大物高数预备知识课件

1、一、矢量的定义 例如：质量、长度、时间、密度、能量、温度等.矢量的基本知识 在科学技术和日常生活中经常遇到两种量： 标量： 它由数完全确定. 矢量: 不能单纯由数确定. 它既有大小，又有方向满足加法（平行四边形法则） 例如：位移、速度、加速度、力、动量、角动量、电场强度、磁场强度矢量不要太多哦！什么是加法？把物理书拿出来转两下，没有带书的转手机1第1页，共45页。二、矢量的表示 (反映其大小和方向) 1. 用带箭头的字母 或图示表示; 矢量的模，即矢量的大小即其模（大小）等于1，方向与矢量 相同 单位矢量2. 分别来表示2第2页，共45页。3. 矢量与数相乘大小是原来的 倍 方向要看 k 的正

2、负（相同或反向） x 轴上的单位矢量 y 轴上的单位矢量+( 4 , 3 )第3页，共45页。4. 矢量的坐标表示式( x , y )称为该矢量的 x 分量称为该矢量的 y 分量第4页，共45页。 分别表示直角坐标系中xyz方向的单位矢量. Ax, Ay, Az 分别是矢量在ox, oy, oz轴上分量的大小；kjizyxO（Ax, Ay, Az）三维5第5页，共45页。5. 矢量相等大小相等,方向相同的矢量相等 平移如果两矢量大小相等,方向相反6第6页，共45页。三、矢量的加法和减法(几何方法) 1. 矢量相加(1) 遵守平行四边形法则(平行四边形法则)+=O平行四边形法则：两矢量 与 的和

3、是以这两个矢量为邻边的平行四边形的对角线矢量 .7第7页，共45页。(2) 三角形法则 以 矢量的末端为起点,作矢量 ,再由矢量 的起点连到 的末端,即为矢量 .8第8页，共45页。(3) 多边形法则（n(n3)个矢量的和） 以任意次序相继作矢量，使这些矢量首尾相连，而第一个矢量的起点到最后一个矢量末端的矢量即为n个矢量的和abcda+b+c+d9第9页，共45页。2. 矢量减法注意： 用三角形法则求矢量相减最方便。减法是加法的逆运算10第10页，共45页。四、矢量的乘法（标积和矢积） 1. 矢量的标积（点乘） 是 的夹角。结论：两个矢量点乘的结果得到的是标量，它只有大小，没有方向.2. 矢量

4、的矢积（叉乘）大小：方向： 结论：两个矢量叉乘得到的结果仍然是一个矢量. 右手螺旋法则11第11页，共45页。 伸出右手，使手平面垂直 、 所构成的平面，然后四指沿着矢量 的方向，经过小于180的角转到矢量 的方向，此时拇指指示的方向就是矢量 的方向. 右手螺旋法则12第12页，共45页。2. 极限2. 1 数列的极限例1例2数列1的变化趋势趋向于0数列2没有明确的变化趋势，极限不存在。13第13页，共45页。定义 设数列 ，如果存在常数a，使得对任意给定的正数 (不论它多么小)，总存在自然数N，只要Nn,不等式那么称常数a 是数列 的极限，或则称数列 收敛于a，记为通俗地说：要多接近，有多接

5、近！都成立，14第14页，共45页。2. 2 函数的极限函数 f(x)在点x0处的极限定义可以简单地表达为： 当 时，有x2yo2+2-A+ A- x0Axyo15第15页，共45页。函数 f(x)在点处的极限定义可以简单地表达为：当|x|X时有例416第16页，共45页。2. 3 无穷小与无穷大定义 如果xx0(x)时函数f(x)的极限为零，那么函数 f (x)就叫做xx0(x)时的无穷小。定义 如果xx0(x)时函数f(x)的值大于任意给定的正数M，“要多大，有多大”，那么函数 f (x)就叫做xx0(x)时的无穷大。例1 因 ，所以变量 是当x0时的无穷小量。17第17页，共45页。例2

6、 求解 18第18页，共45页。例3 求解 当x1时，分子和分母的极限为零，故不能用上面的方法求极限。分子与分母是同阶无穷小高阶无穷小项19第19页，共45页。解 故不能商的求极限的方法。考虑例4 求由无穷大与无穷小的关系，得20第20页，共45页。例5 求极限解 分子分母均除以x3, 得 21第21页，共45页。例6 求极限解 分子分母均除以x2，得 22第22页，共45页。例7 求极限23第23页，共45页。 两个重要极限极限1极限2等价无穷小24第24页，共45页。3. 导数、微分3. 1 导数的定义xyoMNTy=f(x)若极限存在，则称函数y=f(x)在x0处可导如果函数y=f(x)

7、在一个区间内的每一点可导，则得到一个导函数，记为 xyoy=|x|25第25页，共45页。例1 求函数 f (x)=C(C为常数)的导数。26第26页，共45页。例2 求幂函数 的导数。27第27页，共45页。几个常见函数的导函数：28第28页，共45页。导数的意义：1. 函数的“变化率”、“增长率”2. 函数曲线上切线的斜率3. 位置函数对时间的导数是速度， 速度函数对时间的导数是加速度.29第29页，共45页。3. 2 求导法则3.2.1 函数的和、积、商的求导法则30第30页，共45页。3.2.2 复合函数的求导法则复合函数的导数 设函数 均为可导函数，则函数 为可导函数，且31第31页

8、，共45页。3.2.3 高阶导数例3 求函数 的二阶导数。例4 求 的 阶导数。32第32页，共45页。例5：已知求33第33页，共45页。例6：圆周运动xy34第34页，共45页。3. 3 微分微分：对应自变量的微小增量，函数的微小增量x35第35页，共45页。定理 函数 在点 处可微的充要条件是函数 在点 处可导且有导数 微商MNT） P xyoQ36第36页，共45页。37第37页，共45页。4. 不定积分如果函数 在一个区间上连续，则在区间上存在可导函数 ，有称为函数 的原函数求一个函数的不定积分，就是求被积函数的原函数积分是求导的逆运算38第38页，共45页。几个常见的积分39第39页，共45页。例1：已知求40第40页，共45页。5. 定积分变速运动的路程问题：tv定积分