多元函数的极限与连续性课件

1、第二节、多元函数的极限和连续性一、多元函数的极限二、多元函数的连续性三、小结、思考题四、作业第1页，共39页。极限，定义2.1设函数的定义域为任意给定的正数，总存在正数使得当时，都有时的则称为函数当一、多元函数的极限对于是D的聚点,若存在常数记为第2页，共39页。（1）定义中 的方式是任意的；（2）二元函数的极限也叫二重极限。（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似(4) 二元函数极限的概念可相应的推广到 n 元函数上去。说明：或也可记为或第3页，共39页。例3 求证 证当 时，原结论成立第4页，共39页。例4 求极限 解其中第5页，共39页。例 证明 不存在 证取其值随k的不同而变化，故极

2、限不存在第6页，共39页。不存在.观察播放第7页，共39页。确定极限不存在的方法：（1） 若极限值与k有关，则可断言极限不存在；（2） 找两种不同趋近方式，存在，但两者不相等，令P(x,y)沿 y=kx 趋向于使此时也可断言在点处极限不存在第8页，共39页。例 证明：极限不存在。证：时，沿任意直线趋于分析： 第9页，共39页。故不存在。沿任意曲线时，趋于第10页，共39页。例 二元函数当时，其余部分。讨论在原点的极限。如图所示，任何直线趋于原点时，都趋于 沿抛物线趋于原点时，都趋于所以极限不存在。当沿当点相应的解：零;第11页，共39页。处连续。点间断点。二、多元函数的连续性定义2.3是其聚点

3、且如果则称元函数在如果若函数 在 内每一点都连续，函数 在 上连续。则称设元函数的定义域为点集设0P是函数的定义域的聚点，在点处不连续，则称是函数的第12页，共39页。例8 讨论函数在(0,0)处的连续性解故函数 在(0,0)处连续.第13页，共39页。例9 讨论函数在(0,0)的连续性解故函数 在(0,0)处连续.第14页，共39页。（1）一元函数中关于连续函数的运算法则，对于多元函数仍适用，积、商（分母不为零）仍连续，复合函数也连续。如：都在其自然定义域上连续。（2) 与一元初等函数类似，能用一个算式表示的多元函数，这个算式由常多元连续函数的注因此多元连续函数的和、差、多元初等函数是指第1

4、5页，共39页。等都是多元初等函数。量及其不同自变量的一元基本初等函数限次的四则运算和复合运算而得到，定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域重要结论：一切多元初等函数在其定义区域内是连续的。如：经过有第16页，共39页。解例设求点P0处连续，数，时，一般地，求如果是初等函0)(fPP的定义域内的点，是且)(Pf在则于是第17页，共39页。闭区域上连续函数的性质上有界，（1）有界性与最大值最小值定理 在有界闭区域D上的多元连续函数，（2）介值定理 在有界闭区域D上的多元连续函数，必在D且能取得它的最大值和最小值。在 D 上取得介于最大值和最小值之间的任何值。必定第18页，共39页。多元函数极限

5、的概念多元函数连续的概念闭区域上连续函数的性质（注意趋近方式的任意性）小结第19页，共39页。思考题若点沿着无数多条平面曲线趋向于点时，函数都趋向于A，能否断定？第20页，共39页。思考题解答不能.例取但是 不存在.若取第21页，共39页。的图形第22页，共39页。练 习 题第23页，共39页。二、求下列各极限：1.2.第24页，共39页。三、证明：四、证明极限：不存在。3.第25页，共39页。练习题答案第26页，共39页。作业第27页，共39页。不存在.观察第28页，共39页。不存在.观察第29页，共39页。不存在.观察第30页，共39页。不存在.观察第31页，共39页。不存在.观察第32页，共39页。不存在.观察第33页，共39页。不存在.观察第34页，共39页。