《复变函数》教学第一章-3课件

1、第三节 概率的定义与运算太原理工大学 数学学院第1页，共38页。 随机事件在一次试验中是否发生带有重复实验中，人们还是可以发现它是有其 偶然性，我们不能事先预料。但是在大量内在规律性的。这种规律性最明显的表现几的把握，或某种现象发生的可能性为百 分，这就是人们常说的干某件事有百分之就是事件在试验中发生的可能性有大小之之几等。对于事件发生可能性大小，自然第2页，共38页。需要用一个数量指标去刻画它。这个指标不能带有主观性，且能在大量重复试验中首先应该是随机事件本身所具有的属性，得到验证；其次，必须符合常情。例如，性大小的数量指标叫做事件的概率。 就赋予它较小值。把刻画事件发生的可能事件发生可能性

2、大就赋予它较大值，反之事件 的概率用 表示。我们将通过第3页，共38页。以下几种不用的概率的直观定义逐步引入1.3.1 古典概率 几何概率和频率，最后给出公理化的概率定义。 1.古典概率征：观的随机实验，这类问题有两个明显的特 古典概率研究的是一类比较简单、直 （1）实验所有的基本结果的个数有限第4页，共38页。在每次实验中出现的可能性是相等的。不妨记为 ,样本空间 （2）各个基本结果的 种，即 假设事件 中包含了以上 种结果中则事件 发生的可能性，即事件 发生的概率 自然可以定义为 中包含的基第5页，共38页。本结果个数与总的结果个数成正比，即称之为古典概率，在古典概率中，如果总互斥，则 中

3、共有 个结果，即的基本结果有 个，而事件 中包含 个，即 事件 中包含 个，即且 与 中没有相同的结果，即 与 第6页，共38页。从而事件 的概率为故这是一个常用的公式，前提条件下是 与 互斥.特别地，第7页，共38页。显然满足以下三个条件： 例1 一批产品由95件正品和5件次品组成，从中连续抽取两件，第一次抽取后 （1）非负性 对任意事件 （2）规范性 对古典概率下的事件 的概率定义， （3）有限可加性 若事件 互斥，第8页，共38页。不再放回，问第一次抽得正品且第二次抽得次品的概率多大？且第二次抽得次品”，由于是无放回地抽取种，而第一次抽正品的方法有95种，第二利用乘法原理可知总的抽取方法

4、有：取方法共有 种，所求概率为 解 用 表示事件“第一次抽得正品次抽次品的方法有5种，则 中包含的抽第9页，共38页。 例2 在例1中，若仍是不放回地抽得两件产品，要求计算“抽得一件为正品，一件为次品”的概率. 解 设 表示“第一次抽得正品且第且第二次抽得正品”，显然 与 是互斥二次抽得次品”， 表示“第一次抽得次品第10页，共38页。次取得次品”，从而所求概率为等可能的，求每个盒子最多只有一个球的概率.事件， 表示事件“一次取得正品，一子 设每个球放入任何一个盒子是 例3 把 个球随机地放入 个盒第11页，共38页。 这是一个古典概率问题，每个球可落 与此相像的问题是历史上著名的生日问题入

5、个盒子中的任何一个，问题相当于 个元素取 个的有重复的排列，样本点总数是 个，所求事件的样本点数为从 个元素中取 个的排列 故所求概率为第12页，共38页。个人至少有两个人生日相同的概率为把每年365天看成365个盒子，当 时， 当 时求参加集会的 个人中 没有人生日相同的概率，把 个人看成 个球，把当 时， 相反，集会中的 第13页，共38页。 2. 几何概率两个特征，即基本结果的个数的有限性和 在古典概率中，所研究的问题都是有出现每个基本结果的等可能性。如果等可必须加以改进。我们通过下面的例子来引无穷时，则古典概率的定义就不适用了，能性仍然成立，但实验的基本结果个数为入另一种概率计算的方法

6、。第14页，共38页。间内在预定地点会面，先到的人等候另一的时刻，所有可能到达时刻组成的点可以试求甲、乙两人能会面的概率。个，经过时间 离去。设每人在0到 例 4 甲、乙两人相约在0到 这段时 这段时间内各时刻到达该地是等可能的， 解 以 分别表示甲、乙两人到达用平面上长为 的正方形第15页，共38页。区域来表示，两人能会面这个事件表示点落在义为如图1-2所示，由等可能性，所求概率可定第16页，共38页。第17页，共38页。 这类利用平面或空间图形的几何特性来计算的概率，称为几何概率。一般有非负性、规范性外，还满足可列可加性：表现为长度、面积、体积.几何概率除满足事件 两两互斥，则 这里 为测

7、度。根据实际问题测度通常第18页，共38页。这三点连线构成的三角形是锐角三角形的概率。则样本空间为： 例 5 圆周上任取 三点，求 设三点连线后角 分别为 弧度， 表示事件“三点连线构成锐角三角形”第19页，共38页。如图1-3所示，所以 的样本点表示为第20页，共38页。第21页，共38页。 3. 频率可能为基础的。对于一般的随机实验当然 古典概率和几何概率的定义都是以等不一定有这样的可能性存在。那么，在一问题，我们先来引入随机事件的频率的概事件出现的可能性大小呢？为了回答这个般情形下，是不是可以用数字来度量随机念。设随机事件 在 次实验中发生了 次第22页，共38页。现的频率总是介于0与1

8、之间的一个数：如率，记作 即 显然，任何随机事件在 次试验中出果事件 是必然事件，则 在 次实验中出现的次数 ,所以必然事件出现的频率则比值 为这 次试验中事件 发生的频第23页，共38页。总是等于0.显然，频率满足非负性、规范性、有限可加性。就是说，当实验次数充分多时，随机事件 经验表明，当实验重复多次时，随机事件 出现的频率具有一定的稳定性。这则总有 ,所以不可能事件出现的频率总是等于1，如果事件 是不可能事件， 出现的频率在区间 上的某个确定的第24页，共38页。的可能性大小进行度量的客观基础。的一种属性。这种属性是可以对事件出现 下表是历史上一些著名的抛掷硬币的实验结果：数字 附近摆动

9、。这个数字 是事件本身第25页，共38页。大时，频率越来越明显地呈现出稳定性， 上面例子说明，当抛掷硬币的次数较即正面向上的频率在0.5这个数字附近摆动抛掷者抛掷次数正面数正面频率Puffon404020480.5069DeMorgan402920480.5005Feller1000049790.4979K.Pearson1200060190.5016K.Pearson24000120190.5005第26页，共38页。1.3.2 概率的公理化定义在引入数学上严格的概率定义。在概率论 通过前面几种概率的定义，我们现中，如果存在以样本空间 中事件为自变 （1）非负性 对任意事件 （2）规范性 （

10、3）可列可加性 事件量的函数 ，满足以下三个公理：第27页，共38页。两两互斥，则符合概率的定义，只不过它们都是该定义义、几何定义和频率都满足以上三个公理， 容易证明，前面涉及的概率的古典定下的特殊情形，比较直观。从 严格的概率我们称函数 为事件 的概率.第28页，共38页。的事件都是事件域中的元素。闭，我们称该子集类为事件域。以后研究则其逆为事件；若 为事件，则其并为事件。若 的子集类满足：包含 ；对余运算封闭；对可数并运算封 关于概率的性质，常见的有以下几条： 性质 1 意义上，我们有： 为事件；若 为事件，第29页，共38页。 性质 2 有限可加性： 性质 3 由于 且 且有 性质 4

11、若 则由性质2. 可得第30页，共38页。由性质2和性质4， 由 性质 5由于 性质 6 为 个事件，则 第31页，共38页。赌博中发现，一对骰子掷25次，把赌注押 例 6（德梅尔问题） 1654年德梅尔在 利用数学归纳法可证。到“至少出现一次双六”比把“没有出现双六”第32页，共38页。有利，但不知何故，后来他请教数学家帕与大数学家费马通信讨论，由此导致概率斯卡才得到答案。由于这个问题，帕斯卡论的产生。率是 掷25次没有出现双六的概率是由性质3的逆事件公式，没有出现双六的概 一对骰子掷一次出现双六的概率是 第33页，共38页。仍由性质3的逆事件公式，掷25次至少出现一次双六的概率是 例 7 已知某城市中有50%的用户订日没有出现双六”有利。所以把赌注押到“至少出现一次双六”比“没报，65%的用户订晚报，85%的用户至少订第34页，共38页。两种报中的一种，问同时订两种报的用户比例。则所求的概率为由已知， 解 设“用户订日报”事件