简谐振动的描述和波动要求

1、简谐振动的描述和波动要求1简谐振动的描述和波动要求目录第1章 振动第2章 波动第3章 光的干涉第4章 光的衍射第5章 光的偏振2简谐振动的描述和波动要求第1章 振动 1 简谐振动的描述 2 简谐振动的能量 3 阻尼振动与阻尼受迫振动 4 简谐振动的合成3简谐振动的描述和波动要求1 简谐振动的描述 一、简谐振动的判据 二、简谐振动的描述4简谐振动的描述和波动要求 机械振动： 物体位置在某一值附近来回往复的变化 广义振动： 一个物理量在某一定值附近往复变化 该物理量的运动形式称振动 物理量：等等5简谐振动的描述和波动要求共振(简谐振动） 振动受迫振动自由振动阻尼自由振动无阻尼自由振动无阻尼自由非谐

2、振动无阻尼自由谐振动振动的形式:6简谐振动的描述和波动要求重要的振动形式是 简谐振动(S.H.V.) simple harmonic vibration物理上：一般运动是多个简谐振动的合成数学上： 付氏级数 付氏积分也可以说 S.H.V.是振动的基本模型或说 振动的理论建立在S.H.V.的基础上注意：以机械振动为例说明振动的一般性质7简谐振动的描述和波动要求一、简谐振动的判据表征了系统的能量位移振幅最大位移由初始条件决定1.运动学表达式广义：振动的物理量弹簧谐振子特征量：8简谐振动的描述和波动要求位相 周相系统的周期性 固有的性质称固有频率圆频率相位初相位角频率 取决于时间零点的选择初位相频率

3、周期9简谐振动的描述和波动要求2. 动力学方程以弹簧谐振子为例设弹簧原长为坐标原点由牛顿第二定律令 简谐振动整理得10简谐振动的描述和波动要求例1 复摆（物理摆）的振动对比谐振动方程知：但若做小幅度摆动 即当由转动定律得动力学方程一般情况不是简谐振动时满足的方程：11简谐振动的描述和波动要求振动的物理量 固有圆频率角位移振动表达式对比12简谐振动的描述和波动要求思考:1)证明单摆小幅度摆动时的运动是简谐振动并求出振动的频率2）若令一单摆的频率与本例中的复摆的频率相等 单摆的摆长l应为多少？（此摆长l叫复摆的等值单摆长）13简谐振动的描述和波动要求例2 电磁震荡电路振动的物理量是电量电流也是谐振

4、物理量对比14简谐振动的描述和波动要求1）谐振动表达式从对象的运动规律出发（电学规律 力学规律等）S.H.V.的标准形式小结2）动力学方程 S. H. V. 的判据15简谐振动的描述和波动要求二、 简谐振动的描述1.解析描述16简谐振动的描述和波动要求均是作谐振动的物理量频率相同振幅的关系相位差超前 落后17简谐振动的描述和波动要求2.曲线描述18简谐振动的描述和波动要求3.旋转矢量描述用匀速圆周运动 几何地描述 S H V规定端点在x轴上的投影式逆时针转以角速度19简谐振动的描述和波动要求1） 直观地表达振动状态优点当振动系统确定了振幅以后表述振动的关键就是相位 即表达式中的余弦函数的综量而

5、旋转矢量图可直观地显示该综量分析解析式可知用图代替了文字的叙述20简谐振动的描述和波动要求如 文字叙述说 t 时刻弹簧振子质点 在正的端点旋矢与轴夹角为零 质点经二分之一振幅处向负方向运动意味意味21简谐振动的描述和波动要求质点过平衡位置向负方向运动同样 0向负方向运动 0 0 0或 0 向正向运动23简谐振动的描述和波动要求由图看出：速度超前位移加速度超前速度称两振动同相2） 方便地比较振动步调位移与加速度称两振动反相若24简谐振动的描述和波动要求3）方便计算用熟悉的圆周运动代替三角函数的运算例：质量为m的质点和劲度系数为k的弹簧 组成的弹簧谐振子 t = 0时 质点过平衡位置且向正方向运动

6、求：物体运动到负的二分之一振幅处时 所用的最短时间25简谐振动的描述和波动要求解：设 t 时刻到达末态由已知画出t = 0 时刻的旋矢图再画出末态的旋矢图由题意选蓝实线所示的位矢设始末态位矢夹角为因为得繁复的三角函数的运算用匀速圆周运动的一个运动关系求得26简谐振动的描述和波动要求2 简谐振动的能量 如 弹簧谐振子系统机械能守恒以弹簧原长为势能零点27简谐振动的描述和波动要求讨论1) 普适2) 时间平均值3) 由简谐振动能量求振动28简谐振动的描述和波动要求例 劲度系数为k的轻弹簧挂在质量为m半径为R的匀质圆柱体的对称轴上使之作无滑动的滚动证明：圆柱体的质心作谐振动 并求出谐振动的角频率 水平

7、面有时由谐振动能量求谐振动的特征量会更方便29简谐振动的描述和波动要求弹簧原长处为坐标原点设原点处为势能零点质心在xc时系统的机械能为 水平面解：分析振动系统机械能守恒 建坐标如图（注意上式中的是刚体转动的角速度）30简谐振动的描述和波动要求两边对t求导数得将代入上式得31简谐振动的描述和波动要求与动力学方程比较知 物理量xc的 运动形式是谐振动方便圆频率周期32简谐振动的描述和波动要求3 阻尼振动与阻尼受迫振动 一、 阻尼振动 二、受迫振动 三、共振 33简谐振动的描述和波动要求一、 阻尼振动 1.阻尼振动 系统在振动过程中 受到粘性阻力作用后 能量将随时间逐渐衰减 系统受的粘性阻力与速率成

8、正比 比例系数 叫阻力系数 关系式为: 34简谐振动的描述和波动要求令称阻尼因子系统固有频率2.阻尼振动的动力学方程由牛顿第二定律有整理得式中35简谐振动的描述和波动要求如果无阻尼是谐振动的形式存在阻尼仍振动但能量会衰减如果能振动起来（欠阻尼情况）上述方程的解是什么形式呢？从物理上考虑：阻尼振动方程为3.振动表达式36简谐振动的描述和波动要求所以 解的形式必定是在谐振动的基础上乘上一衰减因子即形式为：可以证明：37简谐振动的描述和波动要求过阻尼临界阻尼欠阻尼xt0三种阻尼振动过阻尼：临界阻尼：欠阻尼：38简谐振动的描述和波动要求二 、受迫振动 1.受迫振动振动系统在外界驱动力的作用下维持等幅振

9、动 2.受迫振动的动力学方程 设驱动力按余弦规律变化 即由牛顿第二定律有39简谐振动的描述和波动要求整理得其中固有频率阻尼因子40简谐振动的描述和波动要求3.稳定状态的振动表达式 受迫振动系统达到稳定时 应做与驱动力频率相同的谐振动 其表达式为：用旋矢法可求出上式的A和41简谐振动的描述和波动要求42简谐振动的描述和波动要求画任意时刻旋矢图由旋矢图可知：得驱动力初相为零位移与驱动力的相位差43简谐振动的描述和波动要求在弱阻尼即 0的情况下系统的振动速度和振幅都达到最大值 共振当 = 0时三、共振 共振现象普遍有利有弊160年前 拿破仑入侵西班牙 桥塌几十年后 圣彼德堡卡坦卡河1940年 美国

10、桥 大风 流速44简谐振动的描述和波动要求小号发出的波足以把玻璃杯振碎45简谐振动的描述和波动要求1940年华盛顿的塔科曼大桥建成同年7月的一场大风引起桥的共振 桥被摧毁46简谐振动的描述和波动要求4 简谐振动的合成一、两个振动方向相同 S.H.V.的合成二、N个振动方向相同 S.H.V.的合成三、 拍四、 两个垂直方向谐振动的合成五、谐振分析47简谐振动的描述和波动要求 当一个物体同时参与几个谐振动时 就需考虑振动的合成问题 本节只讨论满足线性叠加的情况 本节所讨论的同频率的谐振动合成结果 是波的干涉和偏振光干涉的重要基础 本节所讨论的不同频率的谐振动合成结果 可以给出重要的实际应用48简谐

11、振动的描述和波动要求一、振动方向相同 振动频率相同的 两个SHV的合成线性叠加结果：仍是谐振动振动频率仍是振动的振幅（双光束干涉的理论基础）49简谐振动的描述和波动要求 若反相 合振动减弱同相 合振动加强特殊结果： 若 若两振动同相两振动反相可能的最强振动“振动加振动”不振动50简谐振动的描述和波动要求二、 振动方向相同 振动频率相同 振幅相同 相邻相位差相同 的N个SHV的合成 51简谐振动的描述和波动要求线性相加用旋矢法求解由图得52简谐振动的描述和波动要求一般情况特例1）主极大2）的倍数的整数极小53简谐振动的描述和波动要求3）次极大（多光束干涉的理论基础）特例1）主极大2）的倍数的整数

12、极小54简谐振动的描述和波动要求例：三个同频率 同振幅A0 同方向的SHV相邻相位差为 /2 求：合振幅A解：画旋矢图/3/3由图很容易得到 A = 2A0或将已知条件代入公式得出结果（请自解）55简谐振动的描述和波动要求三、 振动方向相同 频率略有差别的 振幅相等的 两个SHV的合成 拍分振动：线性相加：结论： 合成已不再是谐振动 但考虑到 1 2 可以用 谐振动表达式等效 加深认识56简谐振动的描述和波动要求分析：则较随时间变化缓慢将合成式写成谐振动形式57简谐振动的描述和波动要求合振动可看做是振幅缓变的谐振动合成振动如图示表达式为58简谐振动的描述和波动要求 拍 合振动的周期性的强弱变化

13、叫做拍 拍频 单位时间内合振动加强或减弱的次数叫拍频测未知频率的一种方法由式得59简谐振动的描述和波动要求四、两个垂直方向谐振动的合成1. 同频率的谐振动合成线性相加：轨迹方程是椭圆即 合成的一般结果是椭圆60简谐振动的描述和波动要求不同 椭圆形状、旋向也不同 = = 3/2 = 5/4 = 7/4 = /2 = /4PQ = 0yx = 3/4（-3/4）（-/2）（-/4）61简谐振动的描述和波动要求例1 用旋矢法作图右旋62简谐振动的描述和波动要求a)SHVb)振动方向旋转c)正椭圆若（偏振光干涉的理论基础）例2 特殊结果圆63简谐振动的描述和波动要求 2.频率比是简单的正整数合成轨迹为稳定的闭合曲线李萨如图 yxA1A20-A2- A1 例如左图：应用：测定未知频率64简谐振动的描述和波动要求五、谐振分析 利用付里叶分解 可将任意振动分解成若干SHV的叠加(合成