上海应用技术学院复变函数积分变换复习卷(答案)

1、上海应用技术学院 20212021学年第二学期?复变函数与积分变换?期末复习卷课程代码: B2220211 学分: 2 考试时间: 分钟课程序号: 班级： 学号： 姓名: 我已阅读了有关的考试规定和纪律要求，愿意在考试中遵守?考场规那么?，如有违反将愿接受相应的处理。题 号一二三四五六七八九十总 分应得分100得 分试卷共 5 页，请先查看试卷有无缺页，然后答题。一填空题每空2分，共36分假设，那么材=复数的指数形式是，幅角主值= 。3. 复数= ，= 计算过程可见第三题。4. 设 解析，那么， = 。5. 设C为自原点到的直线段，那么积分=用牛顿-莱布尼兹公式。6. 级数是 条件收敛 填发散

2、、条件收敛或绝对收敛。7. =。请分别用柯西积分公式或留数定理计算8. 设.，那么 是可去奇点选：可去奇点、极点或本性奇点， = 0 。9. 函数的奇点是都是一级极点10. 是 的 本性奇点 选：可去奇点、极点或本性奇点，= 1 。11. 函数的幂级数展开式是。12. 拉普拉斯变换的定义是。13. 假设, 那么 。二计算前2题各4分，第3题6分1说明函数在一点连续、可导、解析的关系。 讨论的连续、可导、解析性。答：函数在一点连续、可导、解析的关系是：解析可导连续，反之不成立。 对，设，那么，即 。 由于都是连续函数，故在复平面上处处连续。由于。显然可微，但只在处满足柯西-黎曼方程。因此只在处可

3、导，但在复平面上处处不解析。2分别求 和 的模、幅角、实部、虚部。解：所以模为 ，幅角4 + 2 k (主值为4 -)，实部、虚部。所以模为 ，幅角 + 2 k (主值为 )，实部 、虚部 。 3 验证 是调和函数，并求，使函数为解析函数。解：，因此u是调和函数。下面用偏积分法求v：由，得到；再由，得，所以当时，为解析函数。三. 求 ,解：。其中k = 0时可得相应主值。四. 求在内的罗朗展开。在内的罗朗展开。将函数 展成 z 的罗朗级数，并指出收敛范围。解：1. 对，因为在内有 ，故在 内有 2. 对，在内时3. 五计算1.，其中C是从0到的直线段。解：由于z e z 是解析函数，用分部积分

4、法可得 2.其中C是从0到的直线段解：由于被积函数不解析，此题只能沿曲线来计算积分。直线段的参数方程为 z =(2 + i)t ( t从0到1),d z =(2 + i)d t。所以得到3.设，求6分解：所以 进而得 4.6分。求积分,为不通过的闭曲线.解：当a不在C内时，由柯西-古萨根本定理，得 当a在C内时，由高阶导数公式，得 。5.解：的一级极点有z = 0.5+k，其中在C内。且由法那么可求得在各极点处的留数为。故由留数定理得六. 求拉氏变换，。 求以下函数的拉氏逆变换 1. 2. 解：七. 设在区域D内解析，。用柯西-黎曼方程证明 也在区域D内解析。证明：，为常数 - i与解析函数f

5、 (z) 的乘积，故 也在区域D内解析。注意：这里不是用柯西-黎曼方程证明的，请大家自己写出用柯西-黎曼方程证明的过程八. 表达留数定理的内容。表达柯西积分定理即柯西-古萨根本定理内容.表达柯西积分公式及高阶导数公式内容.上海应用技术学院20212021学年第一学期一选择题每题3分，共15分 1. 方程 表示 . . . . 以上都不对 2. 设z =, 那么 . . . . . 0. . 以上都不对.3. z = 0是 的几级极点 . 1. . 2. . 3. . 以上都不对.4. ，那么Res= . 1. . 1/2. . 1/3. . 以上都不对.5. 沿正向单位圆周的积分 = . .

6、2. . 0. . . . 以上都不对.二填空题每题3分，共15分= 2. = 函数的奇点是 ，当a = 时是解析函数。，那么 L = 三计算每题7分，共49分1求 的模、幅角、实部、虚部。23，其中c为从 i 到0的曲线。45用留数定理计算上海应用技术学院 20212021学年第二学期 一选择题每题3分，共15分1. z = 0是 的什么点？ B . 极点. . 可去奇点. . 本性奇点 . 非孤立奇点.2. ，那么Res= A . 1. . 1/2. . 1/3. . 0 .3. = B . 0. . sin i . cos i. . 1 .4. 沿正向单位圆周的积分 = C . 2. .

7、 1. . 0 . . 2i5. 设m为正整数，z = a是的m级零点 , 那么z = a是的几级极点 D . . 1. . 2. . m - 1. . m.二填空题每题3分，共15分= = 假设，那么z = 3. ，当a = 5 . 时在复平面上处处可导。，那么 L = 三计算每题7分，共56分1，试求在复平面上何处可导？何处解析？23，其中c为从1 - i 到0的任意一条曲线。45用留数定理计算6给定调和函数 ，求调和函数v，使得成为一个解析函数。7将复函数展成z的幂级数，并指出收敛域。8设，求四. 积分变换每题4分，共8分1. ，求 L2. 用拉普拉斯变换的微分性质证明五. 证明题6分

8、假设函数与在单连通区域D内处处解析，C是D内任意一条闭曲线。证明：假设等式在闭曲线C上处处成立，那么该等式在闭曲线C内也处处成立。答案三计算每题7分，共49分1，试求在复平面上何处可导？何处解析？解：2解：3，其中c为从1 - i到0的任意一条曲线。解：4解：5用留数定理计算解：6给定调和函数 ，求调和函数v，使复函数成为一个解析函数。解：7将复函数展成z的幂级数，并指出收敛域。解：四. 积分变换每题5分，共15分1. ，求 L解：2. ，求 L-1解： 5分3. 用拉普拉斯变换的微分性质证明 证明：设2分。 由微分公式：2分，得 五. 证明题6分 假设函数与在单连通区域D内处处解析，C是D内任意一条闭曲线。证明