工程数学形成性考核作业2答案

1、工程数学作业（第二次）（满分100分） 第3章线性方程组（一）单项选择题（每小题x1+2X21用消元法得2分，共16分）-4X3=1+x=0的解3x=23x1x.为（C）.Lx：tA.1,0,2，C.11,2,2，2线性方程组兀B.7,2,2D.11,2,2，+3兀3=2X3=6（B）3x+3x=423B.有唯一解C.无解D.只有零解+2x2A.有无穷多解卩申】.|0】.円3向量组,41.,|o,的秩为（A）.L1L1A.34设向量组为天1）是极大无关组.D.a15.A与A分别代表一个线性方程组的系数矩阵和增广矩阵，若这个方程组无解，则）（.A.秩（A）=秩（A）B.秩（A）秩（A）D.秩（A

2、）=秩（A）16若某个线性方程组相应的齐次线性方程组只有零解，则该线性方程组（A）可能无解B.有唯一解C.有无穷多解D.无解7以下结论正确的是（D）方程个数小于未知量个数的线性方程组一定有解方程个数等于未知量个数的线性方程组一定有唯一解方程个数大于未知量个数的线性方程组一定有无穷多解齐次线性方程组一定有解若向量组a1,a2，as线性相关，则向量组内（A）可被该向量组内其余向量线性表出.A.至少有一个向量B.没有一个向量C.至多有一个向量D.任何一个向量设A，B为n阶矩阵，九既是A又是B的特征值，x既是A又是B的属于九的特征向量，则结论）成立.A.C.10.A.九是AB的特征值B.九是A+B的特

3、征值九是AB的特征值D.x是A+B的属于九的特征向量设A,B,P为n阶矩阵，若等式(CAB=BAB.(AB)=ABC.）成立，贝y称a和b相似.PAP-1=BD.PAP=B填空题(每小题2分，共16分)1.当九=1时，齐次线性方程组仁+x=012=0有非零解.+x2向量组叫=【0,0,0,a2=【1,1,11线性相关.3.向量组【1,2,3,【1,2,0,【1,0,0,【0,0,0的秩是3.I=0，则这个方4设齐次线性方程组a1x1+a2x2+a3X3=0的系数行列式a1a2a3程组有无穷多解，且系数列向量a1,a2,a3是线性相关的.向量组勺=【1,0,a2=【0,1,a3=【0,0的极大线

4、性无关组是止向量组aa2,as的秩与矩阵【aa2,as的秩相同7设线性方程组AX=0中有5个未知量，且秩(A)=3,则其基础解系中线性无关的解向量有2个.8设线性方程组AX=b有解，X是它的一个特解，且AX=0的基础解系为X,X，012则AX=b的通解为X0+叫召+k2X2.9.若九是A的特征值，则九是方程|九I-A=0的根.若矩阵A满足A-1=A，则称A为正交矩阵.（三）解答题（第1小题9分，其余每小题11分）1.用消元法解线性方程组fx-3x-2x-x=6TOC o 1-5 h z123411（1）23解：九为何值时，方程组有唯一解?或有无穷多解?001九-11九九1-九1九2九22九一九

5、1九3（2+九）（1九）（1+九）（1九）2当九工1且九H2时，R(A)=R(A)=3,方程组有唯一解当X=1时，R(A)=R(A)=1，方程组有无穷多解L2L3L10解：L1向量卩能否由向量组a1；a2,a3线性表出，当且仅当方程组円这里A=1；a2,a3,卩=563110 xxx122012103333卩有解7_4110L01175711311LL1LL7LL3LL91=LL2,a2=LL8,a3=LL0,a4=LL6LL3LL9LL3LL3LL4LL13LL3LL613111311LL1LL2739LL0112806tL00018LL3933L0000LL41336LL0000R(A)主

6、R(A)方程组无解P不能由向Sx1；a2,a3线性表出4.计算下列向量组的秩，并且(1)判断该向量组是否线性相关解：2,a3,a41=1该向量组线性相关I 5求齐次线性方程组f1已-11xx-3x+x-2x=0+x-2x+3x=0+2x3-5x4=0123x+5x134+4x=04的一个基础解系解：111-5A=11-1321-3-14-115-14-2一7|-73-r+r呼+黃1rH12-7014T-r14251431-2114001400101-21210I12r3+r-r+rr23r2x=J13143方程组的一般解为卜=x12帀=1，得基础解系X4=06求下列

7、线性方程组的全部解.fx一5x+2x一3x=11-3xX1-x1+x2-4X-9x23+2X=-5-4x=17解：15x+3x+6x14-x1-52-3111-52-3115-r+r11-31-42-53r1r1+r3r210-142-7281421-r2+r3r2+r31-1-90-417-5r+r110-142-728r2rr2rr4rr-r1+r4tA=4J1一12-20O-9-刀一-70O6010031000_5rL,28-414-56方程组一般解为令x3=k1，x4=k2，这里k,k为任意常数，得方程组通解x373051431卜01014005口314-142412800 xL4一7

8、k+ik+】191厂1!k一7122k1k271921+k172210_0_1_+17.试证：任一4维向量卩=E，a2,a3,a4】都可由向量组1!一一1a2IMIMJa43aL1JT0000a2ax1a3a20a.a3430!0010!000L1J线性表示，且表示方式唯一，写出这种表示方式.证明：W=1任卩=4维向量可唯La4J10000+a10+a00+a023140L0JL0JL0JL1J表示为aa+a(aa)+a(aa)+a(aa)11221332443(a1a2)ax+(a?a3)a2+(aa4)a3+aa48.试证：线性方程组有解时，它有唯一解的充分必要条件是：相应的齐次线性方程组

9、只有零解.证明：设AXB为含n个未知量的线性方程组该方程组有解，即R(A)R(A)n从而AXB有唯一解当且仅当R(A)n而相应齐次线性方程组AX0只有零解的充分必要条件是R(A)nAXB有唯一解的充分必要条件是：相应的齐次线性方程组AX0只有零解9.设九是可逆矩阵A的特征值，且工0，试证：L是矩阵A-1的特征值.九证明：九是可逆矩阵A的特征值存在向量g，使Ag九gIg(A-1A)gA-1(Ag)A-1(Xg)九A-1ggA-1gg九即丄是矩阵A-1的特征值九一10用配方法将二次型fX2+X2+X2+X2+2x2xx2xx+2xx化为标准x123412242334型.解:f=(x+x)2+X2+X2一2xx一2xx+2xx=(x+x)2+X2+2x