水塔流量问题课件

1、1数学建模实 验王汝军河西学院数学与统计学院2实验十四 水塔流量问题王汝军河西学院数学与统计学院实验目的1了解有关数据处理的基本概念和原理。2初步了解处理数据插值与拟合的基本方法，如样条插值、分段插值等。3学习掌握用MATLAB命令处理数据插值与拟合问题。3实验内容 某居民区有一供居民用水的圆形水塔，一般可以通过测量其水位来估计水的流量。但面临的困难是，当水塔水位下降到设定的最低水位时，水泵自动启动向水塔供水，到设定的最高水位时停止供水，这段时间是无法测量水塔的水位和水泵的供水量。通常水泵每天供水一两次，每次约两小时。水塔是一个高12.2米、直径17.4米的正圆柱。按照设计，水塔水位降到约8.

2、2米时，水泵自动启动，水位升到约10.8米时水泵停止工作。4实验内容某一天的水位测量记录如表1所示，试估计任何时刻（包括水泵正供水时）从水塔流出的水流量，及一天的总用水量。表1水位测量启示录（/表示水泵启动）5时刻（h）水位（cm）09680.929481.849312.959133.878984.988815.908697.018527.938398.97822时刻（h）水位（cm）9.98/10.92/10.95108212.03105012.95102113.8899414.9896515.9094116.8391817.93892时刻（h）水位（cm）19.0486619.968432

3、0.8482222.01/22.96/23.88105924.99103525.911018实验准备 在生产实践和科学研究中，常常遇到这样的问题：由实验或测量得到的一批离散样点，需要确定满足特定要求的曲线或曲面（即变量之间的函数关系或预测样点之外的数据）。如果要求曲线（面）通过所给的所有数据点（即确定一个初等函数通过已知各数据，一般用多项式或分段多项式），这就是数据插值。在数据较少的情况下，这样做能够取得好的效果。但是，如果数据较多，那么插值函数是一个次数很高的函数，比较复杂。如果不要求曲线（面）通过所有的数据点，而是要求它反映对象整体的变化趋势，可得到更简单实用的近似函数，这就是数据拟合。函

4、数插值和曲线拟合都是要根据一组数据构造一个函数作为近似，由于近似的要求不同，二者在数学方法上是完全不同的。6实验准备1数据插值的基本方法拉格朗日插值7实验准备8一般的，若已知 yf(x) 在互异的 n1个点x0,x1,xn 处的函数y0,y1,yn ，则可以考虑构造一个过这 n1个点的次数不超过n的多项式 Ln(x)通过所有 n+1个点，即满足 然后用 作为准确值 的近似值。这样构造出来的多项式 称为 的n次拉格朗日插值多项式或插值函数。实验准备分段插值多项式历来都被认为是最好的逼近工具之一，它插值光滑，但不具有收敛性，会随着节点数目增多而次数升高，一般不宜采用高次多项式（如m 7）插值，否则

5、逼近的效果往往是不理想的，甚至发生龙格振荡（当节点数目 n不断增大时， Ln(x)在区间中部趋于f(x) ，但对于区间两端的x ， Ln(x)并不趋于f(x) ，也称龙格现象）。在插值范围较小，用低次插值往往就能奏效。最直观的办法就是将各数据点用折线连接起来，这种增加节点，用分段低次多项式插值的化整为零的处理方法称作分段插值法，即不去寻求整个插值区间上的一个高次多项式，而是把区间划分为若干个小区间。9实验准备如果那么分段线性插值公式为分段线性插值通常有较好的收敛性和稳定性，算法简单，克服了龙格现象，其缺点是不如拉格朗日插值多项式光滑。10实验准备样条插值分段线性插值函数在节点的一阶导数一般不存

6、在，且不光滑，这就导致了样条插值函数的提出。在机械制造、航海、航空工业中，经常需要解决下列问题：已知一些数据点(x0,y0), (x1,y1), (xn,yn),如何全部通过这些数据点作一条比较光滑的曲线呢？绘图员解决了这一问题，首先把数据描绘在平面上，再把一根富有弹性的细直条（称为样条）弯曲，使其一边通过这些数据点，用压铁固定其形状，沿样条边绘出一条光滑的曲线，往往要用几根样条，分段完成上述工作，同时也应让连接点处保持光滑。对绘图员用样条画出的曲线，进行数学模拟，就导出了样条函数的概念。如今已经成为了一个应用极为广泛的数学分支。现在数学上所说的样条，实质上指分段多项式的光滑连接。1112设有

7、区间a，b的一个划分如（3）式，称分段函数S(x)为k次样条函数，若它有：（1）S(x)是在每个小区间上的次数不超过k多项式；（2） （3）S(x)在区间a，b上有k1阶连续的导数；用样条函数作出的插值称为样条插值，工程上广泛采用三次样条插值。13达到最小。这里的建模原理实质上与实验七中的回归分析是一致的。实验准备143数据插值与拟合的MATLAB命令对于多项式插值和拟合，有一个方便的方法p = polyfit( x , y , m )用m次多项式拟合向量数据（x，y），返回多项式（1）的降冥系数。当mn1时，polyfit实现多项式插值，p返回多项式的系数向量；y = polyval( p

8、, x )求polyfit所得的多项式在x处的插值y，它是准确值f（x）的近似值；实验准备15对于一维和二维插值，其命令格式如下yi = interp1( x , y , xi , method )求解一维插值问题，x，y分别表示数据点的横、纵坐标向量，且x要单调。xi为插值点，它不能走出x的范围。method为可选参数，对应四种插值方法：最近邻点插值：nearest；线性插值：linear；（是缺省值）三次样条插值：spline； 分段三次插值：cubicZI = interp2( X , Y , Z , XI , YI , method )求解二维插值，X ，Y分别是m、n维族自变量，均单

9、调递增；Z是mn维矩阵，标明相应于所给数据的函数值。向量XI , YI给定网格点的横、纵坐标，ZI返回函数在网格坐标（XI，YI）处的函数值。XI，YI应是方向不同的向量，即一个是行向量，一个是列向量。method的定义与interp1命令中的定义是一致的；ZI = griddata( x , y , z , XI , YI , method )插值基点为散乱的节点，各参数定义与二维插值中一致，只不过向量x，y散乱无序，同时method方法中多了一种MATLAB提供的网格插值方法V4；有关上述命令的详细内容可在MATLAB帮助文件中查阅。实验准备16对于线性最小二乘拟合，用得较多的是多项式拟合

10、，使用前面所讲的polyfit命令；若要寻求f（x）任意的非线性函数，则称为非线性最小二乘拟合，MATLAB提供了两个求解命令：curfit和leastsq。二者都要事先定义M函数文件，但定义方式稍有不同：实验准备17c = curvefit( fun , c0 , xdata , ydata，options)求含参量非线性函数fun中的参变量c，使残差平方和（6）最小，xdata，ydata为数据点的横、纵坐标向量，c0为参变量的迭代初始值，options见实验一表1（它可以缺省）；非线性函数fun的M函数文件定义方式为：fun( c , xdata)；c = leastsq( fun ,

11、c0 , options) 求含参量非线性函数fun中的参变量c，使得各数据点函数值fun的平方和最小，命令中各参数定义与curvefit命令中一致，非线性函数fun的M函数文件定义方式为：fun( c , xdata , ydata)，这里的fun已经与数据点的函数值向量ydata作差；实验方法与步骤181引例问题的分析流量是单位时间流出的水的体积，由于水塔是圆柱形，横截面积是常数，在水泵不工作时段，流量很容易从水位对时间的变化率算出，问题是如何估计水泵供水时段的流量。水泵供水时段的流量只能靠供水时段前后的流量拟合得到，作为拟合的原始数据，我们希望水泵不工作时段的流量越准确越好。我们可以考虑

12、先用表中数据拟合水位时间函数，然后对之求导即可得到各时段的流量。有了任意时刻的流量，就不难计算一天的总用水量。其实，水泵不工作时段的用水量可以由测量记录直接得到，如由某一时段水位下降量乘以水塔的截面积（水塔截面积是常数 S(17.4/2)2 237.8（m2）就得到这一时段的用水量。这个数值可以还可以用来检验拟合效果。实验方法与步骤流量是时间的连续函数，只取决于水位差，与水位本身无关，与水泵是否工作无关。按照Torricelli定律从小孔流出的液体的速度正比于水面高度的平方根，题目给出水塔的最高和最低水位分别为10.8米和8.2米（设出水口的水位为0），因为 (10.8/8.2)1.15，可以

13、忽略水位对流速的影响。简单起见，计算中将流量定义为单位时间流出的水的高度，即水位对时间变化率的绝对值（水位是下降的）。19水泵第1次供水时段为t9.0到t11.0（小时），第2次供水时段为t20.8到t23.0（小时）。这是根据最高和最低水位分别为10.8米和8.2米，及表1的水位测量记录作出的假设，其中前3个时刻直接取自实测数据（精确到0.1小时），最后1个时刻来自每次供水约两小时的已知条件（从记录看，第2次供水时段应在记录的22.96小时之后不久结束）。水泵工作时单位时间的供水量大致为常数，这个常数应该大于单位时间的平均流量。20实验方法与步骤实验方法与步骤21首先考虑拟合水位时间函数，从

14、表1测量记录看，一天有两个供水时段（以下称第1供水时段和第2供水时段），和三个水泵不工作时段（简称第1时段t0到t8.97，第2时段t10.95到t20.84，第3时段t23以后）。对第1、2时段的测量数据可直接分别作多项式拟合，得到水位函数。为使拟合曲线比较光滑，多项式次数不要太高，一般在36次。由于第3时段只有3个测量记录，无法对这一时段的水位作出较好的拟合。22接着确定流量时间函数，对于第1、2时段只需将水位函数求导数即可，对于两个供水时段的流量，则用供水时段前后（水泵不工作时段）的流量拟合得到，并将拟合得到的第2供水时段流量外推，将第3时段流量包含在第2供水时段内。最后一天总用水量等于

15、两个水泵不工作时段和两个供水时段（将第3时段包含在第2供水时段内）用水量之和，它们都可以由流量对时间的积分再乘以水塔截面积得到。实验方法与步骤MATLAB命令求解拟合第1、2时段的水位，并导出流量，t，h为时刻和水位测量记录（水泵启动的4个时刻不输入），程度代码如下： t=0 0.92 1.84 2.95 3.87 4.98 5.90 7.01 7.93 8.97 10.95 12.03 12.95 13.88 14.98 15.90 16.83 17.93 19.04 19.96 20.84 23.88 24.99 25.91; h=968 948 931 913 898 881 869 8

16、52 839 822 1082 1050 1021 994 965 941 918 892 866 843 822 1059 1035 1018; c1=polyfit(t(1:10),h(1:10),3);%用3次多项式拟合第1时段的水位 a1=polyder(c1);%对拟合的多项式求导数得到第1时段流量 tp1=0:0.1:9;%对第1时段的时刻进行划分 x1=abs(polyval(a1,tp1);%计算第1时段各时刻的流量23MATLAB命令求解类似地，可计算第2时段各时刻的流量。 c2=polyfit(t(11:21),h(11:21),3); a2=polyder(c2); tp

17、2=11:0.1:20.8; x2=abs(polyval(a2,tp2);在第1供水时段（t911）之前（即第1时段）和之后（即第2时段）各取几点，其流量已经得到，用它们拟合水泵第1供水时段的流量。为使流量函数在t9和t11连续，我们简单地只取4个点，拟合3次多项式（即曲线必过这4个点），实现如下：24MATLAB命令求解 xx1=abs(polyval(a1,8 9); xx2=abs(polyval(a2,11 12); xx12=xx1,xx2; c12=polyfit(8 9 11 12,xx12,3);%拟合水泵供水时段的流量函数 tp12=9:0.1:11; x12=polyva

18、l(c12,tp12); %计算第1供水时段各时刻的流量25MATLAB命令求解在第2供水时段之前取t20，20.8两点的流水量，第3时段仅有3个水位记录，我们用差分得到流量，然后用这4个数值拟合第2供水时段的流量： dt3=diff(t(22:24);%最后3个时刻的两两之差 dh3=diff(h(22:24);%最后3个水位的两两之差 dht3=-dh3./dt3;%用差分计算t（22）和t（23）的流量 t3=20 20.8 t(22) t(23);%取第2时段20，20.8两点和第3时段23.88，24.99两点 xx3=abs(polyval(a2,t3(1:2),dht3;取第2时段20，20.8两点和第3时段23.88，24.99两点的流量26MATLAB命令求解 c3=polyfit(t3,xx3,3)%拟合出第2水泵供水时段的流量函数 tp3=20.8:0.1:24; x3=polyval(c3,tp3);%输出第2供水时段（外推到t24）各时刻的流量求第1、2时段和第1、2供水时段流量的积分之和，就是一天总用水量。虽然诸时段的流量已表示为多项式函数，积分可以解析地算出，这里仍可用数值积分计算： y1=0.1*trapz(x1)%第1时段用水量，0.1为积分步长y1 = 146.1815 y2=0.1*trapz(x2) %第2时段用水量y2 = 258