3.1 指数函数2

1、江苏省南通中学 高一数学 PAGE PAGE 93.1.2指数函数（一）教学目标：1.知识与技能：通过指数函数定义的教学，初步掌握指数函数的图象、性质及其简单应用(1)通过具体实例，学生能体会指数函数的重要性及其应用的广泛性，从而激发学习兴趣；学生能从具体实例中概括出一类函数的典型特征，形成指数函数的概念(2)用列表描点法画出指数函数的图象，能从数形两方面认识指数函数性质(3)能利用指数函数的图象与性质比较某些指数形数的大小2.过程与方法：(1)通过对指数函数的概念、图象、性质的学习，培养学生观察、分析、归纳的能力，培养数形结合与分类讨论的能力(2)学生会运用研究函数的一般方法研究函数的性质，

2、经历从特殊到一般、从具体到抽象的研究过程， 体会数形结合的思想方法，能根据具体函数的图象归纳出指数函数的图象特征与性质经历研究一个新函数的探索过程，了解与体会其蕴涵的一般方法3.情感、态度、价值观：(1)通过对指数函数图象和性质的研究，培养学生的探索能力和观察归纳的钻研精神(2)在得到指数函数图象与性质的过程中，通过合作学习，集体交流、集思广益，培养学生团结协作的精神教学思考：1）指数函数是在学生系统学习了函数概念,基本掌握了函数的性质的基础上进行研究的,它是重要的基本初等函数之一,作为常见函数,它既是函数概念及性质的第一次应用,也是今后学习对数函数的基础,同时在生活及生产实际中有着广泛的应用

3、,所以指数函数应重点研究.2）指数函数是学生完全陌生的一类函数,对于这样的函数应怎样进行较为系统的理论研究是学生面临的重要问题,所以从指数函数的研究过程中得到相应的结论固然重要,但更为重要的是要了解系统研究一类函数的方法,所以在教学中要特别让学生去体会研究的方法,以便能将其迁移到其他函数的研究.3）细节：(1)关于指数函数的定义按照课本上说法它是一种形式定义即解析式的特征必须是的样子,不能有一点差异,诸如等都不是指数函数.(2)对底数的限制条件的理解与认识也是认识指数函数的重要内容.如果有可能尽量让学生自己去研究对底数,指数都有什么限制要求,教师再给予补充或用具体例子加以说明,因为对这个条件的

4、认识不仅关系到对指数函数的认识及性质的分类讨论,还关系到后面学习对数函数中底数的认识,所以一定要真正了解它的由来.（3）关于指数函数图象的绘制,虽然是用列表描点法,但在具体教学中应避免描点前的盲目列表计算,也应避免盲目的连点成线,要把表列在关键之处,要把点连在恰当之处,所以应在列表描点前先把函数的性质作一些简单的讨论,取得对要画图象的存在范围,大致特征,变化趋势的大概认识后,以此为指导再列表计算,描点得图象.教学重点：在理解指数函数定义的基础上，初步掌握指数函数的图象、性质及其简单应用.教学难点：对指数函数研究的基本思路与方法利用已学函数知识指导具体函数问题的研究；得到未知的一类函数图象与性质

5、的一般方法和过程教学方法：（1）问题引导、自主探究相结合 （2）多媒体辅助教学教学模式：创设情境、形成概念；动手操作、直观感知；观察发现、概括归纳；例题解析、巩固提升；总结拓展、作业布置教学过程：一、创设情境、形成概念折纸游戏古希腊著名的科学家阿基米德说：“给我一个支点，我可以撬起地球。”那么，今天我们试试，“给我一张纸，我就能使它超过珠穆朗玛峰！”大家觉得能成功吗？ 将一张白纸进行多次对折。假设这张纸能够连续对折，需要对折多少次后其高度能超过珠穆朗玛峰的高度？课件展示纸与珠穆朗玛峰的鲜明对比，给学生感官上的震撼。 请学生先估计后实验。对折次数与层数是否具有对应关系?能表示出这个关系式吗? （

6、板书）为什么实际对折次数与估计次数差距如此大呢？这张纸的厚度只有0.1mm，但是对折仅27次后纸的厚度会超过世界最高峰珠穆朗玛峰的8848m然后计算函数值.结果竟然是13442这个高度显然已经超过珠穆朗玛峰的高度（惊人的增长速度）设白纸的面积为1，对折次数与折叠后纸的面积是否具有对应关系? 能表示出这个关系式吗? （惊人的递减速度） （板书）问题一：见过类似的关系式吗？能再举几个例子吗？ 细胞分裂、银行复利第64页引例： 第68页例4：（板书）在我们的生活和科学研究当中，出现了大量这样的关系式。“经过几年后”放射性物质变化是连续性的。问题二：这些关系能否都构成函数关系？每一个x都有唯一的y 与

7、之对应，因此按照函数的定义这些关系都可以构成函数.问题三：它们是我们已经所学的函数吗？一次函数？反比例函数？二次函数？这两个函数不同于我们所学的函数.问题四：这类函数式有哪些共同的特征？不同点？共同的特征：都是指数式；自变量出现在指数的位置；底数是一个常数不同点：底数的取值不同方案一：问题五：这类函数式在形式上能不能进行统一？可以统一成哪一个表达式？（板书）在这个表达式中，指数位置上是自变量，底数是一个常数问题六：确定一个函数仅仅确定它的对应关系不够的，还应确定？函数的定义域（板书）问题七：如果除去刚才问题中的现实背景，仅仅就函数表达式而言，可取什么样的数？ 一切实数（板书）指数式的运算性质已

8、经由整数拓展到实数(更具有应用性、符合实际情况)根据该函数的特征，我们把形如这样的函数称为指数函数这就是我们这节课所要研究的对象“指数函数” （板书）问题八：能再写出几个具体的指数函数吗？以上例子的不同之处是底数不同 那么你觉得底数能取哪些值？（稍停顿）底数的允许值范围是什么？ 学生口述. 提出问题:为什么要规定底数大于0且不等于1呢?(若学生感到有困难,可将问题分解）若，则对于的某些数值，可使无意义. 如，对于=，=，等等，在实数范围内函数值不存在，无意义. 若，则当0时，=0；当0时，无意义.若，则对于任何R，=1，是一个常量，没有研究的必要性.指数函数作为基本函数模型,所以规定.方案二：

9、这类函数与我们前面研究的函数有所区别，就把形如这样的函数称为指数函数。 （板书）问题九：研究一个新函数，应该从哪几个方面入手呢？ 函数的定义、图像、性质。（板书：定义图像性质）问题十：现在我们能给出指数函数的定义吗？怎么定义？大家回忆一下，对于初中的几个函数咱们是怎么下定义的呢？类比这些定义在以前我们学过的函数中，一次函数用形如y=kx+b（k0）的形式表示，反比例函数用形如y=k/x（k0）表示，二次函数用y=ax2+bx+c（a0）表示，且对其一般形式上的系数都有相应的限制，问题十一：你能否给指数函数的定义，谁来尝试一下？形如函数。（板书）在这个表达式中，指数位置上是自变量，底数是一个常数

10、问题十二：确定一个函数仅仅确定它的对应关系不够的，还应确定？函数的定义域（板书）问题十三：如果除去刚才问题中的现实背景，仅仅就函数表达式而言，可取什么样的数？一切实数（板书）现在指数式的运算性质已经由整数拓展到实数1、定义：形如函数称为指数函数。2、说明：1)关于指数函数的定义域：引导学生回顾指数范围, 指数范围扩充为实数范围,所以指数函数的定义域为。扩充的另一个原因是因为使她它更具代表更有应用价值.2）关于对 的规定: 提出问题:为什么要规定底数大于0且不等于1呢?(若学生感到有困难,可将问题分解）若，则对于的某些数值，可使无意义. 如，对于=，=，等等，在实数范围内函数值不存在，无意义.

11、若，则当0时，=0；当0时，无意义.若，则对于任何R，=1，是一个常量，没有研究的必要性.指数函数作为基本函数模型,所以规定.3）关于是否是指数函数的判断：分别认识了指数函数中底数、指数的要求,下面我们从整体的角度来认识一下,根据定义我们知道什么样的函数是指数函数,请看下面函数是否是指数函数.举例：（1）（2）（3）（4）（5）（6）(7)变式意图一：指数函数的定义是形式化的定义,就必须遵照形式要求标准：指数函数的解析式中，的系数是1；指数上只有唯一的自变量x；底数是一个常数且必须满足：0 且1。意图二：有些函数貌似指数函数，实际上却不是:如 ()；有些函数看起来不像指数函数，实际上却是:如

12、()，因为它可以化为，其中0，且1。其实经过化简以后就变成了指数函数所以不要仅从表面上观察，要抓住事物的本质意图三：虽不是指数函数，但它们却可以由指数函数经过变换得到，它们与指数函数有着紧密的联系，我们以后也是借助指数函数来研究它们的性质。二、动手操作、直观感知我们已建立了指数函数的概念，接下来你想干什么？你想进一步认识指数函数吗？指数函数有何特征？（启发引导学生自己提出“要研究指数函数性质”的问题）您打算怎样研究指数函数的性质呢？以前有过类似的经历吗？你研究过哪些函数的性质，是如何研究的？（让学生回忆研究函数性质的方法画图象，由图象观察其性质）你如何实施你确定的研究方法和研究目标？你怎样画出

13、指数函数的图象？（让学生自己选择的值，画图象） 选取数据：多样化（同组的尽可能不一样） 画出图象：列表描点法 观察特征：学生感知、观察、发现、归纳（图上看到什么、对应怎样的性质、对性质证明或说明） 归纳性质：具体到抽象、特殊到一般学生观察图象，是对图形语言的理解；根据图象描述性质，是将图形语言转化为符号语言或文字语言教师应引导学生关注不同指数函数图象的“变”与“不变”，将函数图象的直观感知和数学理性思维相结合，对观察所得的结论进行适当的说明或证明在此过程中，帮助学生由具体指数函数的性质归纳一般指数函数的性质思考1：函数图象分布在哪几个象限？ 与x轴的关系如何？思考2：由此可知函数的定义域、值域

14、分别是什么？思考3：随着x的增大，函数值的变化情况如何？由此说明什么性质？思考4： 函数图象在y 轴两侧的分布情况如何？由此说明函数值有什么特点？思考5：随着底数a 的逐渐增大，函数图象有什么样的变化规律归纳性质是让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般的思维过程教师应引导学生认识到归纳函数性质一般可分为三个层次：一是一般函数都需研究的性质（共性），如定义域、值域、极值、单调性、奇偶性、周期性等；二是一类函数特有的性质（个性），如过定点、渐近线等；三是函数之间的性质教师应引导学生有条理地归纳性质，明确研究内容，避免杂乱和遗漏由归纳得到的性质的正确性需要验证对于指数函数的性质，一方面可以引导学生从解

15、析式入手说明，例如对指数函数定义域、值域以及图象过定点（，）的说明另一方面，可以运用多媒体，通过动态图象验证，进一步体现数形结合的思想，如指数函数的单调性等教师巡视，发现并选择有代表性图象展示选择几组：（写学号）在展示学生所画图象时，注意进行分层展示：（）只画一个函数图象；（）在两个坐标系中画图；（）所取底数均大于；（）一个底数大于，一个底数小于；（）关于轴对称的两个指数函数以递进的方式呈现学生思维的不同层次意图一：列表描点法：示范作图（点越多越好）意图二：底数、 各几个：直观感知分类讨论两个都是指数函数，但图像却是截然不同，受谁的影响啊？（提问）底数a，应在a1 和0a0时，1第二象限内的图

16、像在1的下方当0时，0时，1第二象限内的图像在1的上方当14）研究指数函数就底数与这两种情形进行归纳：图象性质共同点（1）定义域： （2）值域：（0，+）（3）过定点（0，1），即=0时，y=1不同点（4）在上是增函数（4）在上是减函数（5）当0时，1；当0时，0时，1； 当1强调：结合函数的图象说出函数的性质，是一种重要的数学研究思想和方法数形结合思想（方法）；的取值范围是今后应用指数函数讨论问题的前提；同学们要在理解的基础上熟知上述指数函数的图象和性质表；在应用时要充分借助图像，从图中就可以读出性质。四例题解析、巩固提升一类函数研究完它的概念、图象和性质后,利用它解决问题来体现下指数函数小

17、小价值。问题解决是利用指数函数的单调性来比较指数式的大小，教学的意义在于让学生寻找解决问题的方法函数思想与 与与 与 与与如何比较二者大小，你能通过计算比较吗？如果能，那改为比较与的大小呢？（意在让学生感受到：直接计算并不是解决问题的办法，必须要寻求另外的“出路”）两式有何特征，有何共同特点？（分析出都是指数式，底数相同，指数不同）指数不同是什么意思，是否意味着指数在变化，你有何联想？（底数不变，指数变化联系指数函数）应该引进怎样的指数函数？引进指数函数后怎样说明两个式子值的意义？分析：观察两个数的特点,有什么相同?由学生指出它们底数相同,指数不同.再追问根据这个特点,用什么方法来比较它们的大

18、小呢?让学生联想指数函数,提出构造函数的方法,即把这两个数看作某个函数的函数值,利用它的单调性比较大小.解：利用函数单调性1.71，函数y=在是增函数，且2.53，；00.8-0.2，；分析：1）小结：(1) 构造函数并指明函数的单调区间及相应的单调性. (2) 自变量的大小比较 (3) 函数值的大小比较.2）与的区别：不同底，但可以转化为同底再解决；但就不适用了，数学中常用方法就是取一个中间值“1”来起个桥梁的作用，间接比较。 又01，函数y=在R是减函数，且1.6； 又1，函数y=在R是增函数，且，；1；1即.小结：比较大小的方法 (1) 构造函数的方法: 数的特征是同底不同指(包括可转化为同底的) (2) 搭桥比较法: 用特殊的数1或0.三、巩固练习：1、比较大小： (1)与 (2) 与 (3) 与 (4) 与 (5) 与2、已知下列不等式，试比较的大小： ；.3、比较下列各数的大小： ， 四、拓展提高：1、将下列各数从小到大排列：解：，其余的数分成三类：负数：大于1的数：，大于0而小于1的数：，中;中.2、解不等式：解：原不等式可化为，函数y=在R是增函数，。五.总结拓展、作业布置从生活中引出了指数函数的概念，并通过亲自画出图形，一起分析出了指数函数的性质，最后还学会利用单调性来比较指数式的大小，在探究问题的过程中，大家初步