2022年新高考数学二轮提升数列专题第2讲《等差、等比数列的证明》（解析版）

1、第2讲 等差、等比数列的证明参考答案与试题解析一解答题（共22小题）1（2021江苏月考）已知数列的前项和为，其中为常数（1）证明：；（2）若为等差数列，求【解答】解：（1）证明：，其中为常数，相减可得：，可得：；（2）若为等差数列，由（1）可得：公差由，令，则：，解得：2（2021鼓楼区期中）设数列的前项和为，已知，且（1）求的值；（2）证明：为等比数列；（3）求数列的通项公式【解答】（1）解：，且，解得（2）证明：由，变形为：，为等比数列，首项为1，公比为（3）解：由（2）可得：，数列是等差数列，公差为4，3已知各项均为正数的两个数列和满足：，设，求证：数列是等差数列【解答】证明：各项均为

2、正数的两个数列和满足：，数列是公差为1的等差数列4（2021春遂宁期末）已知数列中，（1）求证：数列是等差数列；（2）求数列的通项公式；（3）设数列满足：，求的前项和【解答】证明：（1），（2分）又，数列是首项为1，公差为3的等差数列（4分）解：（2）数列是首项为1，公差为3的等差数列，；（6分）（3）（7分）（8分）（9分）（10分）（11分）（12分）5数列满足，（1）设，证明等差数列；（2）通项公式；（3）求的前项和【解答】（1）证明：由，得，即，又，数列是以1为首项，以2为公差的等差数列；（2）解：由（1）得，则，累加得：，已知时上式成立，；（3）解：，设数列的前项和为，则，6（202

3、1长春月考）设数列的前项和为，（）求证：数列是等差数列；（）设，求数列的前项和【解答】（）证明：数列的前项和为，可得，则，所以，有，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列（6分）（）解：由（）知，故，得，所以（12分）7（2021春沈阳期中）已知数列的前项和为，数列是首项为1、公差为3的等差数列，设（1）求证：数列为等比数列；（2）求数列的前项和；（3）若对一切正整数恒成立，求实数的取值范围【解答】（1）证明：因为，所以，即，即，又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，（2）解：由（1）可得，因为数列是首项为1、公差为3的等差数列，所以，所以，所以，两式相减可得，所以（3）因为，所以当时，

4、当时，所以，所以当或2时，取得最大值，又对一切正整数恒成立，所以，即，解得或，故实数的取值范围是，8（2021浙江开学）已知数列的前项积为，且对一切均有（）求证：数列为等差数列，并求数列的通项公式；（）若数列的前项和为，求证：【解答】解：（）证明：对一切均有，即有，又，所以，即，所以时，得，所以为等差数列，首项，公差，所以，即，所以一切，；（）由，所以，先证明，对一切，令，则当时，即在，上单调递减，故，所以，9（2021全国卷月考）已知数列中，且满足，（1）证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；（2）设为数列的前项和，求满足的的最小值【解答】（1）证明：因为，所以数列是首项为2，公差为1的

5、等差数列，所以（2）因为，所以，解得，所以满足的的最小值为1010（2021武功县开学）已知数列是以1为首项，2为公差的等差数列，数列满足（1）证明：数列是等比数列；（2）设，求数列的前项和【解答】解：（1）证明：根据题意，由，得，两式相减得，所以，且当时，解得满足上式，所以，又，所以是以为首项，为公比的等比数列；（2）由（1）可知，所以，所以11（2021靖远县开学）已知数列满足（1）证明：数列为等差数列（2）求数列的前项和【解答】证明：（1）数列满足即：，整理得：（常数），故：数列是以为首项，2为公差的等差数列；（2）由（1）得：，整理得，故，所以12（2021闵行区期末）已知数列与满足为

6、非零常数），（1）若是等差数列，求证：数列也是等差数列；（2）若，求数列的前2021项和；（3）设，若对中的任意两项、，都成立，求实数的取值范围【解答】解：（1）由题意，数列是等差数列，设公差为，即，可得，数列也是等差数列；（2）由，可得，是周期为4的数列；，可得也是周期为4的数列；，那么（3）设，可得，是为为首项，公比为的等比数列，那么可得由当为偶数时，可知是单调递增，那么，由当为奇数时，可知是单调递减，那么；，可得，可得中的最大值，最小值为对中的任意两项、，都成立，即，解得：故得实数的取值范围是，13（2021河南月考）数列满足，（1）求证：是等比数列；（2）设，求和：【解答】证明：（1）

7、数列满足，故（常数），故是以3为首项，3为公比的等比数列；（2）由于，整理得：，所以，故，所以14（2021春钟祥市校级期末）已知，点，在函数的图象上，其中，2，3，（1）证明：数列是等比数列；（2）设，求；（3）记，求数列的前项和，并证明【解答】解：（1）证明：由已知，是公比为2的等比数列解：（2）由（1）知，证明：（3）点，在函数的图象上，又15（2021惠城区模拟）设，都是各项为正数的数列，对任意的正整数，都有，成等差数列，成等比数列（1）试问是否成等差数列？为什么？（2）如果，求数列的前项和【解答】解：，成等差数列，成等比数列，得，（2分）（1），由得，从而当时，代入式得，（4分）即，

8、故是等差数列（6分）（2）由，及式，式，易得， （8分）因此的公差，从而，得，即（10分）又也适合式，得，从而（14分）16（2021长宁区二模）已知正项数列，满足：对任意正整数，都有，成等差数列，成等比数列，且，（）求证：数列是等差数列；（）求数列，的通项公式；（）设，如果对任意正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围【解答】解：（）由已知，得，由得将代入得，对任意，有即是等差数列（4分）（）设数列的公差为，由，经计算，得，（9分）（）由（1）得不等式化为即设，则对任意正整数恒成立当，即时，不满足条件；当，即时，满足条件；当，即时，的对称轴为，关于递减，因此，只需（1）解得，综上，（14分）1

9、7（2021春徐汇区期末）设数列的首项，且记，2，3，（）求，；（）判断数列是否为等比数列，并证明你的判断【解答】解：（），（6分）（）由（）可得，猜想：是公比为的等比数列证明如下：因为，又，所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列（12分）18（2021秋瑞安市校级期中）设数列的前项和为，已知，且，2，3，其中、为常数（1）求与的值（2）证明数列为等差数列【解答】解：（1）由已知得，（2）证明：由（1）知所以得所以得因为，所以又因为，所以，即，又数列为等差数列19（2021庄河市校级期中）数列的前项和记为，已知，2，3，（1）证明：数列是等比数列；（2）求数列的前项和【解答】（1）证明：因为

10、，又，数列是等比数列，首项为2，公比为2的等比数列（2）由（1）可知，所以，所以20（2021安徽）设数列，中的每一项都不为0证明：为等差数列的充分必要条件是：对任何，都有【解答】证明：先证必要性设数列的公差为，若，则所述等式显然成立若，则再证充分性：用数学归纳法证明：设所述的等式对一切都成立，首先在等式两端同时乘，即得，所以，成等差数列，记公差为，则假设，则有：，将代入得，在该式两端同时乘，得，把代入后，整理得由数学归纳法原理知对任何，都有所以，是公差为的等差数列21（2021春徐州期中）设数列的前项和为，为常数，已知对，当，总有成立（1）求证：数列是等差数列；（2）探究：命题：“对，当时，总有”是命题：“数列是等差数列”的充要条件吗？请证明你的结论；（3）若正整数，成等差数列，比较与的大小，并说明理由【解答】证明：（1）对，当，总有成立，取，则，数列是等差数列，首项为，公差为解：（2）命题是命题的充要条件由（1）可知：对，当，总有成立，是数列是等差数列的充分条件下面证明：数列是等差数列，必有：对，当，总有成立对，当，即对，当，总有成立综上可得：对，当，总有成立，是数列是等差