概率和统计基础

1、关于概率与统计基础第一张，PPT共九十八页，创作于2022年6月 一 随机变量与分布函数1、随机试验满足条件:（1）可在相同的条件下重复进行；（2）试验结果不止一个,但事先能明确所有的结果；（3）试验前不能预知哪一个结果出现的实验称为随机实验。用 E 表示。2、样本空间随机试验E 所有可能的结果组成的集合称为样本空间记为 =e试验的每个可能结果称为样本点。3、随机事件满足某些条件的样本点所组成的集合（为 的子集）,常用大写字母A、B、C表示，组成随机事件的一个样本点发生称为随机事件发生。第二张，PPT共九十八页，创作于2022年6月2例1：E1随机试验：抛一枚硬币，观察正面、反面了出现的情况。

2、 样本空间 1：H，T； E：将一枚硬币抛掷三次，观察正面H、反面T出现的情况。 2：HHH，HHT，HTH，THH，HTT，THT，TTH，TTT； E：将一枚硬币抛掷三次，观察出现正面的次数。 3：0，1，2，3； E：抛一颗骰子，观察出现的点数。 4：1，2，3，4，5，6； E：记录某城市120急救电话台一昼夜接到的呼唤次数。 5：0，l，2，3，； E：在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。 6：tt0； E：记录某地一昼夜的最高温度和最低温度。 7：(x，y) T0 xyT1，这里x示最低温度，y表示最高温度，并设这一地区的温度不会小于To，也不会大于T1。第三张，PPT共九十八

3、页，创作于2022年6月3在相同的条件下，进行了n次试验，在这n次试验中，事件A发生的次数nA称为事件A发生的频数。比值nA n称为事件A发生的频率，并记成n(A)。4 概率对于一个随机事件A (除必然事件和不可能事件外)来说，它在一次试验中可能发生，也可能不发生。我们希望知道的是事件在一次试验中发生的可能性。用一个数P(A)来表示该事件发生的可能性大小，这个数P(A)就称为随机事件A的概率。我们希望找到一个数来表示P(A)。严格定义应用公理化三条件非负性、归一性和可列可加性。频率当n足够大时， n(A )P(A)第四张，PPT共九十八页，创作于2022年6月4 5、随机变量随机变量是定义在样

4、本空间记上的一个单值函数，用来表示随机现象的结果的变量。常用大写字母X、Y表示，随机变量的取值具有随机性，随机变量的取值有一定的概率（按一定的概率取某个值 ）。样本空间上可以定义多个随机变量。随机变量分为离散和连续随机变量。用掷硬币10次来说明上述概念掷硬币为随机实验， =正面，反面为样本空间.正面朝上的次数可以定义为随机变量。6次正面朝上一个随机事件A。在所有的实验中，出现6次朝上事件的频率为A 的概率也可以将硬币朝向作为随机变量X：正面朝上X=1，否则X=0第五张，PPT共九十八页，创作于2022年6月5概率的重要性质第六张，PPT共九十八页，创作于2022年6月6概率的重要性质第七张，P

5、PT共九十八页，创作于2022年6月76、条件概率 在事件A 发生的条件下事件B 发生的概率称为条件概率，记为满足可列可加性：设B1 ，B2 ， 两两互不相容的事件，即对于ij, BiBj= , i,j=1,2, ,则有第八张，PPT共九十八页，创作于2022年6月8B1BnAB1AB2ABn全概率公式ABayes公式 全概率公式与Bayes 公式B2第九张，PPT共九十八页，创作于2022年6月9 6 一维随机变量分布函数 对于离散的 随机变量X, x1，x2，xk是X的所有取值，则X的概率分布列（也称概率分布）为：设 X为随机变量, 则对于任意实数x称为X 的分布函数，对离散型随机变量，采

6、用累加的方法求其分布函数，有公式：Xx1x2xkpp(x1)p(xk)第十张，PPT共九十八页，创作于2022年6月10 对连续型随机变量，其分布函数公式：非负可积函数 是它的概率密度函数右图几何意义，F(x)为阴影部分的面积yyxF ( x )x第十一张，PPT共九十八页，创作于2022年6月11分布函数的性质 F ( x ) 单调不减，即 且 F ( x ) 右连续，即第十二张，PPT共九十八页，创作于2022年6月12 7 二维随机变量的分布函数设( X , Y ) 为二维随机变量, ( x , y )为任一对实数，称函数称为二维随机变量( X ,Y ) 的分布函数，也称为X和Y的联合分

7、布函数，对离散型随机变量，其联合分布函数公式：对连续型随机变量，其联合分布函数公式：定义函数：为X关于Y的边缘分布函数，同理第十三张，PPT共九十八页，创作于2022年6月13对离散型随机变量，称对连续型随机变量，关于X和关于Y的边缘概率密度为：8、条件概率函数关于X的边缘分布律为为变量(X,Y)的联合概率分布，也称变量(X,Y)的联合分布律同样关于Y的的边缘分布律对离散型随机变量(X,Y)，称为在 X = xi 的条件下,Y 的条件分布律第十四张，PPT共九十八页，创作于2022年6月14对连续型随机变量(X,Y)，在X = x的条件下Y 的条件概率密度为在Y = y的条件下X的条件概率密度

8、在Y = y的条件下X的条件分布函数在X = x的条件下Y 的条件分布函数第十五张，PPT共九十八页，创作于2022年6月159、相互独立的随机变量 设( X , Y ) 为二维随机变量，对于任意实数 x , y ，有则称随机变量 X 和Y 是相互独立的X 和Y 是相互独立随机变量与下列条件等价对于连续的随机变量，X 和Y 是相互独立与下列条件等价如果二维随机变量( X , Y ) 相互独立，则有的第十六张，PPT共九十八页，创作于2022年6月16 二 随机变量的数字特征1. 一维随机变量数学期望对连续型随机变量，其数学期望公式：对离散型随机变量，其数学期望公式：其中2.一维随机变量方差随机

9、变量 X 的方差为Var(X)=D (X ) = E X - E(X)2称为均方差与标准差第十七张，PPT共九十八页，创作于2022年6月17对连续型随机变量，其方差公式：对离散型随机变量，其方差公式：有公式第十八张，PPT共九十八页，创作于2022年6月18设( X , Y ) 为二维随机变量，对离散型随机变量，其数学期望为：3 二维随机变量的数字特征：对连续型随机变量，其数学期望为：离散和连续型随机变量的方差为：第十九张，PPT共九十八页，创作于2022年6月19数学期望和方差的性质：如果X 和Y 是相互独立随机变量，则有对于n个独立的随机变量，有第二十张，PPT共九十八页，创作于2022

10、年6月20随机变量X和 Y 的协方差为：4 协方差与相关系数：离散和连续型随机变量的协方差表达式为：协方差性质a,b为任意常数如果X 和Y 是相互独立，则第二十一张，PPT共九十八页，创作于2022年6月21为X和 Y 的相关系数相关系数：即存在常数a 和b， a0，使得P(Y = aX + b)=1无量纲 的量相关系数的性质2）若则X和Y 不相关(线性)1）3）若则X和Y完全线性相关，既（X,Y）的协方差矩阵为：第二十二张，PPT共九十八页，创作于2022年6月225. 偏度与峰度 X 的 k 阶原点矩 X 的 k 阶中心矩偏度（Skewness） 公式如下 峰度（Kurtosis）公式如下

11、 偏度衡量X围绕均值是否对称，峰度衡量凸起或平坦程度S0表示右偏（右拖尾）， S3，凸起大于正态分布，K x) =P ( X2性质2：的点 为F分布的上分位点.F 分布的分位点。设 称F分布的上分位点图形如右图.可以通过查表得到第三十六张，PPT共九十八页，创作于2022年6月36 在统计学中,将我们研究的问题所涉及的对象的全体称为总体,而把总体中的每个成员称为个体. 例如:我们想要研究一家工厂的某种产品的废品率.这种产品的全体就是我们的总体,而每件产品则是个体.从总体中抽取的一部分个体，称为总体的一个样本；样本中个体的个数称为样本的容量。X1,X2, ,Xn 称为从总体X得到的容量为n的随机

12、样本，简称样本。一次具体的抽取记录 x1, x2, , xn是随机变量，X1, X2, ,Xn的一个观察值,成为样本值定义：来自总体X的样本X1,X2, ,Xn的函数g (X1, X2, , Xn) ，若是连续的且不含任何未知参数，则称为一个统计量四、样本与抽样总体、个体、样本、样本容量、样本值第三十七张，PPT共九十八页，创作于2022年6月37统计量1、常用的统计量设X1,X2, ,Xn是来自总体X的一个样本， x1, x2, xn 是这一样本的观测值，定义（1）样本均值(2)样本方差样本标准差第三十八张，PPT共九十八页，创作于2022年6月38常用的统计量(3)样本 k 阶原点矩(4)

13、样本 k 阶中心矩并称他们相应的观测值 k=1,2,仍分别为: 样本均值、样本方差、样本标准差、样本 k 阶原点矩、样本 k 阶中心矩. 第三十九张，PPT共九十八页，创作于2022年6月392、常用统计量的性质设X1,X2, ,Xn是来自总体X的容量为n一个样本，若 X 有期望 EX= 和方差var(X) =DX = 2,如果样本的二阶矩存在，则有2）1）第四十张，PPT共九十八页，创作于2022年6月403、正态总体的样本均值与样本方差的分布2）前面证明的性质1 EX= ，var(X) =DX = 2,可得， （1）和（3）证明比较复杂，（见浙江大学概率论与数理统计P172,通过做正交变化

14、降阶)第四十一张，PPT共九十八页，创作于2022年6月413、正态总体的样本均值与样本方差的分布证明：由性质2 ，由性质3根据t分布的定义第四十二张，PPT共九十八页，创作于2022年6月42两个正态总体样本的抽样分布的相互独立的简单随机样本.设与分别是来自正态总体与设分别是两个样本的均值是两个样本的方差则有当时定理3第四十三张，PPT共九十八页，创作于2022年6月43参数估计总体分布的未知参数的估计总体分布的参数往往是未知的,需要通过样本来估计.通过样本来估计总体的参数,称为参数估计,它是统计推断的一种重要形式.参数估计问题的一般提法X1, X2 , , Xn要依据该样本对参数 作出估计

15、，或估计的某个已知函数 。这类问题称为参数估计。设有一个统计总体，总体的分布函数为 F(x, )其中 为未知参数( 可以是向量)现从该总体抽样，得样本第四十四张，PPT共九十八页，创作于2022年6月44点估计矩估计法 用样本炬替代总体炬 极大似然法 最小二乘法第四十五张，PPT共九十八页，创作于2022年6月45估计量的评选标准（1）无偏性（2）有效性（3）一致性第四十六张，PPT共九十八页，创作于2022年6月假设检验参数假设检验非参数假设检验总体分布未知时的假设检验问题 在本讲中，我们将讨论不同于参数估计的另一类重要的统计推断问题. 这就是根据样本的信息检验关于总体的某个假设是否正确.这

16、类问题称作假设检验问题 .五、假设检验总体均值, 均值差的检验总体方差, 方差比的检验分布拟合检验符号检验秩和检验总体分布已知，检验关于未知参数的某个假设1.假设检验的原理第四十七张，PPT共九十八页，创作于2022年6月47 假设检验的两类错误P拒绝H0|H0为真= ,P接受H0|H0不真= . 犯两类错误的概率:显著性水平 为犯第一类错误的概率.H0为真实际情况决定拒绝H0接受H0H0不真第一类错误正确正确第二类错误通常控制犯第一类错误的概率.一般事先选定一个数,(01),要求犯第一类错误的概率., 为假设检验的显著性水平，通常只讨论犯第一类错误的概率第四十八张，PPT共九十八页，创作于2

17、022年6月481.假设检验的步骤（1）提出二择一的假设H0（往往与试验目的相反）与H1(往往是欲得到的结论）；（2）给定显著水平（小概率 ）；（3）在H0成立下，收集数据，寻找检验统计量（如正态,t,F），由统计量的分布，可计算各种取值的概率；（4）找出小概率发生的临界值；给出拒绝域形式（5）将样本值和H0代入检验统计量进行计算；（6）将计算结果与临界值比较，若大于临界值，小概率事件发生，根据小概率原理，在一次试验中小概率事件是不会发生的。现在，居然发生了。错在哪里？（7）原来是假设H0错了，因为一切都是在H0成立下推证的。于是拒绝H0。否则，不拒绝H0。第四十九张，PPT共九十八页，创作于

18、2022年6月49假设检验 (三部曲) 其中双边检验左边检验确定拒绝域 . 计算,并作出相应判断.右边检验 根据实际问题建立假设 与 . 在 为真时,选择合适统计量V ,由称为显著水平为临界值第五十张，PPT共九十八页，创作于2022年6月502.正态总体的参数检验一、单个正态总体N(,2)均值的检验H0 : 0 ； H1 : 01）关于 的检验设X1,X2, ,Xn为来自总体N(,2)的样本.求:对以上假设的显著性水平=的假设检验.在方差2已知的情况当原假设 H0: 0 为真时统计量 第五十一张，PPT共九十八页，创作于2022年6月51给定小概率，查表得：U 检验法若小概率发生，拒绝原假设

19、 H0: 0 ，所以原假设的拒绝域为计算 当拒绝假设 H0: 0，接受H0: 0，第五十二张，PPT共九十八页，创作于2022年6月52 0 0 0 0 0U 检验法 (2 已知)原假设 H0备择假设 H1检验统计量及其H0为真时的分布拒绝域右则检验左则检验第五十三张，PPT共九十八页，创作于2022年6月532.正态总体的参数检验当方差2未知时当假设 H0: 0 为真时由样本方差S2代替2，根据抽样分布性质有给定小概率，查表得： ，当小概率发生，拒绝原假设 H0: 0 ，接受假设H1既时第五十四张，PPT共九十八页，创作于2022年6月54T 检验法 (2 未知)T 检验法 0 0 0 0

20、0原假设 H0备择假设 H1检验统计量及其H0为真时的分布拒绝域第五十五张，PPT共九十八页，创作于2022年6月55算例 某种元件的寿命X(以小时计)服从正态分布T没有落在拒绝域中，顾接受假设 H0，认为平均寿命不大于225小时根据样本计算和查表得：解 按题意需检验 H0: 0225, H1: 0 225取0.05，现n16, 已知 由表知均未知，现测得16只元件的寿命如下：159 280 101 212 224 379 179 264 222 362 168 250 149 260 485 170 文师傅有理由认为元件的平均寿命大于225（小时） 第五十六张，PPT共九十八页，创作于202

21、2年6月562）关于方差2 的检验设X1,X2, ,Xn为来自总体N(,2)的样本.求以下假设显著性水平的假设检验.当原假设 为真时检验利用样本方差是2的一个无偏估计得给定，当出现时拒绝假设，为方便起见，取假设 的拒绝域为第五十七张，PPT共九十八页，创作于2022年6月57 2 02 2 02 2 02 2 02 2 02 2= 02 2 02原假设 H0备择假设 H1检验统计量及其在H0为真时的分布拒绝域( 未知)( 未知情况下 2 的检验)第五十九张，PPT共九十八页，创作于2022年6月59一、两个正态总体N(,2) 的参数检验设 X N ( 1 1 2 ), Y N ( 2 2 2

22、) ，两样本 X , Y 相互独立, 样本 (X1, X2 , Xn ), ( Y1, Y2 , Ym ) 样本值 ( x1, x2 , xn ), ( y1, y2 , ym )显著性水平 H0 : 1 2 ； H1 : 2检验假设当H0: 1= 2为真时 拒绝域为 第六十张，PPT共九十八页，创作于2022年6月601 2 = ( 12，22 已知)(1) 关于均值差 1 2 的检验1 2 1 2 1 2 1 2 原假设 H0备择假设 H1检验统计量及其在H0为真时的分布拒绝域第六十一张，PPT共九十八页，创作于2022年6月611 2 = 1 2 1 2 1 2 1 2 其中12, 22

23、未知12 = 22原假设 H0备择假设 H1检验统计量及其在H0为真时的分布拒绝域第六十二张，PPT共九十八页，创作于2022年6月62 12 = 22 12 22 12 22 12 22 12 22 12 22(2) 关于方差比 12 / 22 的检验1, 2 均未知原假设 H0备择假设 H1检验统计量及其在H0为真时的分布拒绝域第六十三张，PPT共九十八页，创作于2022年6月63参数的点估计利用给定样本观察值，算出参数的估计值。但用点估计的方法得到的估计值不一定是参数的真值，即使与真值相等也无法肯定这种相等（因为总体参数本身是未知的），也就是说，由点估计得到的参数估计值没有给出它与真值之

24、间的可靠程度(精度)，在实际应用中往往还需要知道参数的估计值落在其真值附近的一个范围。为此我们要求由样本构造一个以较大的概率包含真实参数的一个范围或区间，这种带有概率的区间称为置信区间，通过构造一个置信区间对未知参数进行估计的方法称为区间估计。 六、区间估计第六十四张，PPT共九十八页，创作于2022年6月641、置信区间定义：满足设 是 一个待估参数，给定 若由样本X1,X2,Xn确定的两个统计量则称区间 是 的置信度（置信概率,置信水平）为 的双侧置信区间.分别称为置信下限和置信上限. 作区间估计, 就是要设法找出两个只依赖于样本置信上下限置信区间是以统计量为端点的随机区间，希望 区间 包

25、含参数真值 的概率达到指定的要求.第六十五张，PPT共九十八页，创作于2022年6月652. 估计的精度要尽可能的高. 如要求区间长度 尽可能短，或能体现该要求的其它准则.1. 要求 以很大的可能被包含在区间 内，就是说，概率 要尽可能大.即要求估计尽量可靠. 可靠度与精度是一对矛盾，一般是在保证可靠度的条件下尽可能提高精度.处理可靠性与精度的原则求参数置信区间先再保证可靠性提高精度第六十六张，PPT共九十八页，创作于2022年6月662、置信区间的求法方差 2已知, 的置信水平(度)为1-置信区间为：(1) 一个正态总体 XN ( 2) 的情形由由确定解得到（1）式第六十七张，PPT共九十八

26、页，创作于2022年6月67(2)方差 2未知 , 的置信区间 由确定故 的置信区间为第六十八张，PPT共九十八页，创作于2022年6月68(3)当已知时, 方差 2 的置信区间取统计量 ，得 2 的置信度为 置信区间为 由概率公式(3)第六十九张，PPT共九十八页，创作于2022年6月69随机向量的数字特征 一、数学期望1、定义 是有随机变量构成的随机矩阵，定义X的数学期望为第七十张，PPT共九十八页，创作于2022年6月70特别当时 ，便可得到随机向量 的数学期望为第七十一张，PPT共九十八页，创作于2022年6月71 2、性质 1） 设为常数，则 ； 2）设 分别为常数矩阵，则 3）设

27、为n个同阶矩阵，则第七十二张，PPT共九十八页，创作于2022年6月72 二、协方差矩阵 1、定义：设 和 分别为 维和 维随机向量，则其协方差矩阵为第七十三张，PPT共九十八页，创作于2022年6月73的(自)协方差矩阵第七十四张，PPT共九十八页，创作于2022年6月742、性质 1）若 和 相互独立。则第七十五张，PPT共九十八页，创作于2022年6月75 若 的分量相互独立, 则(自)协方差矩阵，除主对角线上的元素外均为零，即2）随机向量X的协方差矩阵是非负定矩阵。 证：设为任意与X有相同维数的常数向量，则第七十六张，PPT共九十八页，创作于2022年6月76 3）设A是常数矩阵，b为

28、常数向量，则Var(AX+b)=AVar(X)A ； 4、若(x1,x2,，xp) 和(y1,y2,，yp)分别是p和q维随机向量，A和B为常数矩阵，则 第七十七张，PPT共九十八页，创作于2022年6月77 5、若(k1,k2,，kp)是n个不全为零的常数， (x1,x2,，xp ) 是相互独立的p维随机向量，则 6、设 是n维随机向量，记 A为nn维常数矩阵，则 表示为矩阵的迹，其定义为矩阵主对角线元素之和第七十八张，PPT共九十八页，创作于2022年6月78 三、相关系数矩阵 若(x1,x2,，xp) 和(y1,y2,，yp)分别是p和q维随机向量，则其相关系数矩阵为第七十九张，PPT共

29、九十八页，创作于2022年6月79 均值 (mean) 即序列的平均值,用序列数据的总和除以数据的个数。 中位数 (median) 即从小到大排列的序列的中间值。是对序列分布中心的一个粗略估计。 最大最小值 (max and min) 序列中的最大最小值。 标准差(Standard Deviation) 标准差衡量序列的离散程度。计算公式如下N 是样本中观测值的个数， 是样本均值。 第八十张，PPT共九十八页，创作于2022年6月80 偏度（Skewness） 衡量序列分布围绕其均值的非对称性。计算公式如下 是变量方差的有偏估计。如果序列的分布是对称的，S值为0；正的S值意味着序列分布有长的右

30、拖尾，负的S值意味着序列分布有长的左拖尾。例1.1中X的偏度为0，说明X的分布是对称的；而例1.3中GDP增长率的偏度是0.78，说明GDP增长率的分布是不对称的。第八十一张，PPT共九十八页，创作于2022年6月81 峰度（Kurtosis） 度量序列分布的凸起或平坦程度，计算公式如下 分布的凸起程度大于 正态分布；如果K值小于3，序列分布相对于正态分布是平坦的。例1.1中X的峰度为2.5，说明X的分布相对于正态分布是平坦的；而例1.3中GDP增长率的峰度为2.14 ，说明GDP增长率的分布相对于正态分布也是平坦的。意义同S中 ，正态分布的 K 值为3。如果 K 值大于3，第八十二张，PPT

31、共九十八页，创作于2022年6月821.2 均值、中位数、方差的假设检验 这部分是对序列均值、中位数、方差的假设检验。在序列对象菜单选择View/tests for descriptive stats/simple hypothesis tests，就会出现下面的序列分布检验对话框： 第八十三张，PPT共九十八页，创作于2022年6月831. 均值检验 如果不指定序列 x 的标准差，EViews将在 t 统计量中使用该标准差的估计值 s 。 是 x 的样本估计值，N是x的观测值的个数。在原假设下，如果x服从正态分布，t 统计量是自由度为N-1的t分布。 原假设是序列 x 的期望值 m ，备选假

32、设是 m ，即 第八十四张，PPT共九十八页，创作于2022年6月84 如果给定x的标准差，EViews计算t 统计量： 是指定的x的标准差。 要进行均值检验，在Mean内输入 值。如果已知标准差，想要计算t统计量，在右边的框内输入标准差值。可以输入任何数或标准EViews表达式，下页我们给出检验的输出结果。 第八十五张，PPT共九十八页，创作于2022年6月85 这是检验例1.7中GDP增长率的均值，检验H0：X=10%，H1：X10%。表中的Probability值是P值（边际显著水平）。在双边假设下，如果这个值小于检验的显著水平，如0.05则拒绝原假设。这里我们不能拒绝原假设。第八十六张

33、，PPT共九十八页，创作于2022年6月862. 方差检验 检验的原假设为序列 x 的方差等于 2，备选假设为双边的，x 的方差不等于 2 ，即 EViews计算2统计量，计算公式如下 N为观测值的个数， 为x的样本均值。在原假设下，如果x服从正态分布， 2 统计量是服从自由度为N-1的 2分布。 要进行方差检验，在Variance处填入在原假设下的方差值。可以填入任何正数或表达式。 第八十七张，PPT共九十八页，创作于2022年6月873. 中位数检验 原假设为序列x的中位数等于m，备选假设为双边假设，x的中位数不等于m，即 EViews提供了三个以排序为基础的无参数的检验统计量。方法的主要

34、参考来自于Conover（1980）和Sheskin（1997）。 进行中位数检验，在Median右边的框内输入中位数的值，可以输入任何数字表达式。 第八十八张，PPT共九十八页，创作于2022年6月881.3 分布函数 EViews提供了几种对数据进行初步分析的方法。在1.1 我们已列出了几种图来描述序列分布特征。在本节，列出了几种散点图且允许我们可以用有参数或无参数过程来做拟合曲线图。 这些图包含着复杂计算和大量的特殊操作，对某些完全技术性的介绍，不必掌握所有细节。EViews中设置的缺省值除了对极特殊的分析外，对一般分析而言是足够用的。直接点击ok键接受缺省设置，就可以轻松的展现出每个图。 第八十九张，PPT共九十八页，创作于2022年6月891.3.1 序列分布图 本节列出了三种描述序列经验分布特征的图。 1. CDFSurvivorQuantile图 这个图描绘出带有加或减两个标准误差带的经验累积分布函数，残存函数和分位数函数。在序列菜单中或组菜单中选择View /Distribution/ CDFSurvivorQuantile时 ( 组菜单的Multiple Graphs中)，就会出现下面的对话框：第九十张，PPT共九十八页，创作于2022年6月90 其中，Cumulative Distribution(累积分布)操作用来描绘序列的经验累积函数（CDF）。CDF是序