全等三角形中的基本模型

1、全等中的基本模型知识互联网11平移型企等）对称型全等全等（角形的基本模型旋转型仝等辅助线添加初苏把一个图形经过平移、翻折、旋转后，它们的位置虽然变化了，但是形状、大小都没有改变，即 平移、翻折、旋转前后的图形全等.我们把平移、翻折（轴对称）、旋转称为几何变换.这一讲我们就来学习基本变换下的全等三角形.常见平移模型【引例】如图，A、E、F、B四点在一条直线上，AC CE, BD DF , AE BF , AC BD .求证：CF DE典题精练AF.【例1】如图1, A、B、C、D在同一直线上， AB CD , DE /AF ,且DE求证：AFCDEB如果将BD沿着AC边的方向平行移动， 图2,

2、B点与C点重合时；图3, B点在C点右侧时, 其余条件不变，结论是否成立，如果成立，请选择一种情况请予证明；如果不成立，请说明理 由.图1图2图3tig题型二：对称型全等思路导航常见轴对称模型典题精练【例2】如图，4ABE和4ADC是4ABC分别沿着AB , AC翻折到同一平面内形成的.若1: 2: 315:2:1 ,则 4【例3】如图，AB AC,D、E分别是AB、AC的中点，AM CD于M ,AN BE 于 N .求证：AM AN .ABC【弓I例】 如图，在ABC中， A: B: ACB 3:5:10 ,若将 ACB绕点C 逆时针旋转，使旋转后的4ABC中的顶点B在原三角形的边 AC的延

3、长线上时，求BCA的度数.典题精练【例4】 如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG .求证：AE CG ;AECG.【例5】 如图，点C为线段AB上一点，4ACM、ACBN是等边三角形. 请你证明： AN BM ; MFA 60 ; DEC为等边三角形；DE / AB.辅助线：在几何学中用来帮助解答疑难几何图形问题，在原图基础之上另外所作的具有极大价值的直线或者线段.添辅助线的作用：凸显和集散.揭示图形中隐含的性质：当条件与结论间的逻辑关系不明朗时，通过添加适当的辅助线,将条件中隐含的有关图形的性质充分揭示出来，以便取得过渡性的推论，达到推导出结论的目 的.聚拢集中原则： 通

4、过添置适当的辅助线，将图形中分散、 远离的元素， 通过变换和转化,使他们相对集中，聚拢到有关图形上来，使题设条件与结论建立逻辑关系，从而推导出要求的 结论.化繁为简原则：对一类几何命题，其题设条件与结论之间在已知条件所给的图形中，其 逻辑关系不明朗，通过添置适当辅助线，把复杂图形分解成简单图形，从而达到化繁为简、化难为易的目的.发挥特殊点、线的作用：在题设条件所给的图形中，对尚未直接显现出来的各元素，通 过添置适当辅助线，将那些特殊点、特殊线、特殊图形性质恰当揭示出来，并充分发挥这些特 殊点、线的作用，达到化难为易、导出结论的目的.构造图形的作用：对一类几何证明题，常须用到某种图形，这种图形在

5、题设条件所给的 图形中却没有发现，必须添置这些图形，才能导出结论，常用方法有构造出线段和角的和差倍 分、新的三角形、直角三角形、等腰三角形等【例6】 如图1,已知 4ABC中，AB BC 1 , /ABC 90 ,把一块含30角的直角三角板 DEF的 直角顶点D放在AC的中点上（直角三角板的短直角边为 DE ,长直角边为 DF）,将直角三角 板DEF绕D点按逆时针方向旋转.直线 DE交直线AB于M ,直线DF交直线BC于N . 在图1中， 证明DM DN ;在这一旋转过程中，直角三角板DEF与4ABC的重叠部分为四边形 DMBN ,请说明四边形DMBN的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如

6、何变化的？若不发生变化，求出其 面积； 继续旋转至如图2的位置，DM DN是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立， 请说明理由； 继续旋转至如图3的位置，DM DN是否仍然成立？请写出结论，不用证明.（海淀区期末考试）【例7】 在四边形 ABCD中，AB CD, AB/CD ,求证：AD BC .【例8】如图所示：AF CD , BC EF , AB DE , A D .求证：BC II EF .题型一 平移型全等 巩固练习【练习1】 如图，若AB CD , A E、F、C在一条直线上，AE CF ,过E、F分别作DE AC , BF AC.求证：BD平分EF . 若将 DEC的边EC沿A

7、C方向移动到图的位置时， 其他条件不变，上述结论是否成立？ 请说明理由.题型二 对称型全等 巩固练习【练习2】 已知：如图，OP是 AOC和 BOD的平分线，OA OC ,OB OD.求证：AB CD.（北京市中考题）题型三旋转型全等【练习3】如图所示,AH AC .巩固练习已知过 ABC的顶点 A作AF AB且使 AF AB , 求证：BH FC .过A作AH AC ,且使【练习4】 如图，已知 4ABD和4AEC都是等边三角形，AF CD于F ,AHBE于H ,请问：AF和AH有何关系？请说明理由.题型四辅助线添加初步巩固练习【练习5】 如图，一等腰直角三角尺 GEF的两条直角边与正方形 ABCD的两条边分别重合在一 起.现正方形 ABCD保持不动，将三角尺 GEF绕斜边EF的中点O（点O也是BD中点）按 顺时针方向旋转. 如图，当EF与AB相交于点M , GF与BD相交于点N时，通过观察或测量 BM , FN 的长度，猜想BM , F