2021-2022学年福建省福州高一下学期期末考试数学试题【含答案】

1、2021-2022学年福建省福州高一下学期期末考试数学试题一、单选题1在十六进八的比赛中，16名参赛同学成绩各不相同，取成绩排名前八的选手进入下一轮比赛.小明同学已经知道了自己的成绩，为了判断自己是否能进入下一轮比赛，他还需要知道16名同学成绩的（）A平均数B中位数C众数D方差B【分析】通过对平均数，众数，方差概念的辨析，均不能得到是否进入前8名的标准，因而不能判断小明同学是否位于前8名；而成绩高于中位数即表示进入了前8名，因而选B【详解】选项A：平均数只是表示16名同学成绩的平均水平，不能得到16名同学成绩的大小顺序以及是否进入了前8名的判定标准，因而不能判断小明同学是否位于前8名.判断错误

2、；选项B：中位数是将这16名同学成绩从小到大排列，取第8名与第9名同学成绩的平均值得到的，因而通过与小明同学成绩进行比较即可得出小明同学是否位于前8名.判断正确；选项C：众数只是表示16名同学成绩中重复最多的成绩，不能得到16名同学成绩的大小顺序以及是否进入了前8名的判定标准，因而不能判断小明同学是否位于前8名.判断错误；选项D：方差只是表示16名同学成绩的波动幅度，不能得到16名同学成绩的大小顺序以及是否进入了前8名的判定标准，因而不能判断小明同学是否位于前8名.判断错误.故选：B2在一个袋子中放2个白球，2个红球，摇匀后随机摸出2个球，与“摸出1个白球1个红球”互斥而不对立的事件是（）A至

3、少摸出1个白球B至少摸出1个红球C摸出2个白球D摸出2个同色的球C【分析】先得到实验的样本空间，再根据互斥事件，对立事件的定义判断即可.【详解】样本空间为：都是白球，1个白球，1个红球，都是红球，A：至少有1个白球包含1个白球，1个红球和都是白球，故A不正确，B：至少有1个红球包含1个白球，1个红球和都是红球，故B不正确，C：摸出1个白球1个红球发生时，摸出2个白球不会发生，且在一次实验中不可能必有一个发生，故C正确，D：摸出1个白球1个红球和摸出2个白球或摸出2个红球，是对立事件，故D不正确，故选：C.3某单位为了解该单位党员开展学习党史知识活动情况，随机抽取了40名党员，对他们一周的党史学

4、习时间进行了统计，统计数据如表所示：党史学习时间（小时）7891011党员人数610987则该单位党员一周学习党史时间的众数及第75百分位数分别是（）A8，10B8，10.5C9，10D8，9.5A【分析】由众数和百分位数的定义求解【详解】该单位党员一周学习党史时间中，8出现的次数最多，众数是8，学习时间小于10小时的比例是，小于11小时的比例是，因此第75百分数是10故选：A4三个人独立地破译一份密码，他们能单独译出密码的概率分别为，假设他们能否破译出密码是相互独立的，则此密码被破译的概率为（）ABCDB【分析】利用独立事件同时发生的概率和对立事件的概率去求此密码被破译的概率【详解】三个人独

5、立地破译一份密码，他们能单独译出密码的概率分别为，他们能否破译出密码是相互独立的，则三个人均未破译密码的概率为则此密码被破译的概率为故选：B5将边长为2的正方形沿对角线折起，使得平面平面，则点到平面的距离等于（）ABCDD【分析】取的中点，连接和，由等腰三角形的性质得出，可求出和的长，再由平面平面，根据面面垂直的性质可得平面，进而得到，利用勾股定理即可求出，最后利用等体积法得出，进而可求.【详解】取中点为,四边形是边长为2的正方形，则，由题知，平面平面，且交线为，.且平面，则平面，又平面，所以，在中，是等边三角形，则，则在中，设点到平面的距离为，则，即，即：，解得：，即到平面的距离为故选：D6

6、如图，三棱锥中，分别是的中点，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值等于（）ABCDC【分析】以向量，为基底表示向量，利用向量，夹角的余弦值去求异面直线与所成角的余弦值【详解】由题意可得，由可得则异面直线与所成角的余弦值为故选：C7已知正四棱柱中，点、分别是棱、上的动点，则下列判断错误的是（）A任意给定的点，存在点，使得平面B任意给定的点，存在点，使得平面C任意给定的点，存在点，使得D任意给定的点，存在点，使得C【分析】利用线面平行判定定理即可证明选项AB判断正确；建立空间直角坐标系，利用向量垂直充要条件去判断选项CD是否成立即可.【详解】连接选项A：任意给定的点，可在内作，交于Q，又正四棱柱中

7、，则，又平面，平面则平面.则任意给定的点，存在点，使得平面.判断正确；选项B：任意给定的点，可在内作，交于P，又正四棱柱中，则，又平面，平面则平面.则任意给定的点，存在点，使得平面.判断正确；以D为原点，分别以为x、y、z轴空间直角坐标系则，设，则，选项C： 由，可得则当时，即不成立.则任意给定的点，不一定存在点，使得.判断错误；选项D：由，可得则对任意，当时均有，即则任意给定的点，存在点，使得.判断正确.故选：C8高一年级某同学参加了学校“数学社”“物理社”“话剧社”三个社团的选拔，该同学能否成功进入这三个社团是相互独立的假设该同学能够进入“数学社”“物理社”“话剧社”三个社团的概率分别为，

8、该同学进入两个社团的概率为，且三个社团都进不了的概率为，则（）ABCDA【分析】利用相互独立事件的概率乘法公式，列出关于，的方程组，求解即可【详解】解：由题意可知，该同学可以进入两个社团的概率为，则，又三个社团都进不了的概率为，所以，由可得，故选：A二、多选题9某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量的数据，绘制了下面的折线图根据该折线图，下列结论正确的有（）A月接待游客量逐月增加B年接待游客量逐年增加C各年的月接待游客量高峰期大致在78月D各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳BCD【分析

9、】利用题中折线图中的数据信息以及变化趋势，对四个选项逐一分析判断即可【详解】解：对于A，由折线图的变化趋势可得，月接待游客量有增有减，故选项A错误；对于B，由折线图的变化趋势可得，年接待游客量逐年增加，故选项B正确；对于C，由折线图可得，各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月，故选项C正确；对于D，由折线图可得，各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳，故选项D正确故选：BCD.10某班级参加社会实践活动，加工出如图所示的圆台，在轴截面中，且，下列说法正确的是（）A该圆台轴截面面积为B该圆台的体积为C该圆台的母线与下底面所成的角为60D沿着该圆台表面，从点到中点

10、的最短距离为5BCD【分析】求得圆台的下底面的半径和高，由梯形的面积公式，计算可判断A；由圆台的体积公式，计算可判断B；由线面角的定义，计算可判断C；将圆台补成圆锥，得到展开图，求得圆心角，运用勾股定理，计算可判断D【详解】解：由，且，可得，高，则圆台轴截面面积为，故A错误；圆台的体积为，故B正确；圆台的母线与下底面所成的角为，其正弦值为，所以，故C正确；由圆台补成圆锥，可得大圆锥的母线长为，底面半径为，侧面展开图的圆心角为，设的中点为，连接，可得，则，所以沿着该圆台表面，且与小半圆相离，从点到中点的最短距离为，故D正确故选：BCD11埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正

11、四棱锥已知胡夫金字塔的每一个侧面三角形的面积等于金字塔高的平方，则（）A侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为B侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为C侧面与底面所成二面角的余弦值为D侧面与底面所成二面角的余弦值为AD【分析】设底面边长为，侧棱，结合题意得到，进而得到，所以；侧面与底面所成二面角的平面角即，所以【详解】解：如图，在正四棱锥 中，为底面的中心，为的中点，设底面边长为，侧棱，则四棱锥的高，斜高，因为侧面三角形的面积等于高的平方，所以，即，整理得，解得，又，所以，于是侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为，因为，所以即侧面与底面所成的二面角的平面角，所以所以侧

12、面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为；侧面与底面所成二面角的余弦值为.故选：AD12已知总体划分为三层，采用样本量比例分配的分层随机抽样，得到各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，；，；，记总的样本平均数为，样本方差为，则下列判断正确的是（）ABC记第一层的每一个数据为（），则有DBCD【分析】根据均值、方差的定义求解判断【详解】，A错，B正确，所以，C正确；，所以D正确故选：BCD三、填空题13已知一个圆锥的轴截面(过圆锥轴的一个截面)是一个等腰直角三角形，且圆锥的底面半径为，则该圆锥的侧面积为_.【分析】作出图像，根据结合关系求圆锥母线长度，根据圆锥侧面积公式即可计算.【

13、详解】如图所示，ABC为轴截面，圆锥母线长度为，故圆锥侧面积为.故14已知样本数据，的平均数与方差分别是和，若，2，且样本数据，的平均数与方差分别是和，则_10110【分析】依据题给条件利用平均值与方差的定义，列出关于和的方程组，解之即可求得和的值，进而求得的值.【详解】， 由，2，可得，则，则，联立，解之得由 可得故1011015已知为球半径上的一点，且，过点作与所在直线成的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为_.【分析】过与已知截面圆圆心作球的截面，得大圆（即为球心），此截面截得已知截面的直径，的中点是已知截面的圆心，由球的性质得，则，由截面的性质求得截面圆半径与球半径的关系后可得面积

14、比【详解】过与已知截面圆圆心作球的截面，得大圆（即为球心），此截面截得已知截面的直径，的中点是已知截面的圆心，由球的性质得，则，设球半径为，已知截面圆半径为，所以截面的面积与球的表面积的比为故四、双空题16从1，2，3，4，5五个数字中，随机地选取两个数字，若数字的选取是不放回的，则两个数字的和为偶数的概率为_；若数字的选取是有放回的，则两个数字的和为偶数的概率为_. 0.4 0.52【分析】数字不放回可用列举法求得任取两数的方法数及和为偶数的方法数，由概率公式计算概率，数字放回可用分步乘法原理和分类加法原理求得任取两数的方法数及和为偶数的方法数，由概率公式计算概率【详解】数字不放回，任取两数

15、可能为：共10种，其中和为偶数的有：共4种，概率为，数字放回，任取两数的方法为，其中和为偶数的方法有，概率为，故；五、解答题17如图，在棱长为的正方体木块中，是的中点.(1)求四棱锥的体积；(2)要经过点将该木块锯开，使截面平行于平面，在该木块的表面应该怎样画线？（请在图中作图，并写出画法，不必说明理由）.(1)；(2)答案见解析.【分析】（1）证明四边形为平行四边形，将四棱锥的体积转化为三棱锥的体积求解作答.（2）取棱的中点，连接、，证明平面平面即可作答.【详解】(1)在正方体中，连接，如图，且，则四边形为平行四边形，有，三棱锥的体积，所以四棱锥的体积.(2)取棱的中点，连接、，则就是所求作

16、的线，如图：在正方体中，连，因是的中点，为的中点，则，且，于是得四边形是平行四边形，有，而平面，平面，因此平面，又，即四边形为平行四边形，则，又平面，平面，于是有平面，而，平面，从而得平面平面，所以就是所求作的线.18某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人.(1)根据频率分布直方图，估计这人的平均年龄和第80百分位数；(2)在这5个年龄组中，

17、采用样本量比例分配的分层随机抽样的方法抽取20人担任本市的“中国梦”宣传使者，已知甲（年龄38），乙（年龄41）两人已入选.若从第四组和第五组被抽到的使者中随机抽取2名分别作为正副领队，求甲、乙两人至少有一人被选中的概率.(1)32.25（岁），37.5(2)【分析】（1）利用百分位的定义以及平均数的计算公式求解即可.（2）根据频率的分布直方图求出第一组频率，由此能求出第四第五组的被抽到的使者，再利用古典概型公式进行计算即可.【详解】(1)解：由题意得：设这人的平均年龄为，则（岁）.设第80百分位数为，由，解得.(2)第四组应抽取4人，记为，甲，第五组抽取2人，记为，乙，对应的样本空间为：，共

18、15个样本点.设事件“甲、乙两人至少一人被选上”，则，共有9个样本点.所以，.19如图，在等腰直角三角形中,分别是上的点，且分别为的中点，现将沿折起，得到四棱锥，连接 (1)证明：平面；(2)在翻折的过程中，当时，求二面角的余弦值.(1)证明见解析(2).【分析】（1）根据三角形和梯形的中位线定理及面面平行的判定定理，结合面面平行的性质定理即可求解.（2）建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后求出平面与平面的法向量，再利用向量的夹角公式，进而可以求出二面角的余弦值，.【详解】(1)在四棱锥中，取的中点，连接.因为分别为的中点，所以又平面, 平面，所以平面，同理可得，平面，

19、又平面，所以平面平面，因为MN C平面，所以平面.(2)因为在等腰直角三角形中所以，在四棱锥中，因为则又平面，所以平面，又平面，所以因为则所以，故，所以以点为坐标原点，分别以所在方向为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，如图所示，所以，设为平面的一个法向量，则，即，令，则，设为平面的一个法向量，则，即，令，则，设二面角所成角为，则.因为二面角的余弦值为.20如图，在三棱柱中，四边形是边长为4的正方形请从条件、中选择两个能解决下面问题的作为已知，并作答.条件：；条件：；条件：平面平面(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值(1)证明见解析(2)【分析】可选择，利用面面垂直的性质定理

20、可得，所以平面ABC，线面垂直可得，再利用相似三角形得得证.建立空间直角坐标系，求得各点坐标，进而求得平面的法向量，再利用向量的夹角公式求解即可.【详解】(1)（1）解：若选择条件：则可以解决两个问题：平面平面，平面平面，平面ABC，又平面ABC，则，则，即又，AB平面(2)（2）由（1）题设，可以点A为原点，如图建立空间直角坐标系A-xyz，且则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，0，4)，(0，4，0)，(0，4，4)，设平面的一个法向量为，则由，可取设直线与平面所成角为，则.21中华人民共和国未成年人保护法是为保护未成年人身心健康，保障未成年人合法权益，根据宪法制定的法律.某中学为宣传未成年人保护法，特举行一次未成年人保护法知识竞赛.竞赛规则是：两人一组，每一轮竞赛中，小组两人分别选答两题，两人答题互不影响.若答对题数合计不少于3题，则称这个小组为“优秀小组”.已知甲、乙两位同学组成一组，且甲、乙同学答对每道题的概率分别为.(1)若，则在第一轮竞赛中，求该组获“优秀小组”的概率；(2)当时，求该组在每轮竞赛中获得“优秀小组”的概率的最大值.(1)；