2021年高考北师版(理科)数学一轮复习讲义：第2章第11节导数与函数的单调性

1、第十一节导数与函数的单调性考纲 了解函数的单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).抓基础自主学习I.材,双基盲主知识植理函数的导数与单调性的关系函数y= f(x)在某个区间内可导，那么(1)假设fx)0,那么f(x)在这个区间内增加的：(2)假设fx)0.()(2)如果函数在某个区间内包有fx) = 0,那么函数f(x)在此区间上没有单调性.()(3)fx)0是f(x)为增函数的充要条件.()答案(1)x ，(3)x一 1c.函数y= 2x2- ln x的递减区间为()A. (-1,1B.(0,1C. 1, +8)d. (0, +OO

2、)11x 1 x+1B 函数 y= 2x ln x 的定义域为(0, + ), y= xx=x ，令y0,那么可得0 x01.3.(教材改编)如图2-11-1所示是函数f(x)的导函数fx)的图像,那么以下判断中正确的选项是()【导学号：57962105】图 2-11-1A.函数f(x)在区间(一3,0)上是减少的B.函数f(x)在区间(1,3)上是减少的C.函数f(x)在区间(0,2)上是减少的D.函数f(x)在区间(3,4)上是增加的A 当xC( 3,0)时，fx)f(0) = 0 sin 0= 0,所以函数存在零点，排除选项D,应选B.(2021全国卷H )假设函数f(x)=kxln x

3、在区间(1, +oo)递增，那么k的 取值范围是()A. (一00, 一 2B . (一00, 一 1C. 2, +oo)D. 1, +00)1，一、一， 1D 由于 f x)=k，f(x) = kxln x 在区间(1, 十 )递增？ f x)=k-0 xx在(1, + 00)上恒成立.一 1 一 1由于k,而01,即k的取值氾围为1 , + ). x x明考向题型突破I判断或证明函数的单调性例I 函数f(x) = x3+ax2+b(a, bCR).试讨论f(x)的单调性.【导学号：57962106】解fxl= 3x2+2ax,令 fx) = 0,2ax2= 3.当a= 0时,因为f x)=

4、3x20,所以函数f(x)在(一8, +oo)上是增加的;0 时，xC 8所以函数f(x)在一8当 a0, x -2a 32a+ 8)上是增加的，在一W，+ oo 时，f (x) 0, x e 00 时，fx)0上是减少2a 时，f，x)0时为增函数；fx)1 时，g(x)0.1 2ax2-1解(1)由题意得 f x) = 2ax一1(x0).2 分x x当a00时，fx)0 时，由 f x)=0 有 x=12a，c 1 TOC o 1-5 h z 当xC 0，忘时，fx)0, f(x)是增加的.7分(2)证明：令 s(x) = ex-1 x,那么 s x) = ex-1 1.9 分当 x1

5、时，sx)0,所以 ex1x,一一 11.从而g(x) = x -30.12分I考向2|求函数的单调区问例四一(2021北京高考)设函数f(x) = xeax+ bx,曲线y=f(x)在点(2, f(2)处的切线方程为y=(e 1)x+ 4.(1)求a, b的值；(2)求f(x)的单调区间.解(1)因为 f(x) = xea-x+bx,所以 f x) = (1-x)ea-x+ b.2 分f 2 =2e+ 2,2ea-2 + 2b= 2e+ 2, TOC o 1-5 h z 依题设，即 ,f2 =e1,-ea-2+b= e- 1.a = 2,解得5分b = e.(2)由知 f(x) = xe2-

6、x+ ex.由 fx) = e2-,递减区间是. 0, 二 一二,+oo 由得 f(x)的定义域为(0, + ). a a a x+1 因为 fx) = a+x= xa， x函数 f(x) = x ax 1.假设f(x)在R上为增函数，求实数a的取值范围.解因为f(x)在(一8, +OO)上是增函数，所以f x) = 3x2a0在(一00 , +oo)上恒成立，即a0,所以只需a0, f(x) = x31在R上是增函数，所以a0在(1, +8)上恒成立，即3x2 a0在(1, +8)上恒成立，7分所以a03x2在(1, +8)上包成立，所以a0,3分(1-x+ ex-1)及 e2-x0 知，f

7、x)与 1 x+ ex-1 同号.7 分令 g(x) = 1 x+ex-1,那么 gx)= 1 + ex-1.所以，当xC( oo, 1)时，gx)0, g(x)在区间(1, +oo)上是增加的.9分故g(1)=1是g(x)在区间(一00, +OO)上的最小值，从而 g(x)0, x (8, +oo).综上可知，f x)0, x (8, +oo),故f(x)的递增区间为(8, + oo).12分规律方法求函数单调区间的步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求 f x);(3)在定义域内解不等式fx)0,得递增区问；(4)在定义域内解不等式fx)0,得递减区间.变式训练2函数f(x)=ax

8、+ln x,那么当ag时，f x)0, aJ ，当 0 x0, a所以f(x)的递增区间为o, 一 a,递减区间为一.+00. aI考向31r同函数的单调性求参数所以f(x)在(一8, +OO)上为增函数.当 a0 时，令 3x2a0,得-当x。). 35分f(x)在区间(一1,1)上不单调，.01,得0a0；假设函 数递减，那么fx)W0来求解.易错警示：(1)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x(a, b)都有fx) 0, 且在(a, b)内的任一非空子区间上fx)不包为0.应注意此时式子中的等号不能省 略，否那么漏解.(2)函数在其区间上不具有单调性，但可在子区间上具有单调性，如迁移3中利用了甲(0,1)来求解.31变式训练3 (2021全国卷I)假设函数f(x) = x3sin 2x+asin x在(一0,+ 8)递增，那么a的取值范围是()A. T,1