对于线性粘弹性沥青混凝土的卷积积分的数值计算

1、对于线性粘弹性沥青混凝土的卷积积分的数值计算By Sungho Mun*摘要此研究关注表示电流的卷积积分的数值制剂的发展,它代表以前所有的历史沥青混凝土的响应时间。为了解决涉及线性粘弹性的初始/边界值问题，本构方程，表现在沥青混凝土从频率扫描测试中的卷积积分形式，从而得到松弛模量和数值配制成的增量。松弛模量是线性弹簧和阻尼器组成的力学模型。机械维谢尔模型是由Prony用于积分基础公式的上的线性粘弹性松弛模量的数值而制定的。对于评价目的，是涉及的十字头张力（或恒定的应变速率单调加载），锯齿形状加载，和一个光束前端负荷下的数值例子纳入数值积分的验证。关键词：卷积积分，粘弹性，维谢尔模型，数值配方，

2、Prony系列1.介绍应用程序的初始/边界值问题的粘弹性行为已经被文献报道。粘弹性本构模型的数值积分公式材料已经在包括泰勒等人的作品中讨论过。（1970年），措赫尔等人（1997年），Kaliske和Rothert（1997年），潘艾哈迈德（1998年），SIMO和休斯（1998年），Hiterhoelzl（2000年）。基本上，该方法已被纳入有限元模拟Alpha。总之，SIMO和Hughes（1998）提出的方法的递推公式为一体，采用了类似的公式到目前这个数值积分公式。对于粘弹性的基本理论，一些研究人员的作品可以咨询，如Schapery（1974年），轮渡（1980），克里斯坦森（1982）

3、，和Tschoegl（1989）。粘弹性材料区别于广义的材料，这些材料的弹性描述了弹性和抗老化材料的线性粘弹行为。这个理论是一个洞察材料普遍的响应行为随时间变化的。在本文中，一个机械的本构方程开发并接受机械载荷的固体的卷积积分的松弛模量由Prony系列取代。这里给出这一提法的的时间historydependent变形和负载被施加到。基于Prony系列，依赖于时间的线性正交各向异性粘弹性本构关系，制定厮磨等人所提出的递推公式。此外，计算的切线模量从增量的应变和应力之间的关系。2.力学模型粘弹性材料的松弛模量是用来定义的应激反应，从各自的张量分量的应变历史输入如下： 其中，IJ=应激反应， Eij

4、k=松弛模量 KL =应变输入。一种粘弹性材料配方下面的开发相关的松弛模量的力学模型组成的弹簧和阻尼。首先，被给定为一个一维的分析基本方法。其次，相应的三维分析描述被跟随。此外，被认为在制定thermorheologically简单的材料。这个假设是随后所有松弛曲线可以叠加水平平移的方式沿时间轴以形成一个单一的主曲线。 因此，热机械耦合的过程被简化，并且不考虑温度的变化（例如，等温过程）。在下面的广义模型，维谢尔模型，进行了讨论。如图1中所示，左弹簧中的应力，&=Maxwell元件的弹簧与一个的缓冲器相结合的应力&，来自微分方程：图1 维谢尔型号其中，M =压力￥m=粘度系数EM = 在第m个

5、内的松弛模量。维歇特模型（或广义的Maxwell模型）上的总应力是通过以下方式获得的求和形式：在解决上述微分方程，拉普拉斯变换的方法是有用的。其方法是转换成差分方程的代数方程，这使得获得拉普拉斯变换的解决方案（例如，反演问题）。拉普拉斯转换式。（2）（4），然后消除应力m给出其中，E=卡森变换的松弛弹性模量（例如E,SE，），和第n个麦克斯韦元素的弛豫时间定义：P=n/E这可以被转换成时域模量从拉普拉斯反演松弛模量在s域方面。 上面的方程被称为Prony系列相应的维谢尔模型（或广义Maxwell模型）。一维Prony级数可以配制的三维表达。3。本构方程的数值积分在这项工作中所考虑的粘弹性材料本

6、构方程推导出式的松弛模量的Prony系列。 （7）。下面的卷积积分在一般的各向异性应力和应变之间的关系： 为了轻松处理多个指数，上述项建议的是潘和艾哈迈德（1998）。 这个定义可以用来改写的EQ。 （8）作为这里 &的定义，以制定一个简单的数值实现。此外，被构造的应力，ij其中由两个组件如瞬时弹性应力，Eijkl0千升，和应力响应的基础上的粘性应变，&。状态变量是正确的选择，目前的粘弹性时间制定整合过程中的一个重要方面。存储和更新的状态变量从一个时间增量到下一个不知道他们的整个时间的历史。上述状态变量的选择：上述状态变量可以被重新复发的方法“（SIMO和休斯，1998年）。下列标准的指数函数

7、和对任何常量，DT和a。从这样的说法，状态变量的方程。（12）可以是半分组，通过使用上述的可添加的属性。采取的最后形式，如下所示：如式中所示。（15），本发明的状态变量，：荷航（tn +1处），是从以前的变量，荷航（TN），更新的时间之前不知道时间的历史数据中，tn。对于进一步的数值算法，它被假定的菌株，千升，与增量的线性变化。此外，该公式可以重写相对于共同的指数项。在这种情况下，因此，本构法归纳如下：4。切线模量在准备用于导出的切线模量，下面的制剂是来自于两个不同的方法。然后，结果是被相互比较的一次微分从方程。 （8），如下所示：小增量的假设，应力张量被认为是通过构的关系，式作为一个功能的应

8、变。（19），在所选择的状态变量，如形式（i）和（）n +1，和切线模量可以推导如下：二次的切线模量计算方法，从EQ。（17）的基础上它相对于KL（tn +1处）区别。因此，如果使用的定义式被重写方程公式（9），上述切线模量相当于与第一种方法的结果。 5。验证数值计算为了验证算法，选择实施例中，是已知的解析解。为了简化，onedimension例讨论在实施例（1）和（2），和一个叠加技术采用解析来表示的应变历史。这种方法是基于假设的线性度。最后，实施例3有关的一个简单的剪切试验。实施例1是有关一个恒定应变速率单调加载（或恒定十字头应变速率拉伸）的输入。应变历史在当前时间是：其中，C是一个常数的

9、应变率，和H（t）的亥维赛阶梯函数，H = 0时，当t 0。使用一阶导数的应变函数式（21），和由Prony级数，方程表示的松弛模量（6），压力可以从方程获得公式（8）。其中C是2。对于普罗尼的弛豫时间相对于系数，精确的材料性能的沥青混凝土从扫频测试施加正弦加载沥青试样，并嵌合在参考温度，25，得到示于表1。图。图2示出数值模拟和分析的解决方案之间的比较的基础上的恒定strainrate的单调加载，并且它指出增量的0.01和0.1倍。 锯齿形状的应变输入被选择作为实施例2使用相同的材料性能的Prony算法在图系数。 3。的实施例2的解析解，可以得到从的线性叠加技术取决于对三个不同的区域，如0t

10、 t1时。对于为0 tt1时，方程。（22）可用于与不同的常数C的值图2。恒应变速率单调加载(25)其中C是0.5的情况下的正斜率和-C是在负，t1= 2.5和t2= 5秒。Alpha图3锯片齿形应变加载图3显示了优良的协议之间的理论分析和数值的解决方案，甚至想到不同的增量。要说明如何可以验证本算法的正交各向异性材料中，选择是基于实施例3的材料特性，这在表2中所示，使用由Poon和Ahmad（1998年），和他们定义Eijkl作为平衡松弛模量和eijkl0使用一个单一的弛豫时间，为玻璃状松弛模量。实施例3是一个简单的材料样品的剪切的情况下进行描述为施加的剪切应变历史输入：可以推导出的解析解如下

11、：术语的增量的时间，例如0.01和0.1，计算出的数值解是在良好的协议与解析解，如图4。6。反演问题不同于应变输入问题，应变输入和应激反应，式构关系，因为在所施加的应力的情况下，在试样中的反转过程是必需的。 （1），是无效的。从式（18）和（19），（tn +1处）可以从以下的假设计算： “-0”是指在纵坐标上的原点轴从非常小的变化因此，初始应变值是零。利用上述假设，对于小的增量方程，（19）是可以改变变分形式。最后对于电流反转算法的验证，被认为是与前端负荷悬臂梁问题，对应于规定的松弛模量，它需要蠕变柔量，。基本上，输入从应力历史计算应变响应，使用上面描述的技术反演该光束具有长度L，12m4转

12、动惯量的时刻，I，1/12的m4束进行的前端负荷：其中P0=1兆帕和t1= 1秒。据的弹性的解决方案中，位移，WL，由于前端负荷可以以下方式获得：为了得到粘弹性体的溶液，施加弹性粘弹性对应原理。此对应原理表明静态弹性的解决方案可以被转换成准静态粘弹性解决方案。该过程涉及更换弹性模量的粘弹性能，拉普拉斯变换和反相转换后的粘弹性变量，得到时域解决方案。使用这个属性公式（32）被改变的拉普拉斯变换如下：其中，D=1/E和D是卡森变换的蠕变，符合（D=SD）。图5。提示荷载工况的梁当方程的反转时，最终的时域解得到的粘弹性位移：与解析解的数值解相比，它是必要蠕变柔量，D（t）的计算，从所描述的Prony

13、系列，在表1中所示，在松弛模量的方面。因此，使用下面的关系D = 1 / E，蠕变柔可以得到。涉及的拉普拉斯变换和反演的蠕变柔量的计算有关的问题的解决通过软件包Mathematica的。如图5中所示，数值解是增量时间，如0.1，0.01，和0.0001增量的不同而不同，在压力applied.The为零表明，当前的解决方案收敛到解析解的压力的持续时间。此外，该最小递增的时间提供正确的斜率趋势，对分析解决方案，在所施加的压力历史上输入.7。结论基于普罗尼指数级数表示数值积分方法被提出并证明是非常有效和准确的。四个实施例中的每一个都被选择，以验证本发明方法。结果发现是相当不敏感的增量在实施例1至3倍

14、。但是，在实施例4中，自应力时间历史输入需要的反演技术来计算应变响应是依赖于时间增量。反演问题最小增量值的使用产生非常精确的结果。这一框架可以容易地并入通用的有限元法分析的数值积分公式。参考文献克里斯滕森，R.M. （1982）。粘弹性理论：介绍。学术出版公司，伦敦。Ferry, J.D. (1980).（1980年）。粘弹特性的聚合物。第3版，Wiley出版社，纽约州。Hinterhoelzl，R.（2000）。固体的推进剂中的有限元程序ABAQUS的UMAT根据“组织法”，研究报告kaliske，M.和Rothert的，H.（1997）。“的制定和执行情况的三维粘弹性小和有限应变。”计算力学方法。 19，第228-239页。潘，H.和艾哈迈德，M.F. （1998年）。“A材料各向异性点时间整合过程，热流变简单，粘弹性的固体。”计算力学，第。 21，第236-242页。Schapery，R.A. （1974）。复合材料的粘弹行为与分析。第4章复合材料2。（的主编Sendeckjy，G. P.），科学出版社。厮磨，J.C.和休斯，T.J.R. （1998年）。计算非弹性施普林格出版社，纽约州。泰勒，RL，匹斯特，KS，Goudrequ，GL（1970年）。“热力学分析的粘弹性固体”。 J.编号