方程和方程组迭代解法

1、关于方程与方程组的迭代解法第一张，PPT共七十二页，创作于2022年6月引言第二张，PPT共七十二页，创作于2022年6月6.1 方程求根法试探法与二分法迭代法及其收敛条件迭代法收敛速度加速收敛技术牛顿迭代法弦割法第三张，PPT共七十二页，创作于2022年6月6.1.1 试探法和二分法理论依据：第四张，PPT共七十二页，创作于2022年6月试探法第五张，PPT共七十二页，创作于2022年6月二分法（区间平分法） 第六张，PPT共七十二页，创作于2022年6月于是第七张，PPT共七十二页，创作于2022年6月求方程 f(x)=0的根的二分法算法第八张，PPT共七十二页，创作于2022年6月例题例

2、 设方程 解：取h=0.1,扫描得： 又 即 在 有唯一根。 第九张，PPT共七十二页，创作于2022年6月有根区间：1.300000000, 1.4000000001.300000000, 1.3500000001.300000000, 1.3250000001.312500000, 1.3250000001.318750000, 1.3250000001.321875000, 1.3250000001.323437500, 1.3250000001.324218750, 1.3250000001.324609375, 1.325000000 x1.32480f=3.6990*10(-4)第

3、十张，PPT共七十二页，创作于2022年6月6.1.2 迭代法及收敛性对于 有时可以写成 形式 如：第十一张，PPT共七十二页，创作于2022年6月迭代法及收敛性 考察方程 。这种方程是隐式方程，因而不能直接求出它的根，但如果给出根的某个猜测值 ， 代入 中的右端得到 ，再以 为一个猜测值，代入 的右端得 反复迭代得第十二张，PPT共七十二页，创作于2022年6月迭代法及收敛性 若 收敛， 即 故 是 的一个根第十三张，PPT共七十二页，创作于2022年6月迭代法的几何意义 交点的横坐标 y=x第十四张，PPT共七十二页，创作于2022年6月简单迭代法 将 变为另一种等价形式 。选取 的某一近

4、似值 ，则按递推关系 产生迭代序列 。这种方法称为简单迭代法。第十五张，PPT共七十二页，创作于2022年6月例题第十六张，PPT共七十二页，创作于2022年6月例题精确到小数点后五位第十七张，PPT共七十二页，创作于2022年6月例题但如果由 建立迭代公式 仍取 ，则有 ， 显然结果越来越大， 是发散序列第十八张，PPT共七十二页，创作于2022年6月迭代法的收敛性第十九张，PPT共七十二页，创作于2022年6月迭代收敛定理证明：不失一般性，不妨设 否则 为方程的根。首先证明根的存在性 令 第二十张，PPT共七十二页，创作于2022年6月迭代收敛定理 则 ， 即 由条件2） 是 上的连续函数

5、所以 是 上的连续函数。故由零点定理 在 上至少有一根第二十一张，PPT共七十二页，创作于2022年6月迭代收敛定理再证根的唯一性 设有 均为方程的根 则 因为 0L1 ，所以只可能 ， 即根是唯一的。第二十二张，PPT共七十二页，创作于2022年6月迭代收敛定理最后证迭代序列的收敛性 与n 无关，而0L1时，称为超线性收敛；当p=2时，称为平方收敛或二次收敛。迭代法p 阶收敛的充要条件是：迭代函数 满足第三十一张，PPT共七十二页，创作于2022年6月6.1.4 加速收敛技术第三十二张，PPT共七十二页，创作于2022年6月第三十三张，PPT共七十二页，创作于2022年6月6.1.5 New

6、ton迭代法第三十四张，PPT共七十二页，创作于2022年6月Newton迭代法去掉 的二次项，有：即以x1代替x0重复以上的过程，继续下去得：第三十五张，PPT共七十二页，创作于2022年6月Newton迭代法第三十六张，PPT共七十二页，创作于2022年6月Newton迭代法几何解释几何意义第三十七张，PPT共七十二页，创作于2022年6月例 用牛顿法求 的近似解。解：由零点定理：第三十八张，PPT共七十二页，创作于2022年6月例题例 用Newton法计算 解：第三十九张，PPT共七十二页，创作于2022年6月Newton迭代法算法框图第四十张，PPT共七十二页，创作于2022年6月Ne

7、wton迭代法算法第四十一张，PPT共七十二页，创作于2022年6月Newton迭代法收敛性定理 设函数 ，且满足 若初值 满足 时，由Newton法产生的序列收敛到 在a,b上的唯一根。第四十二张，PPT共七十二页，创作于2022年6月Newton迭代法收敛性证明： 根的存在性根的唯一性第四十三张，PPT共七十二页，创作于2022年6月Newton迭代法收敛性收敛性第四十四张，PPT共七十二页，创作于2022年6月Newton迭代法收敛性 第四十五张，PPT共七十二页，创作于2022年6月Newton迭代法收敛性第四十六张，PPT共七十二页，创作于2022年6月Newton迭代法收敛性推论

8、在定理条件下， Newton迭代法具有平方收敛速度。第四十七张，PPT共七十二页，创作于2022年6月Newton迭代法的变形第四十八张，PPT共七十二页，创作于2022年6月6.2.4 弦截法Newton迭代法有一个较强的要求是 且存在。因此，用弦的斜率 近似的替代 。 第四十九张，PPT共七十二页，创作于2022年6月弦截法令y=0,解得弦与x轴的交点是坐标x2第五十张，PPT共七十二页，创作于2022年6月弦截法第五十一张，PPT共七十二页，创作于2022年6月弦截法的几何解释第五十二张，PPT共七十二页，创作于2022年6月弦截法收敛定理第五十三张，PPT共七十二页，创作于2022年6

9、月6.2 线性方程组迭代解法 迭代法适用于系数矩阵为稀疏矩阵的方程组.基本迭代法基本迭代法的收敛条件第五十四张，PPT共七十二页，创作于2022年6月6.2.1 基本迭代法(Jacobi迭代法)第五十五张，PPT共七十二页，创作于2022年6月第五十六张，PPT共七十二页，创作于2022年6月6.2.1 基本迭代法(Seidel迭代法)第五十七张，PPT共七十二页，创作于2022年6月第五十八张，PPT共七十二页，创作于2022年6月6.2.1 基本迭代法(SOR迭代法)第五十九张，PPT共七十二页，创作于2022年6月6.2.2 基本迭代法收敛条件第六十张，PPT共七十二页，创作于2022年

10、6月迭代收敛定理第六十一张，PPT共七十二页，创作于2022年6月例6.4 判断求解AX=b的三种迭代法是否收敛，其中A为第六十二张，PPT共七十二页，创作于2022年6月第六十三张，PPT共七十二页，创作于2022年6月(2) A对称正定，但|2D-A|=0,说明2D-A不正定，故Jacobi迭代发散，02时SOR迭代收敛；(3) A为严格对角占优矩阵，故Jacobi迭代收敛，0=1时SOR迭代收敛；第六十四张，PPT共七十二页，创作于2022年6月第六十五张，PPT共七十二页，创作于2022年6月6.3 非线性代数方程组的迭代解法第六十六张，PPT共七十二页，创作于2022年6月6.3.1 简单迭代法第六十七张，PPT共七十二页，创作于2022年6月6.3.1 S