4数学建模初等代数

1、第四章 初等代数、几何方法x = x(r, ) = r cos 0 y = y(r, 0 ) = r sin z(r, 0 , 0(i) = r, 0, +), 0 6 0, 2兀道是二元三维向量值函数，它是三维空间的一张半圆锥面，这是一元函数的另一种推广：多个因变量(x和y)接1引言：有时候现象或事件中 变量之间呈现向量值 函数的关系，空间解析几 何中熟知的映射f : 0, +00) x0, 2何I- R3,(r, ) C (x, y, z)的具体 分量形式是某种规律，随自变量t或(r, ) 0的变化而相应变化.一般地设D是Rn上的点集，DIRm的映射f : D - Rm, x =的 x2,

2、 , %), z = (z, Z2, , Zm),称为 n 元 m 维向量值函数，(或多元函数组)，记为z = f(x). D称为f(x)的定义域，R= z G Rm| z = f(x) x G D称为f的值域.多元函数是 m = 1的特殊情形.显然，每个zj(i = 1, 2, , m)都是x的函数 zi = fi(x),它称为(f )的第i个坐标(或分量)函数.于是，(f )可以表达为分量形式z = fi(x), L，、z2 = f2(x), z = f (x),因此f又可表示为f = (f , f , f ).它们有的是线性代数方程，比如在投入产出问题中；另一种就是非线性代数方程，往往来

3、自于几何中的曲线、曲面的方程以及其他领域.2线性代数方法源头问题：线性代数中 有几个最基本的概念： 线性方程组、行 列式、矩阵、二次型. 大量的科学技术问题， 最终往往归结为 解 线性方程组大约4000年前，巴比伦人能求解两个未知数的线性方程组.公 元前200年，中国出版的 九章算术”表明已经能求解3 X3的方程 组了.简单方程Ax + B = 0是一个古老的问题，莱布尼兹、拉格朗日、凯利（Cayley和欧拉都有贡献.十九世纪，高斯提出了消去法，1848, J.J. Sylveste褪出的 矩阵”概念，1855年亚瑟凯莱J进了矩阵乘法和矩阵代数.但在很长一段时间里，许多线性代数的兴趣被放缓，直

4、I第二次世界大战结束带来了计算机的发展，才使得线性代数 向前更迅速、更有效的发展.最著名的例子是哈佛大学的列昂惕夫教授.1949年，他用计算机算出了由美国统计局的25万条 经济数据所组成的42个未知数的42个方程组，这些模型是用 线性方程组来描述的，被称为列昂惕夫 “投入-产出”模型.列昂惕夫因此获得了 1973年的诺贝尔经济学奖.例题1:某地区有三个重要产业， 一个煤矿、一个发电厂 和 一条地方铁路.开采一元钱的煤，煤矿要支付0.25元的电费 及0.25 元的运输费；生产一元钱的电力，发电厂要支付0.65元的煤费，0.05 元的电费 及0.05元的运输费；创收一元钱的运输费， 铁路要支付 0

5、.55元的煤费 及0.10元的电费.在某一周内，煤矿接I外地金额 为 50000元的定货， 发电厂接I外地金额 为25000元的定货，外界对地方铁路没有需求.问三个企业在这一周内总产值多少才能满足 自身及外界的需求？例题2:交通流量问题图中给出了某城市部分单行街道的交通流量（每小时过车数）假设：（1）全部流入网络的流量 等于全部流出网络的流量；（2）全部流入一个节点的流量 等于全部流出此节点的流量。试建立数学模型确定 亥交通网络未知部分 的具体流量。3建模方法现象或事件中变量之间呈现n元线性方程组的关系aiixi + ai2X2 + . + ainXn = bia2lXi+ a22X2 + .

6、 + a2nXn = b2amiXi + am2X2 + . + amnXn = bm在数学建模中，矩阵的使用相当广泛，如数学规划、投入产出、马氏链模型等主要运用矩阵分析 来解决问题。 自然科学和工程实践中 很多问题的解决都归纳为线性方程组求解和矩阵运算4案例分析案例一、Hill密码 问题背景：Hill密码是运用 矩阵论原理的替 换密码，由Hill在1929年发明的，每个字母当作26进制数字：A=0,B=1,C=2.，串字母当成n唯向量，跟一个n X而勺矩阵相乘， 得I的结果就是加密后的密文。Hill密码是基于 矩阵的运算和可逆矩阵。明文被分成大小 相 TOC o 1-5 h z 同的几个分组

7、。密钥是一个可逆的方阵。如果把密钥矩阵成为K,Ml21砧 12 , Elm ) 卜22* * *42m*, * km J把明文中第i个分组中的m一子符记为Pii ,，Pim,相应的密文字符为 Cii , , ，Cm,加密算法为，Cil = piikil/ -1 0 1 K = Oil 1 1 1 7 + + Pimkml，若已知密钥矩阵为要对明文battle on Tuesday口密.那么密文为多少？ 【问题分析】 首先，要对明文设置对应关系。例如可以在26个英文字母与数字间建立一一对应关系:(ABCDEFGHl 012345678/ fjKLMNOPQRy 9 10 11 12 13 14

8、15 16 17 fSTUVWXYZ 18 19 20 21 22 23 24 25 )【模型构建】 由于明文共15个字符，可以分为5个分组，每个分组有三个字符。/ b a t t I e RI = o Tf TU C 8即记成这样的形式：，10 19 19 II 4 =14 13 19根据对应关系，明文矩阵为20 4 1S 3 (1 24 )【模型求解】f 18 19 20、11158A = A J K =562021 22 16所以加密后矩阵为N,.1 21 24 1 1密文为 stulpifguywavyb案例二、交通模型问题背景： 设某航空公司 在四个城市之间 有航行情况：从城市1I城

9、市2、城市3有航线； 城市2I城市1、城市3有航线； 城 市3I城市1、城市4有航线； 城市4I城市2、城市3有航线。 试 考虑城市间航线I达情况。首先考虑如何来表示 城市之间航线的情形。在这里用邻接矩阵 来表示。A = (aij ),若城市iI城市j有航线，Iaj = 1,否Iaij = 0(i, j = 1, 2, 3, 4),由此可A.=1 o)1 (J0 1/ 2 0 1 1 11110 2 2 02 0 1 V表示可以乘坐2次航班I达的城市为什么?所以A + A2，2 1 22 1 212 2k21211 )表明在2次航线内城市之间可以相互I达案例三、 动物数量接年龄段预测问题问题背

10、景： 某农场饲养的某种动物 所能达I的最大年龄为15 岁，将其分成三个年龄组： 第一组，0-5岁；第二组，6-10岁；第 三组，11-15岁。动物从第二年龄组起 开始繁殖后代， 经过长期统计， 第二组 和第三组的 繁殖率分别为4和3。第一年龄和第二 年龄组的动物 能 顺利进入下一个年龄组的存活率 分别为0.5和0.25,假设农场现有 三个年龄段的动物各1000头，问15年后农场三个 年龄段的动物 各有多少头？【问题分析】 因年龄分组为5岁一段，故将时间周期也取为5 年。15年后就经过了 3个时间周期。设.1表示第k个时间周期的第i组年龄阶段动物的数量(k=1,2,3;i=1,2,3).因为某一

11、时间周期第二年龄组和第三年龄组动物数量是由上 一时间周期 上一年龄组 存活下来的动物数量,丁砧一 1丁卬-1 j* 2所以对时间周期k = 1, 2, 3有若=袅尸又因为某一时间周期，第一年龄组动物的数量是由上一时间周期 各年龄组出生的 动物的数量,所以对时间周期 k1,2,3 有/=4制T + 3益T【模型构建】于是我们得I递推关系式；_ 1丁14*2用矩阵表示（诚、（043、/ 谈 T、碱二焉o o 曷1vd I o;。八寸）贝 Uxk = Lxk 1/ 0 4 3 / 1000 1000.1000 jL =1 () 0苴中/其中/ 1000 1000 1000 )x2 = Lx1，0 4

12、 3 ( 700、=1 0 0500 0 ： 0 八 250 )x3 = LX2/ 0 4 3 / 2750 1 0 0350010 :。八 125 )I 700 500I 2750 3500125)(14375 1375卜 875 )结果分析15年后，农场饲养的动物 总数将达I16625头,其中0-5岁的有14375头，占86.47%,6-10岁的有1375头，占8.27%,11-15岁的有 875头,占 5.226%。15年间，动物总增长 16625-3000=13625头,总增长率为 13625/3000=454.16%.案例四、 配方问题 问题背景 一种佐料由四种原料 A、B C、D混

13、合而成。这种佐料 现有两种规格， 这两种规格的佐料中， 四 种原料的比例分别为 2:3:1:1和1:2:1:2.现在需要四种 原料比例为 4:7:3:5的第三种规格的佐料。问：第三种规格的佐料能否由前两种规格的佐料接一定比例 配制而成？【问题分析】（1）假设四种原料 混合在一起时 不发生化学变化。 （2）假设四种原料的 比例是接重量计算的。（3）假设前两种规格的 佐 料分装成袋，比如说第一种规格的 佐料每袋争重7克 其中A、B C、D四种原料 分别为2克，3克，1克，1克，第二种规格的佐料 每 袋争重6克其中A、B、C D四种原料分别为1克，2克，1克, 2克。【模型构建】：根据已知数据和上述

14、假设，可以进一步假设将 x袋第一种规格的佐料与y袋第二种规格的佐料混合在一起，得I 的混合物中 A、B、C、D四种原料 分别4克，7克，3克，5克，I r+ v = 4 3工 + 2v = 7 置 + V = 3有以下线性方程组a +加=【模型求解】：上述线性方程组的增广矩阵可见x=1,y=2是解,又因为第一种规格佐料每袋争重7克，第二种规格佐料每袋争重6克，所以第三种规格的佐料能由前两种规格的佐料 接7: 12的比例配制而成。【模型应用】(1)若令凶=(2 3,1, 1)T, 2 = (1, 2, 1, 2)T,1(4, 7, 5, 3)T,I原问题等价于 线性方程组Ax = (3是否有解，

15、也等价于 B能否由 2感性表示。(2)若四种原料的比例 是接体积计算的，I最好先将体积比 转换为重量比，然后接上述方法处理。(3)上面的模型假设中的 第三个假设 只起I简化运算的作用。如果直接设x克 第一种规格的佐料 与y克第二种规格 的佐料混合得 第三种规格的佐料，I有下表种类ABCD第一2 x3x1 x1 x种7777第二1 y2 y1 y2 y种6666第三j (x + y)口 (x + y)口 (x + y)j (x +种191919y19因而有如下线性方程组舞 + 和=亮(1 + y)加+和=得(| + y)5+靓=得(比十)【模型检验】 求解上述方程组， 得Ix=7,y=12 可见

16、模型假设 中 第三个假设 不影响解的正确性。初等几何方法1源头问题“几何”来源于希腊文，原意是土地测量，在几何学发展的历史中，欧几里得的几何原本起了重大的 历史作用.对几何原本中在逻辑结果方面的 漏洞、破绽的发现， 正是推动几何学不断向前发展的契机.最后提出了希尔伯特公理体 系.2014国赛B题：创意平板折叠桌 某公司生产一种可折叠的桌子，桌子呈圆形， 桌腿随着饺链的活动 可以平摊成一张平板。桌腿由若干根木条组成,分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上，并且沿木条有空枇 以保证滑动的自由度。 桌子外形由直纹曲面构成，造型 美观。给定长方形平板尺寸 1

17、20cm X50cm X3cm,每根木条宽2.5cm,连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条中心位置，折叠后 桌子高度为53cm。试建立模型描述 此折叠桌的动态变化过程， 在此基础上给出此 折叠桌的设计加工参数（例如桌腿木条开梢的长度等）和桌脚边缘线的数学描述。在许多实际问题中， 我们可以借助 几何方法作为辅助 手段来解决问题。这些几何知识往往是 平面几何、立体几何、空间解析几 何。在空间坐标系中， 这往往建立的是 平面或空间中的 曲线和曲 面的方程，它们都是非线性 代数方程模型。 下面我们将 对几个案 例进行分析， 介绍几何方法的具体应用。3案例分析案例一、步长问题 问题背景：人在行走时所做

18、的功 等于抬高 人体重心所需的势能与两腿运动所需的动能之和.在给定速度时， 以动作最小即消耗能量最小为原则.问走路步长选择多大为合适？【问题分析】 若考虑人体 复杂的生理结构，则因素过于复杂而无法建立合理模型.因此，首先对人体 进行合理简化。 依据经验，可判断 影响步长 的主要因素有：（1）腿长h;（2游重M .【问题假设】（1）假设人体只由躯体 和下肢两部分组成， 且下 肢看作长为h、质量为M的均匀杆；（2）设躯体以匀速v前进；（3）设 走路步长为1.【模型构建】 如图，重心升高8= h - hcos 0=h h（l 枭”易弓较小时）V 腿的转动惯量i = g,角速度 单位时间的步数为 j所

19、以单位时间行走 所需的 动能为伍=1lw2 =嗜单位时间内 使身体重心升高 所做的功为圈=mg进=曙w = % + 可_I Af g出所以单位时间 行走所需的总功 = 飞 十h令n =节,得W =叫节n +锵）于是当一定时，n - W 0V 4 mh可使w最小.由=%得:案例二、 车灯线光源设计问题问题背景： 安装在汽车头部 的车灯的形状 为一旋转抛物面， 车灯的对称轴水平地 指向正前方，其开口半径36毫米，深度21.6 毫米.经过车灯的焦点，在与对称轴 相垂直的水平方向， 对称地 放置一定长度的 均匀分布的线光源.要求在某一设计 规范标准下 确定线光源的长度.该设计规范在简化后 可描述如下：

20、 在焦点F 正前方25米处 的A点放置一测试屏，屏与 FA垂直，用以测试车 灯的反射光. 在屏上过A点引出一条 与地面相平行的直线，在该 直线A点的同侧 取B点和C点，使AC=2AB=2.眯.要求C点的光 强度不小于某一额定值（可取为 1个单位），B点的光强度不小于该 额定值的两倍（只须考虑一次反射）.问题：在满足 该设计规范的条件下，计算线光源长度， 使线光源的功率最小.【问题分析】 线光源任意一点 发出的光， 可直接照射在光屏 上，也可以经过灯罩（旋转抛物面）一次反射（不考虑二次反射）后， 间接照射在光屏上.线光源上不同位置的点 发射的光线投射到 抛物 面上，反射后能够 到达指定点的 投射

21、点的集合（称为有效投射点的 集合）是不同的.因为线光源 过焦点对称水平放置， 线光源上点的 位置分布 仅与长度有关，因此在满足设计 规范要求的条件下， 寻 求线光源功率最小，线光源长度是决定因素.而弄清线光源上各点有效投射点的情况，则是解决问题的关键所在【模型假设】（1）不考虑光的二次反射；（2）不考虑光的折射； （3）不考虑光的干涉和衍射；（4）光在传播过程中 不吸收新的能 量，仅考虑光的扩散；（5）光在同一连续均匀介质中（例如空气） 传播；（6）灯丝为理想线光源， 没有横向尺寸， 不考虑灯管遮光； （7）入射光发生 完全镜面反射， 旋转抛物面不吸收能量.【模型构建】如图，按照右手螺旋准则

22、建立空间直角坐标系（单位：mm）在xoy平面内，这个旋转抛物面是 由上开口抛物线x2 = 2py以 y为轴旋转得到，而x = 36, y = 21.6在这个曲线上， 文得p = 30旋 转抛物面的方程为 x2 + z2 = 60y,这样焦点坐标为F (0,15, 0),A(0, 25015, 0), B(1300, 25015, 0), C(2600, 25015, 0)线光源上的点坐标为P1(x1, 15, 0),记其对称点为P2(x2, y2, Z2),旋 转面方程记为 F (x, y, Z = x2 - 60y + z2 = 0从而在点(%, y。, Z0)的法向量为(Fx, Fy, F

23、z) =(2xo, - 60, 2z。)即法线: -l-1 = 2x0, -60, 2z.因此，切平面的方程 2%(x - x0) - 60(y - y0) + 2z)(z - z0) = QP1P2 的 中点Pm(xm, ym, 而)满足切平面方程，即2比0(丐吸-g) - 60( 加)+24(号一加)=0 4 一R/=重0 -1，40 - 15,为入射光线：目业比月N = (2600 - xo, 25015 - yo, -z0反射光线：回顾反射定律，(1)光反射时，反射光线、入射光线、法线都在同一平面内。(2)光反射时，反射光线、 入射光线分居法线两侧。(3)光反射时，反射角等于入射角入射

24、光线PiPo、法线L1、反射光线P0c在同一平面口内则三向量的混合积为0,即，Io 一叫 yo - 15 ZQ det 2*n602之。=0 2600 Xq 25015 yo zq J整理得(24985 - yo)xi + 26O0yo + 39000% = 0.又由于 po(xo, yo, zo)在抛物面上，满足 xo2 + zo2 = 60yo,所以：-36 4 x 36,-36 o vz 36,0 0 yc 21.裱明zo可取0也可以不取0因此，(1)当zo /= 0, 从而(24985 - yo)xi + 26OOyo + 39000 = 0 时，得到 y0 = 24985 宏 1439000 -J?!-26000由0 oy 21.6求得-3.81 ix 1.56,即仅在线光源上满足-3.81 x 4.56的点发出的光经过抛物面上 zo /= 0的点 反射后可经过C点.(2)当 zo = 0 时，反射点位于用zo = 0平