三角函数专题 (一)

1、- - - -年级:辅导科目：数学课时数:二、命题分析从近几年高考来看，对于本单元的考査，一般是以13个客观题和1个解答题形式出现，以中、低档题为主.考査的内容主要有：三角函数的图像和性质、三角函数的基本公式、三角函数的恒等变形及解三角形等基本知识.解答题常与平面向量、不等式、函数的最值等进行简单的综合，但难度不大.预计在今后的高考中，与三角函数有关的问题将继续作为高考的重点进行考査.其中，角的概念多结合三角函数的基础知识进行考査.三角函数的图像和性质主要考査三角函数的概念、周期性、单调性、有界性及图像的平移和伸缩等，多以小而活的选择题和填空题形式出现.形如y=Asin（3x+d）的函数将依然

2、作为必考内容出现在高考题中，并与三角恒等变形、平面向量、解三角形等知识结合，形成小型综合题.解三角形问题将会以选择题或填空题形式出现，主要考査正、余弦定理及利用三角函数公式进行恒等变形的技能及运算能力，以化简、求值或判断三角形形状为主.三、复习建议复习中要注意几个知识点的综合应用，这就要求我们要从整体上掌握本单元的知识结构，注重知识点之间的联系和综合运用并加大练习力度，解决公式的综合运用问题，提高计算能力.掌握正弦函数、余弦函数和y=Asin（3x+e）的图像和性质，这是历年高考的重点.3在训练中，强化“变换”意识，但训练难度不宜过大，立足课本，掌握常见问题的解法，熟记课本中出现的公式和常用到

3、的重要的结论，并注意其变形应用.从“整体处理”的思想高度去认识理解运用“五点法”尤其是对y=Asin（3x+）的图像和性质的理解、应用.在复习过程中，要着重加强三角函数应用意识的训练.四、知识讲解第一节任意角、弧度制及三角函数定义（一）高考目标考纲解读了解任意角的概念.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化.理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义.考向预测三角函数的定义及应用是本节考査重点，注意三角函数值符号的确定.主要以选择题、填空题的形式考查.（二）课前自主预习知识梳理1角的有关概念（1）角：角可以看成由绕着端点从一个位一到另一个位置所成的旋转开始时的射线叫做角a的.，旋转终止时的

4、射线叫做角a的，射线的端点叫做角a的.角的分类：角分（按角的旋转方向）.（3）在直角坐标系内讨论角象限角：角的顶点在原点，始边在上，角的终边在第几象限，就说这个角是.象限界角：若角的终边在，就说这个角不属于任何象限，它叫与角a终边相同的角的集合：B|B=k360+a,keZ.（4）弧度制1弧度的角：叫做1弧度的角.规定：正角的弧度数为，负角的弧度数为，零角的弧度数为，lai#,1是以角a作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径.以“弧度”作为单位来度量角的单位制叫做弧度制.比值与所取的r的大小，仅与有关.弧度与角度的换算：360=2n弧度；180=弧度.弧长公式：，扇形面积公式：S扇形=21r=1|

5、a|r2.2.任意角的三角函数定义设a是一个任意角，角a的终边上任意一点P（x，y）,它与原点的距离为r（r0），那么角a的正弦、余弦、正yXV切分别是：sina=r，cosa=r，tana=x，它们都是以角为，以比值为的函数.设角a的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边与单位圆相交于点P,过P作PM垂直于x轴于M,贝0点M是点P在x轴上的正射影.由三角函数的定义知，点P的坐标为，即，其中cosa=_,sina=_,单位圆与x轴的正半轴交于点A,单位圆在A点的切线与a的终边或其反向延长线相交于点T（T），则tana=.我们把有向线段OM、MP、AT（或AT）叫做a的.（三）基础自测与61

6、0角终边相同的角可表示为（）A.k360+230,kGZB.k360+250,kZC.k360+70,kezD.k360+270,kZ答案B解析由于610=360+250，所以610与250角的终边相同.已知角a的终边经过点（-J31），贝0角a的最小正值是（）A.2n11n5nC-Tn3nD，T答案解析Vsina=飞11一2,且a的终边在第四象限,11,=訂3若-n0-卷则点(tan9,sin0)在()A.第一象限答案B解析易知9在第二象限，则tan00.4若a的终边过点P（2sin30,2cos30）,则sina的值为（）A1133A-2氏一2C.2D3答案CB.第二象限C.第三象限D.第

7、四象限解析P(2sin30,2cos30)即P(1,3),r=2,故sina=乎，故选C.35已知角a的终边在直线y=3x上，贝卩10sina+=cosa答案0解析设a终边上任一点P(k,3k),则r=.X2+y2=-Jk?+3k2=；i0|k|.当k0时，r=J10k,3k3k1.*.sina=,cosa=10k1010kJ1010sina+7=3V10+3V10=0.cosavv当k0时，r=sina=,10cosa=10sina+3cosa=0.nn若402，则sine、cos。、tan0的大小关系为.答案cos0sin00)，且sin0=m，求tan0,cos0的值.解析m0,贝0P(

8、込，m)在第二象限，x=也，y=m,r=j3+m2./.sin0m；3+m2又sin04m=m.mm83+m28可知m=.；5,tan0=W=L53，典型例题命题方向：判断角所在象限例1(1)若sin0cos00，试确定0所在象限.a(2)已知a为第二象限角，则3为第几象限角？a分析(1)先确定sin0与cos0的符号，再判断0所在象限；(2)用不等式表示出a的范围，讨论可得所在象限.sin00，.cos00，解析(1)由sin0cos00，得a,cos00，由知0在第一象限，由知0在第三象限,0在第一或第三象限.a为第二象限角,n.*.2kn+2an+2kn,kZ.TOC o 1-5 h z

9、,nan,/.kn22+kn，kez.nank为偶数时k=2n(neZ),2nn+w22kn+为第一象限角；5na3nk为奇数时k=2n+1(nez),2nn+22nn+-为第三象限角.a万为第一或第三象限角.点评问题(1)主要是利用三角函数值在各象限的符号来判断，注意0是满足两个条件的公共解.aa问题(2)主要是利用不等式表示出石的范围，对k进行讨论，然后利用终边相同角的特点，即可确定R所在象限.跟踪练习1:0sing设0为第三象限角，试判一的符号cosg解析T*为第三象限角，2kn+ne2kn+(kEZ),TOC o 1-5 h zn03nkn+_22kn+z(kGZ).当k=2n(nwz

10、)时,n0302nn+222n兀+卩(nez)，此时芬在第二象限，n03n(2n+1)n+gC2(2n+1)n+(nZ)，3n07n0即2nn+-g0，0.综上可知：0)，当a为多少弧度时，该扇形有最大面积？分析(1)直接套用公式l=aR可求弧长，利用S弓一S扇一S可求弓形面积.(2)将S扇表示为a的函数，转化为函数求最大值问题.解析(1)设弧长为1，弓形面积为S弓,弓n“10n/a=60=3，R=10，l=39s=sS弓扇2-nxi0|xi02sin60=50(nn(2)解法1：扇形周长C=2R+l=2R+aR.R=CC22+aS扇=2aR2=2a(2+a)2_2C2Xa一a2+4a+42C

11、2C2a+a+R4.当a=aa即a=2(a=2舍去)时,扇形面积有最大值豈Cl解法2:由已知2R+l=C,R=(lC),C2as=2ri=2罗.呜一12)=4(】一2)+16,16C当l=2时，S2maxCC2ml216,此时a=R=厂C=2,Cf2C2当扇形圆心角为2弧度时，扇形面积有最大值16点评此类问题是将三角函数问题与不等式问题进行综合考査的，扇形的面积与弧长的计算在几何中应用较多,都可以用角度制与弧度制两种方式给出，在应用时应注意，不要把角度制与弧度制混用，造成度量单位不一致.跟踪练习2一个半径为r的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的长，那么扇形的圆心角是多少弧度？是多少度？扇形的面

12、积是多少？(2)一扇形的周长是20cm,当扇形的圆心角a等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？解析(1)设扇形的圆心角是Brad，因为扇形的弧长是rB,所以扇形的周长是(2r+r)9.依题意，得(2r+r)9=nr，180.9=n2=(n2)X()1.142X57.3065.446526,扇形的面积为S=jr29=j(n2)r2.(2)设扇形的半径为r,弧长为1，则l+2r=20.即1=202r(0r0,r=5a,a角在第二象限，sina=嬴=5，cosa=X_4ar=5a45,tana=y=_3a_x=4a34；若a0,cos0,TOC o 1-5 h znn点(siny,cos3)落在第一象

13、限,ncosCn又Ttana=k,a=,故选D.n36sin3命题方向：单位圆的应用，求证：sinaatana.已知：aw(o,专分析构造单位圆，利用单位圆中的三角函数线及三角形和扇形的面积来证明.证明设角a与单位圆交于P,则MP=sina,AT=tana，如图所示，PB的长l=a.连接AP.P0A的面积=0AMP=2sina.扇形OAP的面积=|lOA=1a.OAT的面积=*0AAT=jtana.sPOAS扇形oapXat即1sinasinaacosx成立的x的取值范围是.答案Gn，54n)(n5n解析由三角函数定义结合三角函数线知，在(0,2n)内，使sinxcosx成立的x的取值范围为匕

14、，匸思想方法点拨：弧度制与角度制不能混用，如a=2kn+30(kEZ),B=k360+寺仮印都是不正确的.在学习中要正确区分象限角和象限界角(角的终边落在坐标轴上的角)及它们的表示方法，特别是第一象限的角a|k360ak360+90,kEZ与锐角a|0a90.终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同.在高考中，主要考査象限角、终边相同的角，一般以选择题和填空题为主，结合坐标系分类讨论是解题的关键点.在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下计算更方便、简捷.要确定角a所在的象限，只要把a表示为a=2kn+a0(kEZ,0Wa02n),由a0所在象限即可判定出a所在的象限，由已知角的范围求

15、复合角的范围时，通常要用不等式的性质来解决，切忌扩大角的范围.扇形的弧长公式l=|a|r和面积公式S=|lr，是解决有关圆问题的有效工具.已知角的终边上一点坐标可利用三角函数的定义求三角函数的值，但注意可能情况的讨论.三角函数值的符号在求角的三角函数值及三角恒等变形问题中，显然十分重要，根据三角函数的定义，可简记为:正弦，上正下负，余弦，右正左负.课后强化作业一、选择题n若一2a0，则点Q(cosa，sina)位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案Dn解析由于一3a0,sina0解析因为点P(sin0cos0，2cos0)位于第三象限，所以sin0cos00,2cos00

16、，即，0为.cos00第二象限角.sina11cos2a3若角a的终边落在直线丫=x上，则专聖=+亠晋一的值等于()1sin2acosaA.0B.2C.2D.2tana答案A解析角a的终边在直线y=x上,3n.a=kn+z(kEZ),sina与cosa符号相反，sina1cos2asina+Jlsin2acosacosa|sin=0.cosa4已知扇形的周长为6cm,面积是2cm2,则扇形的圆心角的弧度数是（）A.1B.4C.1或4D.2或4答案C解析设扇形圆心角为arad,半径为r,弧长为l.l+2r=6.12r=2,r=l,l=4r=2,l=2.a=r=4或a=l.选C.已知锐角a终边上一

17、点P的坐标是（2sin2,2cos2），贝a等于（）A.2B.2nc.2空nD32答案解析点p位于第一象限，且tana=cot2=-tanly-2)=tan|2,n.a=2nn.，则下列结论中正确的是（）若A、B、C为AABC的三个内角，且ABC（C=nA.sinAsinCB.cosAcosCC.tanAtanCD.cotAcotC答案A解析解法1：若C为锐角，由已知ABC及单调性可排除B、D；若C为钝角，则tanAtanC不成立，选A.解法2：由三角形中大边对大角及正弦定理可知：ACoacosinAsinC，选A.若cos29+cos0=0,则sin20+sinB的值等于（）A.0B.土V3

18、C.0或边D.0或土V3答案D解析由cos29+cos9=0得2cos201+cos9=0,所以cos9=1或2.当cos=1时，有sin9=0；当cos9=2时，有sin9=土乎.于是sin29+sin9=sin9（2cos9+1）=0或土3.若1弧度的圆心角所对的弦长等于2,贝g这圆心角所对的弧长等于（）A.sin|nBPD.2sin|答案C解析设圆的半径为r.由题意知rsin|=1,r=，:弧长l=ar=psin2sin2二、填空题象限角.若a=k180+45,keZ，则a为第.答案一或三解析当k=2n时，a=n360+45.当k=(2n+l)时，a=n360+225,a为第一或第三象限

19、角.函数y=psinx+叮一cosx的定义域是n一一答案g+2kn,n+2kn(keZ)sinxMO，sinxMO,解析由题意知彳j酬一cosxMO，cosxWO，nx范围为g+2knWxWn+2kn(keZ)若角a的终边与直线y=3x重合且sina0,又P(m,n)是a终边上一点，且|OP|=Q16,则mn等于答案2解析依题意：n=3m,m2+n2=10.得:m=1,n=3或m=1,n=一3,又sina0,.a的终边落在第三象限，.n0,m=1,n=3,mn=2.三、解答题12已知扇形的面积为S,当扇形的中心角为多少弧度时，扇形的周长最小？并求出此最小值.解析设l为扇形的弧长，由S=jlr得

20、1=学，故扇形的周长C=2r+学.即2Cr+2S=0.由于r存在，故方程有解，因此有A=C216SM0,即cmWS. - -周长C的最小值为4S.此时，r=C=jS，中心角a=2f=2rad所以当扇形的中心角为2rad时，扇形的周长最小，最小值为4応13.已知角a终边经过点P(x,cosa*.*.sinacos2a=亨,1+t九心+门+汁1,113-=1+3+3=-.（四）典型例题1.命题方向：同角三角函数的关系例15a是第四象限角，tana=12,则等于（）1B.5D.-13解析解法1:sin2a+cos2a=1sina5cosa125解得sina=肓又a为第四象限角,5sina0,.sin

21、a=13.故选D.解法2:设tana1=,a】为锐角,5如图在RtAABC中，由tana1=,设AC=5,BC=12，则AB=13,沖1=备Ta为第四象限角，sina0，从而sina解法3：Ta是第四象限角,sina0,排除A、C,又tana=吧cosa5希，由勾股数组5,12,13知排除B,选D.答案D点评记住常用的勾股数组非常方便常用的有：3,4,55,12,13kWN+.7,24,25以及它们的倍数，如3k,4k,5k跟踪练习1：（2010全国卷I理）记cos（80）=k,那么tanl001k2AkB.寸1_k2，kD.1k2J1k2k答案B解析sin80=冷1cos280=；1cos2

22、80=、J1k2,sin80所以tan100=tan80=爲cos80命题方向:sina土cosa与sinacosa的关系n1例2已知一Vx0,sinx+cosx=：.25求sinxcosx的值；求xxxx3sin222sin2cos+cos22tanx+1tanx的值.分析可与sin2x+cos2x=1联立求出sinx和cosx,再代入求值，中注意化简的方向性和目的性:切化弦、扩角降幂，目的是化简为关于sinx和cosx的代数式.解析解法1：联立方程：.,1sinxrcosx,5sin2x+cos2X=l.由得sinx=5cosx，将其代入整理得25cos2X5cosx12=0.sinxn因

23、为一3x0,所以4、COSX=.535,所以sinxcosx=二5解法2：sinx+cosx=25124.49n25(sinx+cosx)2=l+2sinxcosxn2sinxcosx=2(sinxcosx)2=l2sinxcosx=25,由一2x0知，sinx0.7:.sinxcosxcosA+cosB+cosC.解析ABC是锐角三角形，nnn.a+b_2，即2a_2b0,:、sinAsin9即sinAcosB；同理sinBcosC,sinCcosA,：sinA+sinB+sinCcosA+cosB+cosC.(五)思想方法点拨计算任意角的三角函数值，主要是运用诱导公式化任意角三角函数为锐角

24、三角函数，其一般步骤是：负化正：当已知角为负角时，先利用一a的诱导公式把这个角的三角函数值化为正角的三角函数值；正化主：当已知角是大于360的角时，可用k360+a的诱导公式把这个角的三角函数值化为主区间(0,360)上的角的三角函数值；主化锐：当已知角是90到360间的角时，可利用180土a,360a的诱导公式把这个角的三角函数值化为0到90。间的角的三角函数值(对于非特殊角用查表或用计算器求出结果).已知角a的某一种三角函数值，求角a的其余三角函数值时，如果应用平方关系，就要进行分类讨论，先确定角的终边所在的象限，再确定三角函数值的符号.要注意公式的合理选择和方法的灵活性.在利用同角三角函

25、数的基本关系化简、求值时，要注意用“是否是同角”来区分和选用公式.在应用诱导公式进行三角式的化简、求值时，应注意公式中符号的选取.应用公式时把角a看成锐角，如果出现kn土a的形式时，常对k值是奇数还是偶数进行分类讨论，以确定角所在的象限.在进行三角函数化简和三角恒等式的证明时，细心观察题目的特征，灵活、恰当的选用公式，一般思路是将切化弦，但在某些特殊问题中就不要化切为弦，只须利用倒数关系即可，否则解法较繁，如“求证tan曽孟tanacotB”，利用倒数关系可得简证.(六)课后强化作业一、选择题1.sin600+tan240。的值是()a.2b.c.2+；3d2+V3答案B解析sin600+ta

26、n240=sin240+tan240=sin(180+60)+tan(180+60)=-sin60+tan60=-+J3=2.sina-3n+cosna2设tan(5n+a)=m，则-7+0的值为()sinacosn+am1m1B.m+1C.1D.1- - #-答案Asina3n+cosna=sin4n+n+acosausinacosaujgsinacosn+asina+cosasina+cosatana1又tan(5n+a)=m,m+itana=m，原式y.3.若sin2=4且0GB-4nn4，2C亞C.2，则cos0sin0的值是（）d.-4答案C3解析(cos0sin0)2=lsin20

27、=才T_40_2，cos0sin0,cos0sin74.已知x是三角形的内角，sinx+cosx=i3,则tanx的值是（）12A亍12B丁答案A7n解析因为0 xn，且sinx+cosx=j3，所以2x0,cosx|cosx|,tanx1，故选A.Icosn+0=()Isinn05.已知tan0=2,贝卩sinlsinf+0n0A.2B.2C.02D-3答案解析sin(2+0)-售Jsinsincosn+cos0+cos0cos0sin01tan01刍=2nn已知tan2a=2；2，且满足4a-，贝片a2cos2sina1的值为()i2sinA.J2B.2C.3+；2D.32-2答案C- -

28、 1tanasina+cosatana+1*2tana又t昨=-叭2=1亦2：2tan2a-2tana-2：2=0.解得tana=-又na1,而tanatana.J3,sina+cosa与tana不可能相等，故排除D.n方法二：由sina+cosa=tana,0a,tana=l+2sinacosa=l+sin2a,nV0a-2,.02an,0sin2aWl,ltanaW2,nV0a0,1tanaWJ2,而2；3，4a寺.二、填空题9.（2010全国卷II）已知a是第二象限角且tana=，贝0cosa=,答案-響解析本题考查了同角三角函数关系.Ttanaanis1-2:、cosa2-J55.又s

29、in2a+cos2a=l又a为第二象限角cosa0,10.若a=sin(sin2012),b=sin(cos2012),c=cos(sin2012),d=cos(cos2012)，则a、b、c、d从小到大的顺序是答案badc解析2012=5X360+180+32,：a=sin(sin32)=sin(sin32)0,b=sin(cos32)=sin(cos32)0,d=cos(cos32)=cos(cos32)0,n.又0sin32cos3212，：badc.点评本题“麻雀虽小，五脏俱全”考査了终边相同的角、诱导公式、正余弦函数的单调性等，应加强这种难度不大，对基础知识要求掌握熟练的小综合训练.

30、11.设f(x)=asin(nx+a)+bcos(nx+B),其中a,b，a，BR,且abH0,a=kn(keZ).若f(2011)=5,则f(2012)=.答案5解析Vf(2011)=asin(2011n+a)+bcos(2011n+B)=asinabcosB=5,.：asina+bcosB=5.：f(2012)=asina+bcosB=5.anI,求下列各式的值:三、解答题12.已知sin(na)cos(n+a)=(1)sinacosa；sin3na、2n+cos3l+a2分析化简已知条件sina+cosa=3，再平方求sinacosa则可求(sinacosa)2,最后得sina(2)化简cos3asima,再因式分解并利用求解.解析由sin(na)cos(n+a)=得sina+cosa=丁,2两边平方，得1+2sina-cosa=9,7故2s