2022年“时代杯”年江苏省中学数学应用与创新邀请赛初赛试题

1、“ 时代杯”2022 年江苏省中学数学应用与创新邀请赛初赛试题（中学组）密题号一2022 年 12 月 6 日下午 14001540 22 总分二三1 10 11 18 19 20 21 得分留意事项：1 本试卷有 22 题共 4 页满分 150 分考试时间 100 分钟2 用钢笔或圆珠笔（蓝色或黑色）直接答在试卷上3 答卷前将密封线内的项目及考号填写清晰号 考封一、挑选题（以下各题的四个选项中,只有一个是正确的每道题5 分,共 50 分）1已知 m 0,以下运算正确选项（）Am 2m3m5Bm2 m3m6Cm3 m2 mDm2 3 m52已知四个数：2, 3, 4,5,任取其中两个数相乘,所

2、得积的最大值是（A20 B 12 C10 D 6 3设 a1 与 2 a1的值互为相反数,就a 的值是（）A3 B 1 C0 D1 34（ n1）边形的内角和比n 边形的内角和大（）A360B 180C90D605现有二 八年奥运会福娃卡片5 张,卡片正面分别印着贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮名 姓妮,每张卡片大小、质地和背面图案均相同如将卡片正面朝下反扣在桌面上,从中随机一次抽出两张,就抽到卡片贝贝的概率是（）A1 5B1 4C2 5D4 56There is a piece of work It takes Mr. A alone 20 days to finish,and Mr. B 30

3、alone days to finish It takes them（）days to work together to finish the work 校 学线A10 B 12 C15 D50 O D 7如图,已知O 的半径为 5,直线 l 与 O 相交,点 O 到直线 l 的距离为 2,就 O 上到直线 l 的距离为 3 的点的个数是（）l A4 B 3 C2 D1 8已知方程x 22x 150,就此方程的全部实数根的和为（）（第 7 题）A0 B 2 C2 D8 9已知实数a, b 同时满意 a2b2110, a2 5b5 0,就 b 的值是（）A1 B 1, 6 C 1 D 6 10如

4、图,在ABC 中, D、 E 分别是 BC、AC 的中点C 已知 ACB90 , BE4,AD7,就 AB 的长为（）E A10 B 5 3 C213 D2 15 B 二、填空题（每道题5 分,共 40 分）A （第 10 题）11某人使用运算器运算全班50 名同学的一次数学测验的平均分时,假如错将其中的一个成果 115 分输入为 15 分,那么由此求出的平均分比实际平均分低 分1 12已知函数y1 与 y2分别由下表给出,那么满意y1y2的 x 的值是2 3 x 1 2 3 x 1 y11 3 1 y23 2 1 输入 x13设 a 0,5a是整数,就a 的值为否是否偶数14在图示的运算流程

5、中,如输出的数y5,就输入的数x减 1 是除以 2 输出 y（第 14 题）15如图,在矩形ABCD 中,点 E、 F 分别在 AB、CD 上,D F C AF EC, AFD 与四边形 AECF 的面积相等已知AB6 cm, BC3 cm,就 AF 与 CE 之间的距离是cmA E （第 15 题）B A 16设直线 l 1 是函数 y 2x4 的图象,将直线l 1 绕原点按逆时针方向旋转90得到直线 l 2,就 l2 与两条坐标轴所围成的三角形的面积是F A 17如图,在ABC 中,已知 ABC90 , D 是 AC 的中点,过D 点 D 作 DEAC,与 CB 的延长线交于点E,以 BA

6、、BE 为邻边作长方形BAFE,连接 FD 如 C60 , DF 3 cm,E B （第 17 题）C 就 BC 的长为cm18在ABC 中,已知 ACB=90o, A40o如以点 C 为中心,D B 将 ABC 旋转 角到 DEC 的位置,使B 点恰好落在边 DE 上（如下列图） 就 oE 三、解答题（第1921 题每题 14 分,第 22 题 18 分,共 60 分）C （第 18 题）19已知关于x 的方程（ a 1）x24x 12a 0 的一个根为x3（ 1）求 a 的值及方程的另一个根；（ 2）假如一个三角形的三条边长都是这个方程的根,求这个三角形的周长2 20（1）已知恒等式 x3

7、x2x 1（ x1）（x2 kx1）,求 k 的值；（2）如 x 是整数,求证：x 3x2x1x22x1 是整数21甲、乙两个水池同时放水,其水面高度（水面离池底的距离）h（米）与时间 t（小时）之间的关系如下列图（甲、乙两个水池底面相同）（1）在哪一段时间内,乙池的放水速度快于甲池的放水速度？（2）求点 P 的坐标,由此得到什么结论？8 h 米Q（3）当一个池中的水先放完时,另一个池中水面的高度是多少米？P76543甲乙21O12345t小时 3 22某人用一张面积为S 的三角形纸片ABC,剪出一个平行四边形DEFG 记 DEFG 的面积为 T, （1）如图 1,假如 DEFG 的顶点都在求

8、 T（用 S表示）；ABC 的各边上, D、G 分别是 AB、AC 的中点（2）如图 2,假如 DEFG 的顶点都在ABC 的各边上,求证：T1 2S；G C （3）对任意剪得的 DEFG ,T1 2S 仍成立吗？请说明理由A A D G D B E 图 1 F C B E 图 2 F 4 2022 年“ 时代杯” 江苏省中学数学应用与创新邀请赛初赛试题参考答案一、挑选题（每道题 5 分,共 50 分）1C 2B 3D 4B 5C 6B 7B 8 A 9A 10 C二、填空题（每道题 5 分,共 40 分）11 2 122 131,4,5 1410,或 11 151.2 164 17 1 18

9、80 说明 ：第 13 题答对 1 个给 1 分,对 2 个给 2 分；第 14 题答对 1 个给 2 分）三、解答题（第 19 题第 21 题每题 14 分,第 22 题 18 分. 共 60 分）19 解：（1）由题设,得 9（a 1） 4 312a0解得 a2 3 分所以原方程为 x24x30它的另一个根是 1 7 分（2）由题设知,三角形的三边中至少有两条边相等,就有以下两种情形：三边相等,边长为 1,1, 1；或 3, 3,3那么三角形的周长是 3 或 9； 11 分仅有两边相等,由于 112 3,所以三角形的边长只能为 3,3, 1那么三角形的周长是 7由、知,三角形的周长可以是

10、3,或 7,或 9 14 分2 3 220 解：（1）由题设知, x 1 x kx 1 x k 1 x k 1 x 1, 3 分3 2 3 2 k 1 1,所以 x x x 1 x k 1 x k 1 x 1,从而有k 1 1.解得 k0 7 分3 2 2（2）x2 x x 1 x 1 x2 1x 1x 2 x 1 x 1由于 x 是整数,所以 x1 是整数3 2故 x2 x x 1 是整数 14 分x 2 x 121 解：（1）由图知,甲池的放水速度为 8 2（米 /小时）4当 0t3 时,乙池的放水速度为 1（米 /小时）；3当 3t5 时,乙池的放水速度为 5（米 /小时）2由于12,2

11、5,3 2所以 3t5 时,乙池的放水速度快于甲池的放水速度 4 分（2）甲池中水面高度 h（米）与时间 t（小时）的函数关系为 h 2t8当 0t3 时,乙池中水面高度 h（米）与时间 t（小时）的函数关系为 h 1t 635 由h2 tt,8解得t6 5,.所以P6 28 ,5 5,即P1.2,5.625h16 .h2835由此说明,当t1.2 小时时,两池中水面的高度相等 10 分（3）由图知,甲池中的水4 小时放完当 3t5 时,乙池中水面高度h（米） 与时间 t（小时） 的函数关系为h5 t 22当 t4 时,h5,即 h2.5214 分所以当甲池中的水先放完时,乙池中水面的高度是2

12、.5 米 注：（1）中,答 3t4,不扣分22 解：（1）由于 D、G 分别是 AB、AC 的中点,所以 DG BC,且 DG1 2BC分别过点 A、D 作 AMBC,DN BC就 DNB AMB由于 B B,所以DNB AMB 又由于 DB1 2AB,所以 DN 1 2AM6 分故 T1 2S （2）过点 G 作 GH AB,交 BC 于点 H就 B GHF 由于 DE GF, DE GF,所以 DEB GFH 从而有DBE GHF 由于 DG BC,所以 ADG B,从而有ADG ABC同理,GHC ABC设 ADkAB（0k1）,就 S ADGk 2S同理, S GHC（ 1k）2STS

13、SADG SGHC1k 2（ 1k） 2 S （ 2 k 2 2 k）S 2（k1 2）21 4 S D A G 2（k1 2） 2 S1 2S1 2S 12 分（3）分以下四种情形争论：G 第一种情形 ：假如剪得的平行四边形有三个顶点在三角形的边上,第四个顶点不在三角形的边上 当其中有两个顶点在同一边时,如图3-1 所示,B E F 图 3-1 FG C 延长 DG 交 AC 于点 G,过点 G作 GF GF,交 BC 于点 F,B A C 易知四边形DEF G是平行四边形,就TS DEF G 由（ 2）知, S DEF G 1 2S所以 T1 2SGD 当三点分别在三角形的三边时,如图3-

14、2,过 A 点作FF AH DE 交 EF、DG 于 F、 G,问题转化为（ 2）和图 3-1 两E H 图 3-2 种情形,就6 T= SDEF G+ S FGGF1 2 S ABH+ 1 2 S AHC=SA 其次种情形 ：假如剪得的平行四边形有两个顶点在三角形的边上,另两个顶点不在三角形的边上3-3,延长 DG 与三角LD G KC 当这两个顶点在同一边上时,如图形的两边 AB、AC 分别交于点L、K,作平行四边形MNKL 问题转化为（ 2）就B ME 图 3-3 F NC T=S DEFG S MNKL 1 2S当这两个顶点分别在三角形的两边上时,如图3- 4延长 DE、A GF 交 BC 于点 K、M,过点 K 作 KN DG,交 G M 于点 N易D G 得四边形 DKNG 是平行四边形,从而问题转化为图3-2 的情形,就F T=SDEFG SDKN G1 2SB E M 图 3-4 N K 第三种情形 ：假如剪得的平行四边形只有一个顶点在三角形的的边上,另三个顶点不在三角形的边上如图3-5,延长 ED、FG 分别交 AB、AC 于点 K、M,过点 K 作 KN DG,交 FM 于A 点 N易得四边形EFNK 是平行四边形,从而问题转化为图3-4 的情形