三次函数的三大性质初探

1、2 2 初探随着导数内容进入新教材，函数的研究范围也随之扩大，用导数的方法研究三次函数的性质，不仅方便实用，而且三次函数的性质变得十分明朗，本文给出三次函数的三大主要性质.1单调性三次函数f(x)ax3bx2cxd(a0),若b23ac0,则f(x)在(上为增函数；若b23ac0,则f(x)在(x)和W上为增函数，f(x)在/、.bJb23ac.bJb23ac(x,x)上为减函数，其中x,x.1213a23a证明f(x)3ax22bxc,=4b212ac4(b23ac)，当0即b23ac0时，广(x)O在R上恒成立，即f(x)在(为增函数.当O即b23ac0时，解方程f(x)0，得b、；b23

2、acbb23acx,x13a23af(x),0 xx或xxf(x)在(x)和(x,)上为增函数.1212f(x)0 xxxf(x)在(x,x)上为减函数.1212由上易知以下结论：三次函数f(x)ax3bx2cxd(a,0),(1)若b23ac0，则f(x)在R上无极值；若b23ac0，则f(x)在R上有两个极值；且f(x)在xxi处取得极大值，在xx处取得极小值. 0 2根的性质三次函数f(x)ax3bx2cxd(a0)若b2Mac0,则f(x)O恰有一个实根；若b23ac0,且f(x)f(x2)O,则f(x)O恰有一个实根；若b23ac0,且f(X)f(x2)O,则f(x)O有两个不相等的

3、实根;若b23ac0,且f(x)f(x2)O,则f(x)O有三个不相等的实根.证明(1)(2)f(x)O含有一个实根的充要条件是曲线yf(x)与X轴只相交一次，即f(x)在R上为单调函数或两极值同号，所以b23acO或b23acO，且f(x)f(x)O.12f(x)O有两个相异实根的充要条件是曲线yf(x)与X轴有两个公共点且其中之一为切点，所以b23acO，且f(x)(x)O.12(4)f(x)O有三个不相等的实根的充要条件是曲线yf(x)与X轴有三个公共点，即f(x)有一个极大值，一个极小值，且两极值异号所以b23acO且f(x)f(x)O.由上易得以下结论：12三f(x)ax3bx2cx

4、d(aO)在m,上恒正的充要条件是f(m)O(m三x2),或f(m)O且f(x?)O(mx2).3对称性三次函数f(x)ax3bx2cxd(aO)的图象关于点,f(畤)对称，并且f(x)在x处取得最小值，其图象关于直3a3a线x对称.3abb2bb证1f(x)ax3bx2cxda(x)3(c)(x)f()3a3a3a3a易知g(x)ax3(c|2)x是奇函数，图象关于原点对称，贝f(x)关于点3ab,f()对称.3af(x)3ax2,2bxc，a0当xL时，f(x)取得最小值，显3a然yf(x)图象关于x：对称.3a证2设yf(x)的图象关于点(m,n)对称，任取yf(x)图象上点A(x,y)

5、,则A关于(m,n)的对称点A(2mx,2ny)也在yf(x)图象上2nya(2mx)3b(2mx)2c(2mx)d,yax3(6mab)x2B(12m2a4mbc)x(8m3aB4m2b2mcd2m)mabbc12m2a,4mbcab8m3a,4m2b,2mbd2n)*f(七)由上又可得以下结论：yf(x)是可导函数，若yf(x)的图象关于点(m,n)对称，则yf(x)图象关于直线xm对称.证明yf(x)的图象关于(m,n)对称，则f(x)f(2mx)2n,f(x)limf(x啟)f(x)0f(2mx)limf(2mx)f(2mx)lim2n町(x皿)叫f(x)0 x0limf(x)町(x)f(x)yf(x)图象关于直线xm对称.若yf(x)图象关于直线xm对称，则yf(x)图象关于点(m,0)对称.证明yf(x)图象关于直线xm对称，则f(x)f(2mx),f(x)limf(xMk)(x)TOC o 1-5 h z0f(2mx)limf(2mE)f(2mx)0li