微积分外招课件wjf08-o

1、2017 年 5 月 16 日第八章多元函数暨南大学数学系第一节第二节第三节第四节第五节第六节第七节空间几何多元函数的概念极限与连续偏导数与全微分复合函数的导数二元函数的极值二重积分空间直角坐标系 1 2 3 4 5 6 7 3/102 空间直角坐标系 三个坐标轴 1 2 3 4 5 6 7 3/102 空间直角坐标系z 三个坐标轴y 1 2 3 4 5 6 7 3/102 空间直角坐标系z 三个坐标轴y 三个坐标面 1 2 3 4 5 6 7 3/102 空间直角坐标系zy 面 三个坐标轴y 三个坐标面 1 2 3 4 5 6 7 3/102 空间直角坐标系zyz 面面 三个坐标轴y 三个坐

2、标面 1 2 3 4 5 6 7 3/102 y空间直角坐标系zyz 面面 三个坐标轴y 三个坐标面 1 2 3 4 5 6 7 3/102 z 面y空间直角坐标系zyz 面面 三个坐标轴y 三个坐标面 八个卦限 1 2 3 4 5 6 7 3/102 z 面y空间直角坐标系z 三个坐标轴y 三个坐标面 八个卦限 1 2 3 4 5 6 7 3/102 空间直角坐标系z 三个坐标轴I 三个坐标面y 八个卦限 1 2 3 4 5 6 7 3/102 空间直角坐标系zII 三个坐标轴I 三个坐标面y 八个卦限 1 2 3 4 5 6 7 3/102 空间直角坐标系zIIIII 三个坐标轴I 三个坐

3、标面y 八个卦限 1 2 3 4 5 6 7 3/102 空间直角坐标系zIIIII 三个坐标轴IVI 三个坐标面y 八个卦限 1 2 3 4 5 6 7 3/102 空间直角坐标系zIIIII 三个坐标轴IVI 三个坐标面y 八个卦限V 1 2 3 4 5 6 7 3/102 空间直角坐标系zIIIII 三个坐标轴IVI 三个坐标面y 八个卦限VIV 1 2 3 4 5 6 7 3/102 空间直角坐标系zIIIII 三个坐标轴IVI 三个坐标面y 八个卦限VIIVIV 1 2 3 4 5 6 7 3/102 空间直角坐标系zIIIII三个坐标轴三个坐标面IVIy八个卦限VIIVIVIIIV

4、 1 2 3 4 5 6 7 3/102 空间直角坐标系zz 面IIIyz 面IIy面三个坐标轴三个坐标面IVIy八个卦限VIIVIVIIIV 1 2 3 4 5 6 7 3/102 在空间直角坐标系中，有点 M 坐标 (, y, z) OMzMyO 1 2 3 4 5 6 7 4/102 zz 面坐标面上的点：yyz 面面面 z = 0yyz面 = 0z 面 y = 0 1 2 3 4 5 6 7 5/102 yzz 面坐标面上的点：yyz 面面面 z = 0yyz面 = 0z 面 y = 0z坐标轴上的点：(0, 0, z) 轴 y = z = 0(0, y, 0)yz轴 z = = 0轴

5、 = y = 0y(, 0, 0) 1 2 3 4 5 6 7 5/102 y空间中两点的距离设 M1(1, y1, z1) 和 M2(2, y2, z2) 为空间中两点则它们的距离为|M1M2| = p(2 1)2 + (y2 y1)2 + (z2 z1)2 1 2 3 4 5 6 7 6/102 空间中两点的距离设 M1(1, y1, z1) 和 M2(2, y2, z2) 为空间中两点则它们的距离为p222|M M | =( )+ (y y )+ (z z )12212121特别地，点 M(, y, z) 到原点 O 的距离为|OM| = p2 + y2 + z2 1 2 3 4 5 6

6、 7 6/102 曲面与方程定义 给定空间中曲面 S 和方程 F(, y, z) = 0如果F(, y, z) = 0 是曲面 S 对应的方程；S 是方程 F(, y, z) = 0 对应的曲面则称 1 2 3 4 5 6 7 7/102 曲面与方程例 1空间的平面方程为A + By + Cz + D = 0. 1 2 3 4 5 6 7 8/102 曲面与方程例 1空间的平面方程为A + By + Cz + D = 0.特别地，方程 z = 0 表示 y 面，而方程平行于 y 面的平面z = c表示 1 2 3 4 5 6 7 8/102 曲面与方程例 2(0, y0, z0)，半径为 R

7、的球面方程为球心在( 0)2 + (y y0)2 + (z z0)2 = R2. 1 2 3 4 5 6 7 9/102 例 32 + y2 = R2圆柱面 1 2 3 4 5 6 7 10/102 例 32 + y2 = R2圆柱面 1 2 3 4 5 6 7 10/102 例 32 + y2 = R2圆柱面zy准线母线柱面 1 2 3 4 5 6 7 10/102 例 32 + y2 = R2 圆柱面z由平行于 z 轴的直线沿 y 面上的圆 2 + y2 = R2移动而得y准线母线柱面 1 2 3 4 5 6 7 10/102 例 32 + y2 = R2 圆柱面z由平行于 z 轴的直线沿

8、 y 面上的圆 2 + y2 = R2 移动而得y准线：y 面的圆 2 + y2 = R2母线：平行于 z 轴的直线柱面 1 2 3 4 5 6 7 10/102 例 32 + y2 = R2 圆柱面z由平行于 z 轴的直线沿 y 面上的圆 2 + y2 = R2 移动而得y准线：y 面的圆 2 + y2 = R2母线：平行于 z 轴的直线一般地，方程 F(, y) = 0 在空间中表示一个柱面 1 2 3 4 5 6 7 10/102 例 4z = 2 + y2旋转抛物面 1 2 3 4 5 6 7 11/102 例 4z = 2 + y2旋转抛物面 1 2 3 4 5 6 7 11/102

9、 例 4z = 2 + y2旋转抛物面zy 1 2 3 4 5 6 7 11/102 例 5z = y2 2双曲抛物面马鞍面 1 2 3 4 5 6 7 12/102 例 5z = y2 2双曲抛物面（马鞍面） 1 2 3 4 5 6 7 12/102 例 5z = y2 2双曲抛物面（马鞍面）zy 1 2 3 4 5 6 7 12/102 第一节第二节第三节第四节第五节第六节第七节空间几何多元函数的概念极限与连续偏导数与全微分复合函数的导数二元函数的极值二重积分多元函数定义 1从平面子集 D 到 R 的对应关系2 : D R R称为二元函数，其中对应 将点 (, y) 对应到 (, y)记为

10、 z = (, y) 1 2 3 4 5 6 7 14/102 多元函数定义 1从平面子集 D 到 R 的对应关系2 : D R R称为二元函数，其中对应 将点 (, y) 对应到 (, y)记为 z = (, y)类似地可以定义三元函数 1 2 3 4 5 6 7 14/102 二元函数的定义域二元函数也有自然定义域例 1例 2 1 2 3 4 5 6 7 15/102 二元函数的定义域二元函数也有自然定义域例 1z = ln( + y) 的定义域为D = (, y)| + y 0.例 2 1 2 3 4 5 6 7 15/102 二元函数的定义域二元函数也有自然定义域例 1z = ln(

11、+ y) 的定义域为D = (, y)| + y 0.z = p1 2 y2 的定义域为例 222D = (, y)|+ y 1. 1 2 3 4 5 6 7 15/102 平面区域的分类定义 2闭区域：包含边界的区域 1 2 3 4 5 6 7 16/102 平面区域的分类定义 2闭区域：包含边界的区域开区域：不包含边界的区域 1 2 3 4 5 6 7 16/102 平面区域的分类定义 2闭区域：包含边界的区域 开区域：不包含边界的区域有界区域：限制在有限范围的区域 1 2 3 4 5 6 7 16/102 平面区域的分类定义 2闭区域：包含边界的区域 开区域：不包含边界的区域有界区域：限

12、制在有限范围的区域区域：延伸到无穷远的区域 1 2 3 4 5 6 7 16/102 练1.2.求二元函数的定义域并画出该区域 (, y) = ln(2 + y2 1)1 (, y) = p + y 23. 1 2 3 4 5 6 7 17/102 练1.2.求二元函数的定义域并画出该区域 (, y) = ln(2 + y2 1)1 (, y) = p + y 2 (, y) = p1 | |y|3. 1 2 3 4 5 6 7 17/102 复求二元函数的定义域并画出该区域1. (, y) = p2 + y2 1 + p4 2 y22. (, y) = ln( y + 2) + ln(2 +

13、 y 2)注记 1 2 3 4 5 6 7 18/102 复求二元函数的定义域并画出该区域1. (, y) = p2 + y2 1 + p4 2 y22. (, y) = ln( y + 2) + ln(2 + y 2)注记y () 表示 y = () 的上方区域 y () 表示 y = () 的下方区域 1 2 3 4 5 6 7 18/102 第一节第二节第三节第四节第五节第六节第七节空间几何多元函数的概念极限与连续偏导数与全微分复合函数的导数二元函数的极值二重积分二元函数的极限：解释若 (, y) 以任意方式趋于 (0, y0) 时， (, y) 总趋 于A，则称 (, y) 以 A 为

14、极限，记为lim(,y)(0,y0) (, y) = A 1 2 3 4 5 6 7 22/102 连续函数定义 4若二元函数 (, y) 满足lim (, y) = (0, y0),(,y)(0,y0)则称 (, y) 在 (0, y0) 处连续定理 11.2 1 2 3 4 5 6 7 24/102 连续函数定义 4若二元函数 (, y) 满足lim (, y) = (0, y0),(,y)(0,y0)则称 (, y) 在 (0, y0) 处连续定理 1二元函数有和一元函数类似的性质：1. 二元初等函数在定义区域上总是连续的2 1 2 3 4 5 6 7 24/102 连续函数定义 4若二

15、元函数 (, y) 满足lim (, y) = (0, y0),(,y)(0,y0)则称 (, y) 在 (0, y0) 处连续定理 1二元函数有和一元函数类似的性质：1.2.二元初等函数在定义区域上总是连续的若二元函数 (, y) 在有界闭区域 D 上连续，则它在 D 上必能取得最大值和最小值 1 2 3 4 5 6 7 24/102 二元函数的极限例 3lim(,y)(1,2)3 + y求二元函数极限例 4练12 1 2 3 4 5 6 7 25/102 二元函数的极限例 3lim(,y)(1,2)3 + y求二元函数极限p1 + y 1例 4求二元函数极限lim(,y)(0,0)y练12

16、 1 2 3 4 5 6 7 25/102 二元函数的极限例 3lim(,y)(1,2)3 + y求二元函数极限p1 + y 1例 4求二元函数极限lim(,y)(0,0)求二元函数极限：y练 y 1.lim(,y)(2,1) + ysin y2.lim(,y)(0,3) 1 2 3 4 5 6 7 25/102 第一节第二节第三节第四节第五节第六节第七节空间几何多元函数的概念极限与连续偏导数与全微分复合函数的导数二元函数的极值二重积分偏导数定义 1设函数 (, y) 在 (0, y0) 某邻域内有定义 ，如果极限 (0 + , y0) (0, y0)lim0存在，则称该极限为函数在点 (0,

17、 y0) 处对 的偏导数，记为 (0, y0)对 y 的偏导数 1 2 3 4 5 6 7 27/102 偏导数定义 1设函数 (, y) 在 (0, y0) 某邻域内有定义 ，如果极限 (0 + , y0) (0, y0) (0, y0) = lim0存在，则称该极限为函数在点 (0, y0) 处对 的偏导数，记为 (0, y0)对 y 的偏导数 1 2 3 4 5 6 7 27/102 偏导数定义 1设函数 (, y) 在 (0, y0) 某邻域内有定义 ，如果极限 (0 + , y0) (0, y0) (0, y0) = lim0存在，则称该极限为函数在点 (0, y0) 处对 的偏导数

18、，记为 (0, y0)类似地定义函数在点 (0, y0) 处对 y 的偏导数为 (0, y0 + y) (0, y0) (0, y0) = limyyy0 1 2 3 4 5 6 7 27/102 偏导数对于 z = (, y)，将 y 看为常数，对 求导，得到 zz对 的偏导数，记为，偏导数 1 2 3 4 5 6 7 28/102 偏导数对于 z = (, y)，将 y 看为常数，对 求导，得到 zz，或，或 z ，或 对 的偏导数，记为偏导数 1 2 3 4 5 6 7 28/102 偏导数对于 z = (, y)，将 y 看为常数，对 求导，得到 zz对 的偏导数，记为 ， 或，或 z

19、 ，或 对于 z = (, y)，将 看为常数，对 yz求导，得到 z对 y 的偏导数，记为，y 1 2 3 4 5 6 7 28/102 偏导数对于 z = (, y)，将 y 看为常数，对 求导，得到 zz对 的偏导数，记为 ， 或，或 z ，或 对于 z = (, y)，将 看为常数，对 y 求导，得到 z对 y 的偏导数，记为 y ，或 y ，或 zy ，或 y z 1 2 3 4 5 6 7 28/102 例 1例 2求 z = 2 + y + y2的偏导数例 3练12 1 2 3 4 5 6 7 29/102 例 1例 2求 z = 2 + y + y2 的偏导数 yz = 2 y

20、求的偏导数例 3练12 1 2 3 4 5 6 7 29/102 例 1例 2求 z = 2 + y + y2 的偏导数 yz = 2 y求的偏导数例 3求 (, y) = e2y在点 (1, 2) 处的偏导数练12 1 2 3 4 5 6 7 29/102 例 1例 2求 z = 2 + y + y2 的偏导数 yz = 2 y求的偏导数例 3求 (, y) = e2y 在点 (1, 2) 处的偏导数求下列函数的偏导数练1.2.z = 23 5y2 + 2yyz = rctn 1 2 3 4 5 6 7 29/102 三元函数的偏导数类似地，对于三元函数 = (, y, z)，可以定义三个z

21、偏导数，和y例 4 1 2 3 4 5 6 7 30/102 三元函数的偏导数类似地，对于三元函数 = (, y, z)，可以定义三个和z偏导数，y例 4求三元函数 = y2z3 的偏导数 1 2 3 4 5 6 7 30/102 二阶偏导数对 z = (, y) 的偏导数 z四个二阶偏导数：和 zy再求偏导数，就得到 1 2 3 4 5 6 7 31/102 二阶偏导数对 z = (, y) 的偏导数 z四个二阶偏导数：和 zy再求偏导数，就得到= z= (z )或 ( ) 1 2 3 4 5 6 7 31/102 二阶偏导数对 z = (, y) 的偏导数 z四个二阶偏导数：和 zy再求偏

22、导数，就得到= z= (z )(z )y或 ( ) = z= 或 ( )y yy 1 2 3 4 5 6 7 31/102 二阶偏导数对 z = (, y) 的偏导数 z四个二阶偏导数：和 zy再求偏导数，就得到= z= (z ) (z )y(zy )或 ( ) = z= 或 ( )y yy= z= 或 ( )yy y 1 2 3 4 5 6 7 31/102 二阶偏导数对 z = (, y) 的偏导数 z四个二阶偏导数：和 zy再求偏导数，就得到= z= (z ) (z )y (zy )(zy )y或 ( ) = z= 或 ( )y yy= z= 或 ( )yy y= z= 或 ( )yyy

23、 yyy 1 2 3 4 5 6 7 31/102 例 5例 6求 z = 3 + y3 3y21的各二阶偏导数注记练习 212. 1 2 3 4 5 6 7 32/102 例 5例 6求 z = 3 + y3 3y2 的各二阶偏导数 求 z = 2yey 的各二阶偏导数1注记练习 212. 1 2 3 4 5 6 7 32/102 例 5例 6求 z = 3 + y3 3y2 的各二阶偏导数 求 z = 2yey 的各二阶偏导数1当二阶偏导数 y(, y)y(, y)注记和都连续时，两者必定相等练习 212. 1 2 3 4 5 6 7 32/102 例 5例 6求 z = 3 + y3 3

24、y2 的各二阶偏导数 求 z = 2yey 的各二阶偏导数1当二阶偏导数 y(, y) 和y(, y)注记都连续时，两者必定相等练习 2求下列函数的二阶偏导数1. z = 2y3 + e sin y2. z = ln( y) 1 2 3 4 5 6 7 32/102 二阶偏导数z = (, y) 的二阶偏导数也可以这样表示： 1 2 3 4 5 6 7 33/102 二阶偏导数z = (, y) 的二阶偏导数也可以这样表示： 2z z = z= 2 1 2 3 4 5 6 7 33/102 二阶偏导数z = (, y) 的二阶偏导数也可以这样表示： 2z z = z= 2 2z z = z=y

25、yy 1 2 3 4 5 6 7 33/102 二阶偏导数z = (, y) 的二阶偏导数也可以这样表示： 2z z = z= 2 2z z = z=yyy2z z = z=yyy 1 2 3 4 5 6 7 33/102 二阶偏导数z = (, y) 的二阶偏导数也可以这样表示： 2z z = z= 2 2z z = z=yyy2z z = z=yyy2z z= zyyyy= y2 1 2 3 4 5 6 7 33/102 全微分例子 用 S 表示边长分别为 与 y 的矩形的面积，则S = y 1 2 3 4 5 6 7 34/102 全微分例子 用 S 表示边长分别为 与 y 的矩形的面积

26、，则S = y如果边长 与 y 分别取得改变量 与 y， 1 2 3 4 5 6 7 34/102 全微分例子 用 S 表示边长分别为 与 y 的矩形的面积，则 S = y如果边长 与 y 分别取得改变量 与 y，则面积 S 相应地有一个改变量S = y + y + y. 1 2 3 4 5 6 7 34/102 定义 对于二元函数 z = (, y)，如果z = A + By + o(),p22其中 A，B 与 ，y 无关， =()+ (y) ，则称函数可微，并称它的全微分为dz = A + By定理dz (, y) d + y (, y) dy 1 2 3 4 5 6 7 35/102 定

27、义 对于二元函数 z = (, y)，如果z = A + By + o(),p22其中 A，B 与 ，y 无关， =()+ (y) ，则称函数可微，并称它的全微分为dz = A + By如果函数 z = (, y) 可微，则 A = (, y)，定理B = y (, y)即有dz = (, y) d + y (, y) dy,其中 d = ，dy = y 1 2 3 4 5 6 7 35/102 全微分定理存在如果多元函数的各个偏导数都连续，则全微分dz (, y)d + y (, y)dyd (, y, z)d + y (, y, z)dy + z(, y, z)dz 1 2 3 4 5 6

28、 7 36/102 全微分定理存在如果多元函数的各个偏导数都连续，则全微分. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .设 z = (, y)，则全微分为dz = (, y)d + y (, y)dyd (, y, z)d + y (, y, z)dy + z(, y, z)dz 1 2 3 4 5 6 7 36/102 全微分定理存在如果多元函数的各个偏导数都连续，则全微分. . . . . . . . . . . . . . .

29、 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .设 z = (, y)，则全微分为dz = (, y)d + y (, y)dy设 = (, y, z)，则全微分为d = (, y, z)d + y (, y, z)dy + z(, y, z)dz 1 2 3 4 5 6 7 36/102 全微分例 72y3求 z =在 = 1，y2，= 0.2，=y = 0.1 时的全微分例 8例 9 1 2 3 4 5 6 7 37/102 全微分例 72y3求 z =在 = 1，y2，= 0.2，=y

30、 = 0.1 时的全微分例 8求 z = ey的全微分例 9 1 2 3 4 5 6 7 37/102 全微分例 72y3求 z =在 = 1，y= 2，= 0.2，y = 0.1 时的全微分例 8求 z = ey 的全微分例 9求 = y + yz + z 的全微分 1 2 3 4 5 6 7 37/102 近似计算利用全微分公式，有下列近似计算公式： ( + , y + y) (, y) + (, y) + y (, y)y例 10 1 2 3 4 5 6 7 38/102 近似计算利用全微分公式，有下列近似计算公式： ( + , y + y) (, y) + (, y) + y (, y

31、)y例 102.012.99求的近似值 1 2 3 4 5 6 7 38/102 复求下列函数的偏导数1.2z =2 y2 1 2 3 4 5 6 7 39/102 复求下列函数的偏导数1.2.z =2 y2z = rctn( y) 1 2 3 4 5 6 7 39/102 复习 2求下列函数的二阶偏导数1.2z = y2ey 1 2 3 4 5 6 7 40/102 复习 2求下列函数的二阶偏导数1.2.z = y2eyz = y cos y 1 2 3 4 5 6 7 40/102 第一节第二节第三节第四节第五节第六节第七节空间几何多元函数的概念极限与连续偏导数与全微分复合函数的导数二元函

32、数的极值二重积分复合函数求导：情形 1设 z = (, y), = (t), y = (t)，全导数例 1 1 2 3 4 5 6 7 42/102 复合函数求导：情形 1设 z = (, y), = (t), y = (t)，则得到复合函数 z = (t), (t)全导数例 1 1 2 3 4 5 6 7 42/102 复合函数求导：情形 1设 z = (, y), = (t), y = (t)，则得到复合函数 z = (t), (t)此时有全导数dzdtz dz dy= dt + y dt例 1 1 2 3 4 5 6 7 42/102 复合函数求导：情形 1设 z = (, y), =

33、(t), y = (t)，则得到复合函数 z = (t), (t)此时有全导数dzz dz dydt = dt + y dtdzdt例 1设 z = y， = et, y = s，求全导数 1 2 3 4 5 6 7 42/102 复合函数求导：情形 2设 z = (, ), = (, y), = (, y)，例 2 1 2 3 4 5 6 7 43/102 复合函数求导：情形 2设 z = (, ), = (, y), = (, y)，则有复合函数 z = (, y), (, y)例 2 1 2 3 4 5 6 7 43/102 复合函数求导：情形 2设 z = (, ), = (, y),

34、 = (, y)，则有复合函数 z = (, y), (, y)此 时有偏导数zz z = + ,zz z y = y + y.例 2 1 2 3 4 5 6 7 43/102 复合函数求导：情形 2设 z = (, ), = (, y), = (, y)，则有复合函数 z = (, y), (, y)此 时有偏导数zz z = + ,zz z y = y + y.例 2导数设 z = ， = 32 + y2, = 2 + y，求偏zz和y 1 2 3 4 5 6 7 43/102 练1.设 z = e2y， = s,dzdty = cos t，求全导数2. 1 2 3 4 5 6 7 44/

35、102 练1.,设 z = e2y， = s dzy = cos t，求全导数dt2.设 z = e sin ， = y,= y，求偏导数zz和y 1 2 3 4 5 6 7 44/102 全微分的形式不变性设有 z = (, )，, 为自变量，则全微 分为zzdz = d + d 1 2 3 4 5 6 7 45/102 全微分的形式不变性设有 z = (, )，, 为自变量，则全微 分为zzdz = d + d若又有 = (, y), = (, y)，, 则全微分仍为为中间变量，zzdz = d + d 1 2 3 4 5 6 7 45/102 例 3利用全微分的形式不变性， 求二元函数

36、z=zzy.(2 y2)ey的偏导数和 1 2 3 4 5 6 7 46/102 隐函数的导数 1定理 1设方程 F(, y) = 0 确定了隐函数y = ()，且 F(, y) 有连续偏导数，Fy = 0，例 4 1 2 3 4 5 6 7 47/102 隐函数的导数 1定理 1设方程 F(, y) = 0 确定了隐函数y = ()，且 F(, y) 有连续偏导数，Fy = 0，则有Fdyd = F .y例 4 1 2 3 4 5 6 7 47/102 隐函数的导数 1定理 1设方程 F(, y) = 0 确定了隐函数y = ()，且 F(, y) 有连续偏导数，Fy = 0，则有Fdyd

37、= F .y例 4y设方程 ye + = 0 确定了隐函数 y = ()，dyd求导数 1 2 3 4 5 6 7 47/102 隐函数的导数 2定理 2设方程 F(, y, z) = 0确定了隐函数 z =Fz = 0， (, y)，且F(, y, z) 有连续偏导数，且例 5 1 2 3 4 5 6 7 48/102 隐函数的导数 2定理 2设方程 F(, y, z) = 0确定了隐函数 z = (, y)，且 F(, y, z) 有连续偏导数，且 Fz = 0，则有FyFzz = Fy = Fzz例 5 1 2 3 4 5 6 7 48/102 隐函数的导数 2定理 2设方程 F(, y

38、, z) = 0确定了隐函数 z = (, y)，且 F(, y, z) 有连续偏导数，且 Fz = 0，则有FyFzz = Fy = Fzz2y2z2+ c2 = 1例 5z =设方程确定了隐函数+ b22zzy (, y)，求偏导数和 1 2 3 4 5 6 7 48/102 练习 21.2设方程 sin y + ey= 0确定了隐函数 y =dy ()，求导数d2.ezz= yz 确定了隐函数z和yz = (, y)，求设方程偏导数 1 2 3 4 5 6 7 49/102 例 62+ y2 + z2 = 1确定了隐函数 z设方程=2zy (, y)，求二阶偏导数 1 2 3 4 5 6

39、 7 50/102 复p设 z =， = et, y =t，求全导数dz1.2.ydt设 z = ， = sin y, = y cos ，求偏导数zzy和 1 2 3 4 5 6 7 51/102 复习 21.设方程 y + ln y ln = 0确定了隐函数 y =dy ()，求导数dz2.= ln z ln y 确定了隐函数 z = (, y)，设方程zz和y求偏导数 1 2 3 4 5 6 7 52/102 第一节第二节第三节第四节第五节第六节第七节空间几何多元函数的概念极限与连续偏导数与全微分复合函数的导数二元函数的极值二重积分极值和极值点设点 (0, y0) 在 z = (, y)

40、定义域中 定义1.极大值点极大值2.极小值点极小值极值极值点 1 2 3 4 5 6 7 54/102 极值和极值点设点 (0, y0) 在 z = (, y) 定义域中 定义1.若对 (0, y0) 去心邻域中任何点 (, y)，总 有 (, y) (0, y0),极大值点极大值2.极小值点极小值极值极值点 1 2 3 4 5 6 7 54/102 极值和极值点设点 (0, y0) 在 z = (, y) 定义域中 定义1.若对 (0, y0) 去心邻域中任何点 (, y)，总有 (, y) (0, y0),称 (0, y0) 为极大值点， (0, y0) 为极大值2.极小值点极小值极值极值

41、点 1 2 3 4 5 6 7 54/102 极值和极值点设点 (0, y0) 在 z = (, y) 定义域中 定义1.若对 (0, y0) 去心邻域中任何点 (, y)，总有 (, y) (0, y0),2.极小值点极小值极值极值点 1 2 3 4 5 6 7 54/102 极值和极值点设点 (0, y0) 在 z = (, y) 定义域中 定义1.若对 (0, y0) 去心邻域中任何点 (, y)，总有 (, y) (0, y0),2.称 (0, y0) 为极小值点， (0, y0) 为极小值 极值极值点 1 2 3 4 5 6 7 54/102 极值和极值点设点 (0, y0) 在 z

42、 = (, y) 定义域中 定义1.若对 (0, y0) 去心邻域中任何点 (, y)，总有 (, y) (0, y0),2.称 (0, y0) 为极小值点， (0, y0) 为极小值 极大值和极小值统称极值极大值点和极小值点统称极值点 1 2 3 4 5 6 7 54/102 极值和极值点例 1对下列各函数，判定点 (0, 0) 是否为极值点： 1 2 3 4 5 6 7 55/102 极值和极值点例 11.2.3对下列各函数，判定点 (0, 0) 是否为极值点： (, y) = 2 + y2 1 2 3 4 5 6 7 55/102 极值和极值点例 11.2.3对下列各函数，判定点 (0,

43、 0) 是否为极值点： (, y) = 2 + y2 (, y) = p1 2 y2 1 2 3 4 5 6 7 55/102 极值和极值点例 11.2.3.对下列各函数，判定点 (0, 0) 是否为极值点： (, y) = 2 + y2p22 (, y) =1 y (, y) = y 1 2 3 4 5 6 7 55/102 极值和与驻点定理 1 (极值的必要条件) (, y)(0, y0)如果在处取得极值，且偏导数存在，定义驻点注记 1 2 3 4 5 6 7 56/102 极值和与驻点定理 1 (极值的必要条件)如果 (, y) 在(0, y0)处取得极值，且偏导数存在，则有 (0, y

44、0) = 0,y (0, y0) = 0.定义驻点注记 1 2 3 4 5 6 7 56/102 极值和与驻点定理 1 (极值的必要条件)如果 (, y) 在(0, y0)处取得极值，且偏导数存在，则有 (0, y0) = 0,y (0, y0) = 0.定义使两个偏导数都为零的点称为驻点注记 1 2 3 4 5 6 7 56/102 极值和与驻点定理 1 (极值的必要条件)如果 (, y) 在 (0, y0)处取得极值，且偏导数存在，则有 (0, y0) = 0,y (0, y0) = 0.定义使两个偏导数都为零的点称为驻点注记极值点可能在驻点取得，也可能在偏导数不存在的点取得 1 2 3

45、4 5 6 7 56/102 定理 2 (极值的充分条件)如果函数 (, y) 在 (0, y0)某邻域有连续的二阶偏导数，且 (0, y0) 是它的驻点 1 2 3 4 5 6 7 57/102 定理 2 (极值的充分条件)如果函数 (, y) 在 (0, y0)某邻域有连续的二阶偏导数，且 (0, y0) 是它的驻点设 A = (0, y0)，B = y(0, y0)，C = yy(0, y0)，则有 1 2 3 4 5 6 7 57/102 定理 2 (极值的充分条件)如果函数 (, y) 在 (0, y0)某邻域有连续的二阶偏导数，且 (0, y0) 是它的驻点设 A = (0, y0

46、)，B = y(0, y0)，C = yy(0, y0)，则有1.如果 B2 AC 0，则 (0, y0) 为极值23 1 2 3 4 5 6 7 57/102 定理 2 (极值的充分条件)如果函数 (, y) 在 (0, y0)某邻域有连续的二阶偏导数，且 (0, y0) 是它的驻点设 A = (0, y0)，B = y(0, y0)，C = yy(0, y0)，则有1.如果 B2 AC 0，则 (0, y0) 为极值若 A 0，则 (0, y0) 为极大值23 1 2 3 4 5 6 7 57/102 定理 2 (极值的充分条件)如果函数 (, y) 在 (0, y0)某邻域有连续的二阶偏

47、导数，且 (0, y0) 是它的驻点设 A = (0, y0)，B = y(0, y0)，C = yy(0, y0)，则有1.如果 B2 AC 0，则 (0, y0) 为极值若 A 0，则 (0, y0) 为极小值23 1 2 3 4 5 6 7 57/102 定理 2 (极值的充分条件)如果函数 (, y) 在 (0, y0)某邻域有连续的二阶偏导数，且 (0, y0) 是它的驻点设 A = (0, y0)，B = y(0, y0)，C = yy(0, y0)，则有1.如果 B2 AC 0，则 (0, y0) 为极值若 A 0，则 (0, y0) 为极小值2.3如果 B2 AC 0，则 (0

48、, y0) 不是极值 1 2 3 4 5 6 7 57/102 定理 2 (极值的充分条件)如果函数 (, y) 在 (0, y0)某邻域有连续的二阶偏导数，且 (0, y0) 是它的驻点设 A = (0, y0)，B = y(0, y0)，C = yy(0, y0)，则有1.如果 B2 AC 0，则 (0, y0) 为极值若 A 0，则 (0, y0) 为极小值2.3.如果 B2 AC 0，则 (0, y0) 不是极值2如果 B AC = 0，则 (0, y0) 是否为极值需另外判定 1 2 3 4 5 6 7 57/102 极值问题例 2求二元函数的极值： (, y) = y3 2 + 6

49、 12y + 5.练1.2 1 2 3 4 5 6 7 58/102 极值问题例 2求二元函数的极值： (, y) = y3 2 + 6 12y + 5.求二元函数的极值： (, y) = 3 + y3 3y练1.2 1 2 3 4 5 6 7 58/102 极值问题例 2求二元函数的极值： (, y) = y3 2 + 6 12y + 5.求二元函数的极值：练1.2. (, y) = 3 + y3 3y (, y) = 4( y) 2 y2 1 2 3 4 5 6 7 58/102 最值问题例 32 的长方体箱子问选择长、要造一个容积为宽、高为多少时，所用的材料最少？ 1 2 3 4 5 6

50、 7 59/102 最值问题例 4某工厂生产两种产品 I 和 II，出售单价分别为 10元与 9 元生产 II 的总费用为的产品 I 与生产 y的产品C(, y) = 400 + 2 + 3y + 0.01(32 + y + 3y2).问两种产品各生产多少时，总利润最大？ 1 2 3 4 5 6 7 60/102 日乘数法 I条件极值与求 = (, y)g(, y) = 0问题值解法在约束条件下的极 1 2 3 4 5 6 7 61/102 日乘数法 I条件极值与求 = (, y) 在约束条件 g(, y) = 0问题值解法下的极令 L(, y) = (, y) + g(, y)， 1 2 3

51、 4 5 6 7 61/102 日乘数法 I条件极值与求 = (, y) 在约束条件 g(, y) = 0问题值解法下的极令 L(, y) = (, y) + g(, y)， 由L (, y) = 0Ly (, y) = 0g(, y) = 0 1 2 3 4 5 6 7 61/102 日乘数法 I条件极值与求 = (, y) 在约束条件 g(, y) = 0问题值解法下的极令 L(, y) = (, y) + g(, y)， 由L (, y) = 0Ly (, y) = 0g(, y) = 0消去 ，解得的 (, y) 即为极值可疑点 1 2 3 4 5 6 7 61/102 条件极值例 5

52、求 (, y) = y22 + y2 = 1， 0，在条件y 0 下的最大值练习 2 1 2 3 4 5 6 7 62/102 条件极值例 5求 (, y) = y2在条件 2 + y2 = 1， 0，y 0 下的最大值练习 2求 (, y) = 2y + y = 1， 0，在条件y 0 下的最大值 1 2 3 4 5 6 7 62/102 日乘数法 I条件极值与求 = (, y, z)g(, y, z) = 0问题在约束条件下的极值解法 1 2 3 4 5 6 7 63/102 日乘数法 I条件极值与求 = (, y, z) 在约束条件 g(, y, z) = 0问题下的极值令 L(, y,

53、 z) = (, y, z) + g(, y, z)，解法 1 2 3 4 5 6 7 63/102 日乘数法 I条件极值与求 = (, y, z) 在约束条件 g(, y, z) = 0问题下的极值令 L(, y, z) = (, y, z) + g(, y, z)， 由解法 L(, y, z) = 0L (, y, z) = 0yLz(, y, z) = 0g(, y, z) = 0 1 2 3 4 5 6 7 63/102 日乘数法 I条件极值与求 = (, y, z) 在约束条件 g(, y, z) = 0问题下的极值令 L(, y, z) = (, y, z) + g(, y, z)

54、， 由解法 L(, y, z) = 0L (, y, z) = 0yLz(, y, z) = 0g(, y, z) = 0消去 ，解得的 (, y, z) 即为极值可疑点 1 2 3 4 5 6 7 63/102 条件极值例 6求 S= 2y + 2yz + 2z 在条件yz= 2（ 0, y 0, z 0）条件下的最小值 1 2 3 4 5 6 7 64/102 日乘数法 II条件极值与求 = (, y, z) 在约束条件g(, y, z) = 0问题和h(, y, z) = 0 下的极值解法 1 2 3 4 5 6 7 65/102 日乘数法 II条件极值与求 = (, y, z) 在约束

55、条件g(, y, z) = 0 和问题h(, y, z) = 0 下的极值解法令L(, y, z) = (, y, z) + g(, y, z) + h(, y, z). 1 2 3 4 5 6 7 65/102 日乘数法 II条件极值与求 = (, y, z) 在约束条件g(, y, z) = 0 和问题h(, y, z) = 0 下的极值解法令L(, y, z) = (, y, z) + g(, y, z) + h(, y, z).由下面方程组L (, y, z) = 0,Ly(, y, z) = 0,Lz(, y, z) = 0g(, y, z) = 0,h(, y, z) = 0 1

56、2 3 4 5 6 7 65/102 日乘数法 II条件极值与求 = (, y, z) 在约束条件g(, y, z) = 0 和问题h(, y, z) = 0 下的极值解法令L(, y, z) = (, y, z) + g(, y, z) + h(, y, z).由下面方程组L (, y, z) = 0,Ly(, y, z) = 0,Lz(, y, z) = 0g(, y, z) = 0,h(, y, z) = 0消去 和 ，解得的 (, y, z) 即为极值可疑点 1 2 3 4 5 6 7 65/102 日乘数法 II条件极值与问题 求 = (, y, z, t) 在约束条件 g(, y,

57、 z, t) = 0和 h(, y, z, t) = 0 下的极值解法 1 2 3 4 5 6 7 66/102 日乘数法 II条件极值与问题 求 = (, y, z, t) 在约束条件 g(, y, z, t) = 0和 h(, y, z, t) = 0 下的极值解法令L(, y, z, t) = (, y, z, t) + g(, y, z, t)+ h(, y, z, t). 1 2 3 4 5 6 7 66/102 日乘数法 II条件极值与问题 求 = (, y, z, t) 在约束条件 g(, y, z, t) = 0和 h(, y, z, t) = 0 下的极值解法 令L(, y,

58、 z, t) = (, y, z, t) + g(, y, z, t)+ h(, y, z, t).由下面各式LLyLzLt= 0,= 0,= 0,= 0,g = 0,h = 0 1 2 3 4 5 6 7 66/102 日乘数法 II条件极值与问题 求 = (, y, z, t) 在约束条件 g(, y, z, t) = 0和 h(, y, z, t) = 0 下的极值解法 令L(, y, z, t) = (, y, z, t) + g(, y, z, t)+ h(, y, z, t).由下面各式LLyLzLt= 0,= 0,= 0,= 0,g = 0,h = 0消去 和 ，解得的 (, y

59、, z, t) 即为极值可疑点 1 2 3 4 5 6 7 66/102 复求二元函数的极值： (, y) = y(1 y) 1 2 3 4 5 6 7 67/102 复习 2求函数 (, y) = +2y 在约束条件 2 +y2 =1 下的最值 1 2 3 4 5 6 7 68/102 第一节第二节第三节第四节第五节第六节第七节空间几何多元函数的概念极限与连续偏导数与全微分复合函数的导数二元函数的极值二重积分7.17.27.3二重积分的概念和性质用直角坐标计算二重积分用极坐标计算二重积分z = (, y)柱体底面：在 Oy 面中的闭区域 D侧面：母线平行于 z 轴的柱面顶面：在 D 之上的曲

60、面 (, y)yD问题 1 2 3 4 5 6 7 71/102 z = (, y)柱体底面：在 Oy 面中的闭区域 D侧面：母线平行于 z 轴的柱面顶面：在 D 之上的曲面 (, y)yD问题如何求柱体的体积？ 1 2 3 4 5 6 7 71/102 zz = ( , y) ( )y , ) D 1 2 3 4 5 6 7 72/102 zz = ( , y) ( )y , ) D 1 2 3 4 5 6 7 72/102 zz = ( , y) ( )y , ) D 1 2 3 4 5 6 7 72/102 zz = ( , y) ( )y , ) D 1 2 3 4 5 6 7 72/