数字电子技术：第二十一讲 氢原子的量子力学处理、四个量子数

1、11.氢原子的定态薛定谔方程设原子核相对静止，电子在核的库仑场中运动，则U(r) 与 t 无关，满足定态薛定谔方程：三、氢原子的量子力学处理2采用球坐标：球坐标中的定态薛定谔方程：3ml为常数。l为常数.分离变量，设得到三个独立方程：4连带勒让德函数由上述三个方程得出满足波函数标准条件的基本解：拉盖尔函数，r 时趋于零.Rnl可查阅数学手册，例如：玻尔第一轨道半径5 由三个量子数：n、l、m 决定。综合得出定态波函数：例：n、l、m 取不同值的定态波函数:玻尔半径球谐函数6能量量子化和主量子数主量子数电子能量的量子化条件：2.量子化条件和量子数在求解上述方程时，要求波函数满足一定条件，由此自然

2、得出如下几个基本量子化条件和量子数：轨道角动量量子化和角量子数l角量子数（副量子数）.电子轨道角动量的量子化条件：7处于同一能级En 的原子，角动量可能有n 种不同的取值。 对应于同一个主量子数n，角量子数l 可取0(n-1)共 n 个值。电子轨道角动量的量子化n 个不同的稳定状态对应于同一个能级的情况称为能级的“简并”。8量子力学中通常用小写字母 来表示 等状态。例：对 角量子数 可取 和 分别用 和 表示其状态。其中：前面的数字代表主量子数，后面的字母代表角量子数；其角动量分别为角量子数角动量符号9讨论旧量子论中的轨道角动量量子化假设：玻尔假设索末菲公式旧量子论的结果与量子力学的结果不同。

3、而且：实验证明量子力学结果是正确的。旧量子论 量子力学 10空间量子化和磁量子数空间量子化角动量在空间取向不是任意的，只能取某些特定方向。通常以外磁场方向为参考（z轴）,则电子轨道角动量的空间量子化条件：磁量子数 对一给定的 值， 可取 个值。即同一个轨道角动量L在空间有 个可能的取向。11L三种取向L五种取向例：12空间量子化的实验验证1896年塞曼发现原来没有外磁场时的一条谱线在加上强磁场后，分裂成三条谱线：其中之一频率0不变，另外两条频率分别为0+ 和0-。 与磁场强度有关，这种对称的谱线分裂称为正常塞曼效应。用空间量子化解释：在外磁场中，对一给定的 n、l，有(2l+1) 个不同的 m

4、l 值，即有(2l+1)个不同的量子态。而每一不同的ml 又产生一个不同的附加能量E。所以，一个能级 En 在外磁场中会分裂成 (2l+1)个不同的能级。13例：锂2p1s 谱线的塞曼效应:有磁场无磁场14电子的自旋和自旋磁量子数1921年，史特恩和盖拉赫在实验中发现：处于s态的银原子的一束射线在非均匀磁场中分裂为两束。银原子处于 态， 这种分裂不能用电子轨道角动量的空间量子化来解释。此外，谱线的精细结构也说明不能仅用 三个量子数描述的态来解释。轨道角动量的空间量子化效应15即使无外磁场，一些谱线也是一分为二或三（即由相距极近的二或三条谱线构成）。启示除了轨道磁矩之外，原子内还有另外一种也是量

5、子化的磁矩存在。如：钠原子D线（3p3s）就是由589.0nm（D1）和589.6nm（D2）两条谱线组成。1925年 ，荷兰的两个学生乌仑贝克和高斯密特发表论文提出了电子自旋的假设。后来通过相对论量子力学自然地得到了电子具有固有角动量的重要结论。光谱的精细结构16电子自旋角动量S 的大小所以s自旋量子数。由实验得知：s 仅有一个取值：电子不是点电荷，除轨道运动之外，它还有自旋运动。即具有固有角动量，称之为自旋角动量。电子自旋的基本观点17ms自旋磁量子数。它只能取如下两个值：自旋角动量S在外磁场方向的投影按规则：ms取2s+1=2个可能值.电子自旋角动量在空间取向的量子化18基态 无轨道磁矩

6、，但有自旋磁矩，故同样受到磁场力作用，产生能级分裂。如：钠原子D线，对史特恩盖拉赫实验的解释对精细结构的解释内磁场：由电子的轨道和自旋相互作用（耦合）而产生。 （ 态）无此耦合作用，故 态不分裂。内磁场193.归纳四个量子数的意义原子核外电子的运动状态由四个量子数 来决定。 决定电子的能级En（决定能量的主体部分）。2.角量子数 l（副量子数）1.主量子数决定电子绕核运动的角动量 L。对同一个主量子数 可取 共 个可能值，对应于 n 个不同的量子态。203.磁量子数ml决定电子轨道角动量在外磁场中的取向。对一确定的 值， 有 个可能取值。4.自旋磁量子数ms 决定电子自旋角动量在磁场中的取向。

7、 对于确定的 值， 可有两个取值。 和 均引起原子能级在磁场中的分裂。21自旋为半整数，即自旋为1/2、3/2、5/2的粒子称为“费米子”。如电子、轻子、核子、超子等。费米子服从费米狄拉克分布，其分布受泡利不相容原理的制约，波函数为反对称函数。自旋为整数（包括零在内）的粒子称为“玻色子” 。如光子、介子、引力子等。玻色子服从波色爱因斯坦统计分布，不受泡利不相容原理的制约，在玻色子的某一个能级上，可以容纳无限个粒子。其波函数是对称的。费米子和波色子22例：设氢原子处于l =2状态，求轨道角动量可能的各个空间取向角（相对外磁场方向）及其投影值 Lz。解： 234. 概率密度与电子云按量子理论，电子

8、在核周围何处出现是不确定的，只能推出其在某处出现的概率大小。引入电子云的概念来形象地表示电子在空间按概率分布的规律。不同的量子态其概率分布不同。通常所谓的电子“轨道”其实代表电子出现概率最大的地方。例：基态电子，求其径向概率分布。解：其径向概率密度为24令解出对应极值位置：又如对量子态令：径向概率分布有两个极大值。024681012141625峰值位置：从量子力学观点看，玻尔轨道就是电子出现的概率最大处. 说明：上述只对同一主量子态 n 中角量子数 l 最大的状态而言，若 l 不是最大，则可能有多个极值，位置也不满足上述规律。051015202526对同一主量子态n，角量子数l为最小值时，极大

9、值个数等于主量子数n，其位置均不满足峰值位置：051015202527几种不同量子数的概率密度角向分布图d 电子f 电子s电子p电子2728不同量子数的概率密度角向分布剖面轮廓图s电子p电子d 电子f 电子29四、原子的壳层结构对于多电子原子，电子的运动状态仍用四个量子数 来描述。 小的 小，分布在离核较近区域的概率大； 大的 大，分布在离核较远区域的概率较大.所以核外电子的分布可用一壳层结构模型来表示。电子与核的距离按其能量的大小来分布：对于多电子原子，其结构可用壳层结构来描述。301.泡利不相容原理在一个原子内，不可能有两个或两个以上的电子具有完全相同的量子态。也就是说任意两个电子不可能具有完全相同的四个量子数 。2.能量最小原理原子处于正常状态时，每一个电子都趋向于占取能量最低的能级。泡利不相容原理决定每一壳层所能容纳的电子数目;能量最小原理决定了电子填入壳层时对不同壳层的选择次序。31各支壳层最多可容纳的电子数：第一壳层只能容纳两个电子；余下的填第二壳层，第二壳层最多容纳8个电子，2s态容纳2个，2p态填6个;余下再填M壳层，3s态2个，3p态6个，然后先填4s能级，再填3d 能级。原子各主壳层最多可容纳的电子数：主量子数壳层符号支壳层符号角量