正交多项式和最佳平方逼近

1、 总结2 连续函数的最佳平方逼近1 连续区间上正交多项式2.4 正交多项式和最佳平方逼近1 2.4 正交多项式和最佳平方逼近正交多项式是数值计算中的重要工具，这里只介绍正交多项式的基本概念、某些性质和构造方法。离散情形的正交多项式用于下节的数据拟合，连续情形的正交多项式用于生成最佳平方逼近多项式和下章的高斯型求积公式的构造。它们在数值分析的其他领域中也有不少应用。21 连续区间上正交多项式 连续区间上的正交多项式的概念与离散点集上的正交多项式概念相似，只要将内积的定义作相应的改变 。定义2.10 函数f (x)和 g (x)在连续意义下的内积定义为 （1）其中的 (x)0为给定的权函数。 按连

2、续意义下的内积，若多项式组k(x)k=0,n 满足条件(1),则称它为在区间a,b 上的带权 (x)的正交多项式序列。3事实上，例2.17 三角函数组上关于权函数1的正交组。4正交多项式的三项递推公式: 是首项系数为1的i次多项式，则 满足递推公式:5下面给出几种常用的正交多项式. (1) 勒让德（Legendre）多项式.正交多项式记为 ，由三项递推公式得(2.4.7)它们是在区间 -1,1上的带权 (x)=1的正交多项式.它们的根都是在开区间 (-1,1)上的单根,并且与原点对称.6 (2)第一类Chebyshev多项式. 第一类Chebyshev多项式可由三项递推公式给出.它们是在区间-

3、1,1上的带权 的正交多项式.(2.4.8)7它们的根都在开区间（-1，1）上的单根，并且与原点对称。前几个第一类Chebyshev多项式如下:8（3）拉盖尔(Laguerre)多项式。 Laguerre多项式可由三项递推公式给出。它们是在区间0,+)上带权 的正交多项式。前几个Laguerre多项式如下: 9它们的根都是在区间（0，+）上的单根。10(4) Hermite 多项式Hermite多项式可由三项递推公式给出。它们是在区间（-，+）上带权 的正交多项式。11它们的根都在区间（-，+）上的单根，并且与原点对称前几个Hermite多项式如下：122 连续函数的最佳平方逼近 连续函数空间

4、Ca,b上定义了内积（2.4.6）就形成了一个内积空间。在Rn空间中任一向量都可用它的线性无关的基表示。类似地，对内积空间任一元素f (x) Ca,b，也可用线性无关的基表示。13例如 函数组,其中线性无关。定理2.9 在a,b上线性无关的充要条件是它的Gramer行列式Gn，其中14特别地，它的Gramer行列式Gn是对角矩阵。15函数逼近:用比较简单的函数代替复杂的函数误差为最小，即距离为最小(不同的度量意义)2.函数逼近问题的提出下面讨论在区间a,b上 一般的最佳平方逼近问题。 下面我们讨论在区间a, b上函数的逼近问题。16则称 是 f (x)在 中的最佳平方逼近函数。对于f (x)C

5、a,b,若存在 ，使得设是Ca , b中的线性无关函数,记定义2.12 (最佳平方逼近函数)(2.4.11)17讨论最佳平方逼近函数的存在性，唯一性及计算方法。(1)存在性，唯一性 原问题转化为求数分知识,它有稳定解18取得极小值。19这是关于aj(j=0,1,n)的线性方程组，称为法方程. 简记为 Ga=d. 其展开形式为(2.4.13)20由(2.4.12)知(2.4.14)误差与基函数正交21事实上, 非负误差与基函数正交22(3) 平方误差总结上述讨论则有定理2.10-2.12.23H几何解释：24证： 法方程组的系数矩阵为25定理2.12 （最佳平方逼近）(2) 函数类(2.4.15

6、)26考虑特殊情形-用多项式1,x,x2,xn,作n次最佳平方多项式p*(x)逼近步骤/方法(权函数为时，a,b=0,1)解法方程组 Ga=d27法方程Ga=d中的系数矩阵为称之为Hilbert 矩阵。28说明: 上式中矩阵G 称为Hilbert矩阵,是一个著名病态矩阵（见第4章）,即当某个元素有微小变化时,引起解的变化很大,且当n 越大时，病态愈严重。求Ga=d比较准确的计算解就很困难.当n很大时它的精度便由舍入误差影响而迅速恶化。补救的办法就是取正交多项式作基。改进:用正交多项式作最佳平方逼近.29(2)用正交多项式作最佳平方逼近 方法（步骤）： 求内积： 解法方程组30平方误差 优点：用正交多项式求最佳平方逼近多项式，解法方程组变得简单了。 31工程中常用的五种重要的正交多项式32在-1，1上3次最佳平方逼近多项式。例2.18解：法方程组为33平方误差34法方程组为35 本节介绍了最佳平方逼近的基本理论(即最佳