种函数拟合预测方法。我们可以利用MATLAB自带函数来给出预测。5.2回归可以用以下两个命令之

18、一5.2.1确定回归系数的命令： 其中，输入数据,分别是 矩阵和维列向量； 是回归系数的初值。 是估计出来的回归系数，(残差)，是估计预测误差需要的数据。5.2.2非线性回归命令： 其中各参数含义同上，alpha为显著性水平，缺省时为0.05.命令产生一个交互式的画面，画面中有拟合的曲线和的置信区间。对某些非线性回归也可以化为线性回归来预测。表5国内男子跳高运发动各项素质指标7序号跳高成绩立定跳远原地纵跳助跑摸高深蹲杠铃半蹲杠铃100跑30行进跑1 12.193.15903.615532011.43.722.212.9803.616532010.763.4532.183.2903.514526

19、011.23.5642.23.11863.4311026010.753.4452.393.11943.7112520010.93.4362.122.95753.5214022011.83.6572.23803.5211030011.53.782.183.2953.4316531011.53.792.122.86843.414029012.14102.082.9853.35130280113.61123.2903.2515030511.33.6表6 非线性回归模型产生的预测成绩序号1234567原始成绩2.192.212.182.22.392.122.2预测成绩2.23132.19232.174

20、12.16862.39822.12572.2023序号891011原始成绩2.182.122.082预测成绩2.14852.10412.10462.01985.3下面为影响运发动跳高成绩的各项身体素质指标散点图：图3 深蹲杠铃与国内男子跳高成绩的相关性图4 半蹲杠铃与国内男子跳高成绩的相关性 图5 100米跑与国内男子跳高成绩的相关性图6 30米跑与国内男子跳高成绩的相关性5.4 结果分析与总结 通过散点图以及多元线性模型分析，国际男子的各项素质指标主要与三级跳远、助跑摸高(净高)、助跑46步跳高、后抛铅球、深蹲杠铃、杠铃半蹲系数有关。我国男子的各项素质指标主要与助跑摸高有极大地相关性，而与跳高、立定跳远、原地纵跳、深蹲杠铃、原地杠铃、100m跑、30m跑的相关性相对不明显。目前我国男子跳高水平与世界差距越拉越大。制约我国跳高工程运动技术水平提高方面存在的问题有：运发动