专升本高等数学知识点汇总

1、专升本高等数学知识点汇总专升本高等数学知识点汇总常用知识点：一、常见函数的定义域总结如下:一般形式的定义域：xERy=axM+bx+cy=L分式形式的定义域：xHOy=c根式的形式定义域：X$0厂1。盼对数形式的定义域：x0二、函数的性质1、函数的单调性当旺5时，恒有/(x1)f(X2)9/(%)在片卷所在的区间上是减少的。2、函数的奇偶性定义：设函数厂/的定义区间q关于坐标原点对称(即若尢，则有-xeZ)偶函数f(x)VxeD,恒有/(-兀)=/O奇函数f(x)X/xeD9恒有f(x)=-f(x)2三、基本初等函数I常数函数：y=C，定义域是，图形是一条平行于X轴的直线。x2、幂函数：y=x

2、u，C是常数)。它的定义域随着,的不同而不同。图形过原点。u3、指数函数定义：yf(x)a，(a是常数且a0，a丰丿图形过y=f(x)=axaa0a丰1(0,1)点。(a是常数且a0，)。4、对数函数y二f(x)二logx9a形过(1,0)点。5、三角函数(1)正弦函数：y=sinxT=2兀D(f)=(y,+Qf(D)=-1,1(2)余弦函数：y=cosxT=2兀D(f)=(-+Qf(D)=-1,1(3)正切函数：y=tanxT=K(4)余切函数：y=cotx兀9D(f)=xIxgR,x丰(2k+1),kgZT=兀，D(f)=xIxgR,x丰k兀,kgZf(D)=(3,+a)5、反三角函数(1

3、)(2)(3)利用极限的四则运算法则求极限。利用等价无穷小量代换求极限。利用两个重要极限求极限。利用罗比达法则就极限。limu=A9XT九limv=B，则反正弦函数：,f)11,“D)兀兀。y=arcsinxD(f)二-1,1f(D)二-22反余弦函数:y=arccosx，D(f)=-1,1，f(D)=0“。反正切函数：y=arctanx，D(f)=(-.,+.)，f(D)二(-昇)。反余切函数：y=arccotx，D(f)二(也+)，f(D)二(0皿)o极限、求极限的方法1、代入法代入法主要是利用了“初等函数在某点的极限，等于该点的函数值。”因此遇到大部分简单题目的时候，可以直接代入进行极限

4、的求解。2、传统求极限的方法(1(2(3(4)函数极限的四则运算法则1)2)lim(u土v)=limu土limv=A土Bx九x九x九lim(u-v)=limu-limv=AB*推论lim(Cv)=Climv，(C为常数)。x九x九limun=(limu)nxT九ulimulim=x从xT九A，(B丰0)xt尢vlimvBxt久设为多项式,P(x)P(x)=a01nXT九limP(x)=P(x)0 xTx0(5)设P(x),Q(x)均为多项式，且Q(x)丰0，limxTx0P(x0Q(x0三、等价无穷小常用的等价无穷小量代换有：当xT0时，sinxxtanxxarctanxxarcsinxxln

5、(1+x)-x9ex-1x91-cosxx2对这些等价无穷小量的代换，应该更深一层地理解为：当口t时，sin口，其余类似。四、两个重要极限重要极限Ilimsinx=。xT0 x它可以用下面更直观的结构式表示：limsin口=T0重要极限II其结构可以表示为：lim1十二丿八、洛必达(LHospital)法则0”型和“g”型不定式，存在有1im型=讪空)=A0gxwg(x)xwg(x)(或g)。一元函数微分学、导数的定义设函数y=f(x)在点x的某一邻域内有定义，当自变量x在x处取得增量Ax(点一仍在该邻域内)00。如果时，相应地函数y取得增量Ay=f-Ax)_f(x)当0时，函数的增量Ay与自

6、变量心的增量之比的极限limAy=limf(Xo+心)f(%)=广(x)注意两个符号Ax和xwoAxAxAx00在题目中可能换成其他的符号表示。求导公式1、基本初等函数的导数公式0,a丰1)(ex)=ex4)(logx)=1loge=1(x0,a0,a丰1)，axaxlna(Inx)=1x(sinx)=cosx6)(cosx)=-sinx7)(tanx)=cos2x8)(cotx)=-sin2x9)10)1(arcsinx)=(-1(x1)1x21(arccosx)=(1(x(1)1x211)(arctanx)=1+x212)(arccotx)=-11+x22、导数的四则运算公式1)u(x)土

7、v(x)=u(x)土v(x)2)3)u(x)v(x)=u(x)v(x)+u(x)v(x)ku=ku(k为常数)4)u(x)v(x)=u(x)v(x)-u(x)v(x)v2(x)3、复合函数求导公式：设y=f(“)，“=9(x)，且f(u)及.(x)都可导，则复合函数y=和(x)的导数为dx=dudx=八）“（x）o三、导数的应用1、函数的单调性f(x)0则f(x)在(a,b)内严格单调增加。f(x)0则f(x)在(a,b)内严格单调减少。2、函数的极值f(x)二0的点函数f(x)的驻点。设为xo若x0；xx时，广(x)0，则f(x)为000f(x)的极大值点。若时，f()0；时，f()0，则f

8、()为xYf(x)x7f(x)0Tf(x)“000f(x)的极小值点。如果在x的两侧的符号相同，那么f(x)不00是极值点。3、曲线的凹凸性f(x)0，则曲线y=f(x)在(a,b)内是凹的。f(x)0,a丰1)lnaJexdx=ex+C6)Jsinxdx=-cosx+C7)Jcosxdx=sinx+C8)J1dx=tanx+Ccos2x9)J1dx=-cotx+Csin2x(10)fd斗CJtdx=arcsinx+C71x2H)J1dx=arctanx+C*1+x23、第一类换元积分法对不定微分Jg(x)dx，将被积表达式g(x)dx凑成，这是关键的一步。g(x)dx=f2(x)2(x)dx

9、=fp(x)d(x)9常用的凑微分的公式有：1)f(ax+b)dx=f(ax+b)d(ax+b)af(axk+b)-xk-idx=f(axk+b)d(axk+b)kaf(、；X)丄dx=2f总d云xf()丄dx=-f()d1xx2xxf(ex)-exdx=f(ex)d(ex)6)f(Inx)-dx=f(Inx)d(Inx)x7)f(sinx)-cosxdx=f(sinx)d(sinx)8)f(cosx)-sinxdx=-f(cosx)d(cosx)9)f(tanx)-1dx=f(tanx)d(tanx)cos2x10)f(cotx)1dx=f(cotx)d(cotx)sin2x11)1f(ar

10、csinx)-dx=f(arcsinx)d(arcsinx)1x212)1f(arccosx)1x2dx=-f(arccosx)d(arccosx)13)f(arctanx)-1dx=f(arctanx)d(arctanx)1+x214)(x)dx=d(lnto(x)|)(申(x)丰0)P(x)4、分部积分法Judv=uv-Jvdu、定积分公式1、(牛顿一莱布尼茨公式)如果F(x)是连续函数f(x)在区间a,b上的任意一个原函数，则有Jbf(x)dx=F(b)F(a)2、计算平面图形的面积如果某平面图形是由两所形成的旋转体，如图所示。则该旋转体的体积V可由下式求出：=Jb时2(x)dx=兀Jb

11、f2(x)dx.条连续曲线()f()及两条直线和b所y=g(x),y=f(x)x=ax=b1212围成的(其中是下面的曲线，是上面的曲线)，y1y2则其面积可由下式求出：S=ibf(x)-g(x)dx.3、a计算旋转体的体积设某立体是由连续曲线和直线及y=f(x)(f(x)0)x=a,x=b(ab)x轴所围平面图形绕x轴旋转一周x多元函数微分学1、偏导数，对某个变量求导，把其他变量看做a，八上匚常数。2、全微分公式：dz=df(x,y)=AAx+BAy。3、复合函数的偏导数利用函数结构图如果u=,(x,y)、v=V(x,y)在点(x,y)处存在连续的偏导数竺，色，空，竺，且在对应于(xy)的点

12、(uv)处，dxdydxdy函数z=f(u,v)存在连续的偏导数竺,竺，则复合函dudv数z=他(x,y艸(x,y)在点(x,y)处存在对x及y的连续偏导数，且dzdzdudzdv，+dxdudxdvdxdzdzdudzdv。+dydudydvdy4、隐函数的导数对于方程F(x,y)所确定的隐函数y心,可以由下列公式求岀;对x的导数:yxyy-P，F(x,y)y2、隐函数的偏导数对于由方程F(x,y,z)0所确定的隐函数zf(x,y)，可用下列公式求偏导数：zz5、二元函数的极值dzF(x,y,z)，xdxF(x,y,z)dzF(x,y,z)ydyF(x,y,z)设函数zf(x,y)在点(x,

13、y)的某邻域内有一阶和二0000阶连续偏导数，且，又设，fx(x0,y0)0fy(x0,y0)0fxx(x0,y0)Afxy(x0,y0)Bfyy(x0,y0)C则：(D当B2AC0时，函数f(x,y)在点(x,y)处取得极00值，且当A0时有极小值。当B2-AC。时，函数f(x,y)在点(x,y)处无极值。00(3)当B2-AC=0时，函数f(x,y)在点(x,y)处是否有00极值不能确定，要用其它方法另作讨论。平面与直线1、平面方程平面的点法式方程：在空间直角坐标系中,过点M(x,y,z)，以n=A,B,C为法向量的平面方程为A(x-x)+B(y-y)+C(z-z)二0称之为平面的点000

14、法式方程(2)平面的一般式方程Cz+D=0面方程3、两个平面间的关系0000特殊的平面方程Ax+By+Cz=0Ax+By+D=0表示过原点的平面方程表示平行于Oz轴的平面方程Ax+By=0表示过Oz轴的平面方程2、Ax+By+Cz+D=0称之为平面的一般式方程表示平行于坐标平面O的平xOy设有平面兀：Ax+By+Cz+D=0iiii1兀：Ax+By+Cz+D=022222平面和兀互相垂直的充分必要条件是:12AA+BB+CC=0121212平面冗和冗平行的充分必要条件是:12TOC o 1-5 h zABCD=ii主1ABCD222平面冗和冗重合的充分必要条件是:12ABCD=ii=1ABCD

15、222(1)直线的标准式方程过点向量s=m,n,p的直线方程M(x,y,z)且平行于00004、直线的方程x-x0y-y0zzo称之为直线的标准式方程(又称mnp点向式方程、对称式方程)。常称s=m,n,p为所给直线的方向向量直线的一般式方程A1x+By+Cz+D广0称之为直线的一般式方程Ax+By+Cz+D=022225、两直线间关系设直线l，l的方程为12xxyyzzl:1=1=11mnp111x-xy-yz-zTOC o 1-5 h z/._-cc2221mnp222直线l,l平行的充分必要条件为m亠；2mn22直线l,l互相垂直的充分必要条件为2mm+nn+pp=0212126、直线z

16、与平面间的关系设直线/与平面”的方程为x-xy-yz-zl:0二0=Omnp兀:A(x-x)+B(y-y)+C(z-z)=0000直线l与平面冗垂直的充分必要条件为：A_B_Cmnp直线l与平面平行的充分必要条件为：(Am+Bn+Cp_0|Am+Bn+Cp+D丰0TOC o 1-5 h z0o0直线l落在平面冗上的充分必要条件为(Am+Bn+Cp_0|Am+Bn+Cp+D_00o0将初等函数展开成幂级数1、定理：设f在应。,）内具有任意阶导数，且limR(x)_0nR(x)_nf(W)(x-x)n+1(n+1)!0萨f(n)(X)/、f(x)=工A(x-x)nn!on=0称上式为f(x)在点x

17、的泰勒级数。或称上式为将f(x)展开为x=x的幂级数。02、几个常用的标准展开式丄xn1-xn=01另(1)=(-1)nxn1+xn=0yxnex=n!n=0灯x2n+1sinx=(-1)n-0(2n+1)!n=0兰(1)COSx=丫(-1)nn=0ln(1+x)=另(-1)n巴nn=0ln(1-x)亠xLnn=0常微分方程1、一阶微分方程(1)可分离变量的微分方程若一阶微分方程F(x,y,门=0通过变形后可写成g(y)dy=f(x)dx或y，=f(x)g(y)则称方程f(x,y,y，)=0为可分离变量的微分方程.2、可分离变量微分方程的解方程g(y)dy-f(x)dx必存在隐式通解g(y)F

18、(x)+C。其中:G(y)jg(y)dy,F(x)jj(x)dx.即两边取积分。(2)阶线性微分方程1、定义：方程y，+p(x)y=Q(x)称为一阶线性微分方程.非齐次方程一一q(x)0；齐次方程一y，+p(x)y0.2、求解一阶线性微分方程(1)先求齐次方程y，+P(x)y0的通解ycewx,其中c为任意常数。将齐次通解的。换成u(x)。即yu加啃(3)代入非齐次方程严P(x)y=Q(x),得2、二阶线性常系数微分方程(1)可降阶的二阶微分方程1、心型的微分方程yj(x)例3：求方程y1e2x_sinx的通解分析:21；y=Jydx=e2x+cosx+C”41(3)解上方程,得InIp1=InIyI+InCnp=Cy1y=jydx-e2x+sinx+Cx+C2、812y，f(x,y)型的微分方程解法：令p=y，方程化为卄f(x,；解此方程得通解?卫)；再解方程0&C)得原方程的通解1y=I9(x,C)dx+C123、y”=f(y,y)型的微分方程解法：令p_y,并视p为y的函数，那么pypydpdpdydp,y=p歹dxdydxdypdy二f(y,p)dy(2)代入原方程,得解此方程得通解p严(y,c)；再解方程(y,C)得原方程的通解1Idy二x+C-TOC o