常见离散型随机变量分布列示例

1、- -常见随机事件的概率与分布列示例1、耗用子弹数的分布列例某射手有5发子弹，射击一次命中概率为0.9,如果命中就停止射击，否则一直到子弹用尽，求耗用子弹数的分布列.分析：确定取哪些值以及各值所代表的随机事件概率，分布列即获得.解：本题要求我们给出耗用子弹数的概率分布列.我们知道只有5发子弹，所以的取值只有1,2,3,4,5.当=1时，即P(=1)=0.9；当=2时，要求第一次没射中，第二次射中，故P(=2)=0.1,0.9=0.09；同理，=3时，要求前两次没有射中，第三次射中，P(-3)=0.12x0.9=0.009；类似地，P(=4)=0.13x0.9=0.0009；第5次射击不同，只要

2、前四次射不中，都要射第5发子弹，也不考虑是否射中，所以P(=5)二0.14,所以耗用子弹数的分布列为：0123P0.90.090.0090.0001说明：搞清=5的含义，防止这步出错.=5时，可分两种情况：一是前4发都没射中，恰第5发射中，概率为0.14X0.9；二是这5发都没射中，概率为0.15,所以，P(=5)二0.14x0.9+0.15.当然，=5还有一种算法：即P(=5)=1(0.9+0.09+0.009+0.0009)=0.0001.2、独立重复试验某事件发生偶数次的概率例如果在一次试验中，某事件人发生的概率为p,那么在n次独立重复试验中，这件事A发生偶数次的概率为.分析：发生事件A

3、的次数b6,p)，所以，p(=k)=Ckpkqn-k,(q=1p,k=0,1,2,n)其中的k取偶数0,2,4,时，为二项式n(p+q)n展开式的奇数项的和，由此入手，可获结论.q+p)n+(q_p)n=21+(1_2p)n解：由题，因为,bC,p）且,取不同值时事件互斥，所以，P=P(,=0)+P(,=2)+P(,=4)H=C0p0qn+C2p2qn_2+C4p4qn4H=nnn(因为p+q=1,所以qp=1_2p)说明：如何获得二项展开式中的偶数次的和？这需要抓住（q+p）n与（qp）n展开式的特点：联系与区分，从而达到去除P奇次，留下p偶次的目的.3、根据分布列求随机变量组合的分布列例已

4、知随机变量,的分布列为,-2-10123134121212121212分别求出随机变量叮,巴丸2的分布列- #- #-于不同的y1=T,y2=0,y4，y5=1,y6- #- -所以n的分布列为1112n-1021312p134121121212121212n=,2对于,的不同取值一2,2值的概率应是,取一2与2值的概率2及一1,1，n分别取相同的值4与1，即n取4这个2212匕“与“合并的结果，n取1这个值的概率就是,取一112122与1值的概率3与1合并的结果，故n的分布列为1212204121412 HYPERLINK l bookmark5449 HYPERLINK l bookmar

5、k5231 HYPERLINK l bookmark341212说明：在得到的n1或匕的分布列中，n1或匕的取值行中无重复数，概率得中各项必须非负，且各项之和一定等于1.4、成功咨询人数的分布列3例某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为，某班3名同学商定明天分别就同一4问题询问该服务中心.且每人只拨打一次，求他们中成功咨询的人数的分布列.分析：3个人各做一次试验，看成三次独立重复试验，拨通这一电话的人数即为事件的发生次数，故符合二项分布./3、(3k(1、3-k解:由题：B3,4,，所以p(=k)=C4丿4丿,k=0,1,2,3，分布列为o123p19272764646464说明：关键是理解二

6、项分布的特点：即某同一事件，在n次独立重复实验中，以事件发生的次数为随机变量.5、盒中球上标数于5关系的概率分布列例盒中装有大小相等的球10个，编号分别为0，1，2，9，从中任取1个,观察号码是“小于5”“等于5”“大于5”三类情况之一.规定一个随机变量，并求其概率分布列.分析：要求其概率的分布列可以先求个小球所对应的概率.解：分别用x,x,x表示题设中的三类情况的结果：x表示“小于5”的情况，x表示TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark9812312“等于5”的情况，x表示“大于5”的情况.3设随机变量为,它可能取的值为x,x,x,取每个值的概率为123P(=x

7、)=P(取出的球号码小于5)=，10P(=x)=P(取出的球号码等于5)=1，104P(=x3)=P(取出的球号码大于5)=103故的分布列为10 xxx12p1122105小结：分布列是我们进一步解决随机变量有关问题的基础，因此准确写出随机变量的分布列是很重要的，但是我们不能保证它的准确性，这时我们要注意运算的准确性外，还可以利用工p1进行检验.ii16、求随机变量的分布列例一袋中装有5只球，编号为1,2,3,4,5,在袋中同时取3只，以，表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量，的分布列.分析：由于任取三个球，就不是任意排列，而要有固定的顺序，其中球上的最大号码只有可能是3,4,5,可以

8、利用组合的方法计算其概率.解：随机变量，的取值为3,4,5.当,=3时，即取出的三只球中最大号码为3,则其他二球的编号只能是1,2,故有陀=3）=C25110- #-当,=4时，即取出的三只球中最大号码为4,则其他二球只能在编号为1,2,3的3球中取2个，故有P（,4）C25310- -当,=5时，即取出的三只球中最大号码为5,则其他二球只能在编号为1,2,3,4的4球中取2个，故有P（,=5）=C25610因此，,的分布列为TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark0,345136P HYPERLINK l bookmark58101010说明：对于随机变量,取值较

9、多或无穷多时，应由简单情况先导出一般的通式，从而简化过程.7、取得合格品以前已取出的不合格品数的分布列例一批零件中有9个合格品与3个不合格品.安装机器时，从这批零件中任取一个.如果每次取出的不合格品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的不合格品数的分布列.分析：取出不合格品数的可能值是0，1，2，3,从而确定确定随机变量的可能值.解：以表示在取得合格品以前取出的不合格品数，则是一个随机变量，由题设可能取的数值是0,1,2,3.当=0时，即第一次就取到合格品，其概率为- #-3陀，0),12,0-750;当=1时,即第一次取得不合格品，不放回，而第二次就取得合格品,其概率为- #- #-39陀，

10、1),1211。.204；当=2时,即第一、二次取得不合格品，不放回，第三次取得合格品,其概率为- #- #-29陀，2)，1211110-041；当=3时,即第一、三次均取得不合格品，而第四次取得合格品,其概率为3陀，3），1221119沁0.005.109- #- #-所以的分布列为0.7500.2040.0410.005- #- -说明：一般分布列的求法分三步：（1）首先确定随机变量的取值哟哪些；（2）求出每种取值下的随机事件的概率；（3）列表对应，即为分布列.8、关于取球的随机变量的值和概率例袋中有1个红球，2个白球，3个黑球，现从中任取一球观察其颜色.确定这个随机试验中的随机变量，并指出在这个随机试验中随机变量可能取的值及取每个值的概率.分析：随机变量变量是表示随机试验结果的变量，随机变量的可能取值是随机试验的所有可能的结果组成.解：设集合M，x,x,x,其中x为“取到的球为红色的球”x为“取到的球为白12312色的球”x为“取到的球为黑色的球”3我们规定：，（x）=i（i=1,2,3），即当x=x时，（兀），