球面上两点间的距离为何以大圆劣弧最短_第1页
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1、球面上两点间的距离为何以大圆劣弧最短立体几何课本定义球面距离为：“在球面上，两点间的最短距离，就是经过这两点的大圆在 这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长叫做这两点的球面距离.”学生问两点的球面距离为何 最短，课本并没有说明，教师往往感到难以解释清楚，因为此问题用高等数学的知识很容易解决，但 学生无法理解.本文给出初等方法的证明.31 若aE则：sina.atanCL .证明如图L在!单位圆中，0A = 1, sin = MP, a =AP, tan = AT,* AopVS 扇形 AOpVSAOT， TOC o 1-5 h z 11c 1.- -OA* PM -CA AT-OA* AT,

2、WHMPMAPAT,即 sin aVaVtan a.定理2函麴=竺兰在(0,上是减函数. x2证明任意叩 朽e(0, 且荟Ksinx = sinx +(x x )= sinx cos(x x )+cosx sin(x x )2121121121sinXi sinx2 基力 sin鼠一 sin基由S1HZ+ （卷卫朋 Jc：口密；=夏邕w邕诗卫勺 sitl思一炙（瓦11匿+ （勺一恣）E以）（x2 _夏）访11 戒 1 一邕（黑 z - JL） COSL TOC o 1-5 h z 12.*. x x0, cosx0, tanx x0, x x0,211111 2上式0,an Ki smxf（K

3、）=竺箜在（U, f）上是减函数 :k2定理3过球面上两点的大圆在这两点间的劣弧的长度是这两点在球面上的最短距离.证明 如图2,设A、B是球面上的两点，过&, B作大圆。，得劣弧谥 过A, B任意作小圆q得劣弧ADE.则大圆O小圆O1有公共弧AB,为方便以AB为轴旋转小圆O1到大圆所在的平面内（如图3）.图3设球半径为田小圆半径为L = ACB, != 尽,00交AB于M，Z A0B=2 aZAOB=2 AB=2a, 1则上 Rr, M 为 AB 的中点，2a, 2e(0,n), OO AB,1c AM a sin p =-.n AM a.主 il 口 =R Rsin CL C sin P ,. I aV & , R = - Sill a2a* ClCLL = R* 2CL =2a* -sm Usm 口sin p. 2a, 2BE(0,n),7TCl, P e (0, y).沦)

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