条件概率优秀教学课件

1、5条件概率(一) 条件概率 条件概率是概率论中的一个重要概念, 所考虑的是事件A已发生的条件下, 事件B发生的概率.例1 将一枚硬币抛掷两次, 观察其出现正反面的情况. 设事件A为至少有一次为H, 事件B为两次掷出同一面. 现在求已知事件A已经发生条件下事件B发生的概率.样本空间为S=(HH,HT,TH,TT, A=HH,HT,TH, B=HH,TT. 已知事件A已发生, 知道TT不可能发生.即知试验所有可能结果所成的集合就是A, A中共有3个元素, 其中只有HHB. 于是, 在A发生的条件下B发生的概率,记为P(B|A),为另外, 易知故有(5.1)对于一般古典概型问题, 若仍以P(B|A)

2、记事件A已经发生的条件下B发生的概率, 则关系式(5.1)仍然成立. 事实上, 设试验的基本事件总数为n, A所包含的基本事件数为m(m0), AB所包含的基本事件数为k, 即有定义 设A,B是两个事件, 且P(A)0, 称为在事件A发生条件下事件B发生的条件概率.不难验证, 条件概率P(|A)符合概率定义中的三个条件, 即1,非负性: 对任一事件B, 有P(B|A)02, 规范性: 对于必然事件S, 有P(S|A)=1;3, 可列可加性: 设B1,B2,.,是两两互斥事件,既然条件概率符合上述三个条件, 故3中对概率所证明的一些重要结果都适用于条件概率. 例如, 对于任意事件B1,B2有 P

3、(B1B2|A)=P(B1|A)+P(B2|A)-P(B1B2|A).例2 一盒子装有4只产品, 其中有3只一等品, 1只二等品, 从中取产品两次, 每次任取一只, 作不放回抽样. 设事件A为第一次取到的是一等品, 事件B为第二次取到的是一等品. 试求条件概率P(B|A).解 易知此属古典概型问题. 将产品编号, 1,2,3号为一等品; 4号为二等品. 以(i,j)表示第一次, 第二次分别取到第i号,第j号产品. 试验E(取产品两次, 记录其号码)的样本空间为S=(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),.,(4,1), (4,2), (4,3), 共12个基本事

4、件组成,A=(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2), (3,4), 共9个基本事件组成,AB=(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2).共6个基本事件组成.按(5.2)式, 得条件概率也可以直接按条件概率的含义来求P(B|A). 我们知道, 当A发生以后, 试验E所有可能结果的集合就是A, A中有9个元素, 其中只有(1,2), (1,3), (2,1), (2,3), (3,1), (3,2)属于B, 故可得(二)乘法定理 由条件概率的定义(5.2)可得乘法定理 设P(A)0, 则有P(AB)=P(A)P(

5、B|A)(5.3)上式容易推广到多个事件的积事件的情况. 例如, 设A,B,C为事件, 且P(AB)0, 则有P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB) (5.4)一般地, 设A1,A2,.,An为n个事件, n2, 且P(A1A2.An-1)0, 则有P(A1A2.An)=P(A1)P(A2|A1). P(An-1|A1A2.An-2)P(An|A1A2.An-1) (5.5)例3 设袋中装有r只红球, t只白球. 每次自袋中任取一只球, 观察其颜色后放回, 并再放入a只与所取出的那只球同色的球. 若在袋中连续取球四次, 试求第一,二次取到红球且第三,四次取到白球的概率.解 以Ai(i

6、=1,2,3,4)表示事件第i次取到红球,例4 某种透镜, 第一次落下时打破的概率为1/2, 若第一次落下来未打破, 第二次落下打破的概率为7/10, 若前两次落下未打破, 第三次落下打破的概率为9/10. 试求透镜落下三次而未打破的概率.解以Ai(i=1,2,3)表示事件透镜第i次落下打破, 以B表示事件透镜落下三次而未打破, 则(三)全概率公式和贝叶斯公式定义 设S为试验E的样本空间, B1,B2,.,Bn为E的一组事件, 若(1) BiBj=f, ij, i,j=1,2,.,n;(2) B1B2.Bn=S,则称B1,B2,.,Bn为样本空间的一个划分.若B1,B2,.,Bn是样本空间的一

7、个划分, 那么,对于每次试验, 事件B1,B2,.,Bn中必有一个且仅有一个发生.划分的图示B1B2B3SB4B5定理 设试验E的样本空间为S, A为E的事件, B1,B2,.,Bn为S的一个划分, 且P(Bi)0(i=1,2,.,n), 则(5.6)式称为全概率公式.证 因为A=AS=A(B1B2.Bn)=AB1AB2.ABn,由假设P(Bi)0(i=1,2,.,n),且(ABi)(ABj)=f,ij,i,j=1,2,.,n得到P(A)=P(AB1)+P(AB2)+.+P(ABn)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+.+P(A|Bn)P(Bn).定理 设试验E的样本空间为S

8、. A为E的事件, B1,B2,.,Bn为S的一个划分, 且P(A)0, P(Bi)0 (i=1,2,.,n), 则下面的贝叶斯公式成立:证 由条件概率的定义及全概率公式得特别在(5.6), (5.7)中取n=2, 并将B1记为B,此时这两个公式是常用的.例5 某电子设备厂所用元件由三家元件厂供给, 根据以往纪录有以下数据:元件制造厂次品率提供元件的份额10.020.1520.010.8030.030.05设这三厂产品在仓库中混合摆放无区别标志.(1)在仓库中任取一只元件, 求它是次品的概率; (2)如已取到一只次品, 求它由各厂生产的概率分别是多少.解 设A表示取到次品, Bi表示产品来自第

9、i家厂, 则B1,B2,B3构成划分, P(B1)=0.15, P(B2)=0.8, P(B3)=0.05, P(A|B1)=0.02, P(A|B2)=0.01, P(A|B3)=0.03.(1)由全概率公式P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+P(A|B3)P(B3)=0.0125.(2)由贝叶斯公式例6 对以往数据分析结果表明, 当机器调整得良好时, 产品的合格率为98%, 而当机器发生某种故障时, 其合格率为55%. 每天早上调整良好的概率为95. 试求已知某日早上第一件产品是合格品时, 机器调整良好的概率是多少?解 设A为事件产品合格,B为机器调整良好这就是说

10、, 当生产出第一件产品是合格品时, 此时机器调整良好的概率为0.97. 这里, 概率0.95是由以往的数据分析得到的, 叫做先验概率. 而在得到信息(即生产出第一件产品是合格品)之后再重新加以修正的概率(即0.97)叫做后验概率. 有了后验概率我们就能对机器的情况有进一步的了解.本题结果表明, 虽然这两个概率都比较高, 但若将此试验用于普查, 则有P(C|A)=0.087, 亦即其正确性只有8.7%(平均1000个具有阳性反应的人中大约只有87人确患有癌症), 如果不注意到这一点, 将会得出错误的诊断, 这也说明, 若将P(A|C)和P(C|A)混淆了会造成不良的后果.6 独立性设A,B是试验

11、E的两事件, 若P(A)0, 可以定义P(B|A). 一般, A的发生对B发生的概率是有影响的, 这时P(B|A)P(B), 只有在这种影响不存在时才会有P(B|A)=P(B), 这时有P(AB)=P(B|A)P(A)=P(A)P(B)例1 设试验E为抛甲,乙两枚硬币, 观察正反面出现的情况. 设事件A为甲币出现H, 事件B为乙币出现H. E的样本空间为S=HH,HT,TH,TT.则有可知P(B|A)=P(B), 而P(AB)=P(A)P(B). 事实上, 由题意, 甲币是否出现正面与乙币是否出现正面是互不影响的.定义 设A,B是两事件, 如果满足等式P(AB)=P(A)P(B),(6.1)则

12、称事件A,B相互独立, 简称A,B独立.容易知道, 若P(A)0,P(B)0则A,B相互独立与A,B互不相容不能同时成立.定理一 设A,B是两事件, 且P(A)0, 若A,B相互独立, 则P(B|A)=P(B)反之亦然.定义 设A,B,C是三个事件, 如果满足等式则称事件A,B,C相互独立.一般, 设A1,A2,.,An(n2)个事件, 如果对于其中任意2个, 任意3个, ., 任意n个事件的积事件的概率, 都等于各事件概率之积, 则称事件A1,A2,.,An相互独立.由定义可以得到以下两点推论.1,若事件A1,A2,.,An(n2)相互独立, 则其中任意k(2kn)个事件也是相互独立的.2,

13、若n个事件A1,A2,.,An(n2)相互独立, 则将A1,A2,.,An中任意多个换成它们的对立事件, 所得的n个事件仍相互独立.两事件相互独立的含义是它们中一个已发生, 不影响另一个发生的概率. 在实际应用中, 对于事件的独立性常常是根据事件的实际意义去判断. 一般, 若由实际情况分析, A,B两事件之间没有关联或关联很微弱, 那就认为它们是相互独立的. 例如, A,B分别表示甲乙两人患感冒. 如果甲乙两人的活动范围相距甚远, 就认为A,B相互独立, 若甲乙两人是同住在一个房间里的, 那就不能认为A,B相互独立了.例2 一个元件(或系统)能正常工作的概率称为元件(或系统)的可靠性. 如图,

14、 设有4个独立工作的元件1,2,3,4按先串联再并联的方式联接. 设第i个元件的可靠性为pi(i=1,2,3,4), 求系统的可靠性.1234解 以Ai(i=1,2,3,4)表示事件第i个元件正常工作, 以A表示系统正常工作.A=A1A2A3A4由系统的独立性, 得系统的可靠性:P(A)=P(A1A2)+P(A3A4)-P(A1A2A3A4) =P(A1)P(A2)+P(A3)P(A4)- P(A1)P(A2)P(A3)P(A4) =p1p2+p3p4-p1p2p3p4例3 要验收一批(100件)乐器, 验收方案如下: 自该批乐器中随机地取3件测试(设3件乐器的测试是相互独立的), 如果3件中

15、至少有一件在测试中被认为音色不纯, 则这批乐器就被拒绝接收. 设一件音色不纯的乐器经测试查出其为音色不纯的概率为0.95, 而一件音色纯的乐器经测试被误认为不纯的概率为0.01. 如果已知这100件乐器中恰有4件音色不纯的. 试问这批乐器被接收的概率是多少?解 设以Hi(i=0,1,2,3)表示事件随机地取出3件乐器, 其中恰有i件音色不纯, H0, H1, H2, H3是S的一个划分, 以A表示事件这批乐器被接收. 已知一件音色纯的乐器, 经测试被认为音色纯的概率为0.99, 而一件音色不纯的乐器, 经测试被误认为音色纯的概率为0.05, 并且3件乐器的测试是相互独立的, 于是有 P(A|H

16、0)=(0.99)3, P(A|H1)=(0.99)20.05, P(A|H2)=0.99(0.05)2, P(A|H3)=(0.05)3,例4 甲乙两人进行乒乓球比赛, 每局甲胜的概率为p, p1/2. 问对甲而言, 采用三局二胜制有利, 还是采用五局三胜制有利. 设各局胜负相互独立.解 采用三局二胜制, 甲最终获胜, 其胜局的情况是:甲甲或乙甲甲或甲乙甲. 而这三种结局互不相容, 于是由独立性得甲最终获胜的概率为p1=p2+2p2(1-p).采用五局三胜制, 甲最终获胜, 至少需比赛3局(可能赛3,4,5局), 最后一局必需是甲胜, 前面甲需胜二局. 例如, 共赛4局, 可能的情况是:甲乙

17、甲甲,乙甲甲甲,甲甲乙甲,且这三种结局互不相容, 由独立性得甲获胜的概率为而 p2-p1=3p2(p-1)2(2p-1)当p(1/2)时p2p1;故对甲来说采用五局三胜制为有利.19、一个人的理想越崇高，生活越纯洁。20、非淡泊无以明志，非宁静无以致远。21、理想是反映美的心灵的眼睛。22、人生最高之理想，在求达于真理。便有了文明。24、生当做人杰，死亦为鬼雄。25、有理想的、充满社会利益的、具有明确目的生活是世界上最美好的和最有意义的生活。26、人需要理想，但是需要人的符合自然的理想，而不是超自然的理想。27、生活中没有理想的人，是可怜的。28、在理想的最美好的世界中，一切都是为美好的目的而

18、设的。29、理想的人物不仅要在物质需要的满足上，还要在精神旨趣的满足上得到表现。30、生活不能没有理想。应当有健康的理想，发自内心的理想，来自本国人民的理想。31、理想是美好的，但没有意志，理想不过是瞬间即逝的彩虹。32、骐骥一跃，不能十步；驽马十驾，功在不舍；锲而舍之，朽木不折；锲而不舍，金石可镂。荀况33、伟大的理想只有经过忘我的斗争和牺牲才能胜利实现。34、为了将来的美好而牺牲了的人都是尊石质的雕像。35、理想对我来说，具有一种非凡的魅力。36、扼杀了理想的人才是最恶的凶手。37、理想的书籍是智慧的钥匙。 人生的旅途，前途很远，也很暗。然而不要怕，不怕的人的面前才有路。 鲁 迅2 人生像

19、攀登一座山，而找寻出路，却是一种学习的过程，我们应当在这过程中，学习稳定、冷静，学习如何从慌乱中找到生机。 席慕蓉3 做人也要像蜡烛一样，在有限的一生中有一分热发一分光，给人以光明，给人以温暖。 萧楚女4 所谓天才，只不过是把别人喝咖啡的功夫都用在工作上了。 鲁 迅5 人类的希望像是一颗永恒的星，乌云掩不住它的光芒。特别是在今天，和平不是一个理想，一个梦，它是万人的愿望。 巴 金6 我们是国家的主人，应该处处为国家着想。 雷 锋7 我们爱我们的民族，这是我们自信心的源泉。 周恩来8 春蚕到死丝方尽，人至期颐亦不休。一息尚存须努力，留作青年好范畴。 吴玉章9 学习的敌人是自己的满足，要认真学习一

20、点东西，必须从不自满开始。对自己，“学而不厌”，对人家，“诲人不倦”，我们应取这种态度。 毛泽东10 错误和挫折教训了我们，使我们比较地聪明起来了，我们的情就办得好一些。任何政党，任何个人，错误总是难免的，我们要求犯得少一点。 犯了错误则要求改正，改正得越迅速，越彻底，越好。 毛泽东38、理想犹如太阳，吸引地上所有的泥水。9君子欲讷于言而敏于行。 论语 译：君子不会夸夸其谈，做起事来却敏捷灵巧。 10二人同心，其利断金；同心之言，其臭如兰。 周易 译：同心协力的人，他们的力量足以把坚硬的金属弄断；同心同德的人发表一致的意见，说服力强，人们就像嗅到芬芳的兰花香味，容易接受。 11君子藏器于身，待

21、时而动。 周易 译：君子就算有卓越的才能超群的技艺，也不会到处炫耀、卖弄。而是在必要的时刻把才能或技艺施展出来。 12满招损，谦受益。 尚书 译：自满于已获得的成绩，将会招来损失和灾害；谦逊并时时感到了自己的不足，就能因此而得益。 13人不知而不愠，不亦君子乎？ 论语 译：如果我有了某些成就，别人并不理解，可我决不会感到气愤、委屈。这不也是一种君子风度的表现吗？知缘斋主人 14言必信 ，行必果。 论语 译：说了的话，一定要守信用；确定了要干的事，就一定要坚决果敢地干下去。 15毋意，毋必，毋固，毋我。 论语 译：讲事实，不凭空猜测；遇事不专断，不任性，可行则行；行事要灵活，不死板；凡事不以“我

22、”为中心，不自以为是，与周围的人群策群力，共同完成任务。 16三人行，必有我师焉，择其善者而从之，其不善者而改之。论语 译：三个人在一起，其中必有某人在某方面是值得我学习的，那他就可当我的老师。我选取他的优点来学习，对他的缺点和不足，我会引以为戒，有则改之。 17君子求诸己，小人求诸人。 论语 译：君子总是责备自己，从自身找缺点，找问题。小人常常把目光射向别人，找别人的缺点和不足。很多人（包括我自己）觉得面试时没话说，于是找了一些名言，可以在答题的时候将其穿插其中，按照当场的需要或简要或详细解释一番，也算是一种应对的方法吧 1天行健，君子以自强不息。 周易 译：作为君子，应该有坚强的意志，永不

23、止息的奋斗精神，努力加强自我修养，完成并发展自己的学业或事业，能这样做才体现了天的意志，不辜负宇宙给予君子的职责和才能。 2勿以恶小而为之，勿以善小而不为。 三国志刘备语 译：对任何一件事，不要因为它是很小的、不显眼的坏事就去做；相反，对于一些微小的。却有益于别人的好事，不要因为它意义不大就不去做它。 3见善如不及，见不善如探汤。 论语 译：见到好的人，生怕来不及向他学习，见到好的事，生怕迟了就做不了。看到了恶人、坏事，就像是接触到热得发烫的水一样，要立刻离开，避得远远的。 4躬自厚而薄责于人，则远怨矣。 论语 译：干活抢重的，有过失主动承担主要责任是“躬自厚”，对别人多谅解多宽容，是“薄责于

24、人”，这样的话，就不会互相怨恨。 5君子成人之美，不成人之恶。小人反是。 论语 译：君子总是从善良的或有利于他人的愿望出发，全心全意促使别人实现良好的意愿和正当的要求，不会用冷酷的眼光看世界。或是唯恐天下不乱，不会在别人有失败、错误或痛苦时推波助澜。小人却相反，总是“成人之恶，不成人之美”。 6见贤思齐焉，见不贤而内自省也。 论语 译：见到有人在某一方面有超过自己的长处和优点，就虚心请教，认真学习，想办法赶上他，和他达到同一水平；见有人存在某种缺点或不足，就要冷静反省，看自己是不是也有他那样的缺点或不足。 7己所不欲，勿施于人。 论语 译：自己不想要的（痛苦、灾难、祸事），就不要把它强加到别人

25、身上去。 8当仁，不让于师。 论语 译：遇到应该做的好事，不能犹豫不决，即使老师在一旁，也应该抢着去做。后发展为成语“当仁不让”。 18君子坦荡荡，小人长戚戚。 论语 译：君子心胸开朗，思想上坦率洁净，外貌动作也显得十分舒畅安定。小人心里欲念太多，心理负担很重，就常忧虑、担心，外貌、动作也显得忐忑不安，常是坐不定，1.书到用时方恨少，事非经过不知难。 陈廷焯 译：知识总是在运用时才让人感到太不够了，许多事情如果不亲身经历过就不知道它有多难。 72、笨鸟先飞早入林，笨人勤学早成材。 省世格言 译：飞得慢的鸟儿提早起飞就会比别的鸟儿早飞入树林，不够聪明的人只要勤奋努力，就可以比别人早成材。 73.

26、书山有路勤为径，学海无涯苦作舟。 增广贤文 译：勤奋是登上知识高峰的一条捷径，不怕吃苦才能在知识的海洋里自由遨游。 74.学如逆水行舟，不进则退。 增广贤文 译：学习要不断进取，不断努力，就像逆水行驶的小船，不努力向前，就只能向后退。 75.吾生也有涯，而知也无涯。 庄子 译：我的生命是有限的，而人类的知识是无限的。 76.天下兴亡，匹夫有责。 明顾炎武 译：国家的兴旺、衰败，每一个人都负有很大的责任。 77.生于忧患，死于安乐。 孟子 译：逆境能使人的意志得到磨炼，使人更坚强。相反，时常满足于享受，会使人不求上进而逐渐落后。 78.位卑未敢忘忧国。 陆游病起书怀 译：虽然自己地位低微，但是从

27、没忘掉忧国忧民的责任。 79.人生自古谁无死，留取丹心照汉青。 宋文天祥过零丁洋 译：自古以来，谁都难免会死的，那就把一片爱国的赤胆忠心留在史册上吧！ 80.先天下之忧而忧，后天下之乐而乐。 宋范仲淹岳阳楼记 译：为国家分忧时，比别人先，比别人急；享受幸福，快乐时，却让别人先，自己居后。知缘斋主人 81.小来思报国，不是爱封侯。 唐岑参关人赴安西 译：从小就想着报效祖国，而不是想着要封侯当官。） 82.有益国家之事虽死弗避。 明吕坤呻吟语卷上 译：对国家有利的事情要勇敢地去做，就算有死亡的危险也不躲避译：风声、雨声、琅琅读书声，都进入我们的耳朵，所以，作为一个读书人，家事、国事，天下的事情，各种事情都应该关心，不能只是死读书。 87.生当作人杰，死亦为鬼