高中数学选修第一册：3.1.1 椭圆（第一课时）（精讲）（解析版）

1、3.1.1 椭圆思维导图常见考法考点一 椭圆的定义【例1】（1）（2020上海徐汇.高二期末）已知是定点，.若动点满足，则动点的轨迹是（ ）直线B线段C圆D椭圆（2）（2019宁波市第四中学高二期中）设是椭圆上的点若是椭圆的两个焦点，则等于( )A4B5C8D10【答案】（1）B（2）D【解析】（1）对于在平面内，若动点到、两点的距离之和等于6，而6正好等于两定点、的距离，则动点的轨迹是以，为端点的线段故选：B（2）因为椭圆的方程为，所以，由椭圆的的定义知，故选D椭圆是在平面内定义的，所以“平面内”这一条件不能忽视定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量常数(2a)必须大于两定点间的距离，

2、否则轨迹不是椭圆，这是判断曲线是否为椭圆的限制条件【一隅三反】1（2020河南省鲁山县第一高级中学高二月考）若椭圆上一点到左焦点的距离为，则其到右焦点的距离为（ ）ABCD【答案】D【解析】由题意a=3,P点到右焦点的距离为2a-5=12（2020东城.北京五十五中高二月考）若椭圆上一点到其焦点的距离为6，则到另一焦点的距离为( )A4B194C94D14【答案】D【解析】依题意，且.故选：D3.下列命题是真命题的是_(将所有真命题的序号都填上)已知定点F1(1,0)，F2(1,0)，则满足|PF1|PF2|eq r(2)的点P的轨迹为椭圆；已知定点F1(2,0)，F2(2,0)，则满足|PF

3、1|PF2|4的点P的轨迹为线段；到定点F1(3,0)，F2(3,0)的距离相等的点的轨迹为椭圆【答案】【解析】eq r(2)B0，解这个不等式就可求出实数的取值范围椭圆，必须要满足解这个不等式就可求出实数的取值范围【一隅三反】1（2020广东高三月考（文）“”是“方程表示椭圆”的（ ）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为方程表示椭圆的充要条件是，即且，故“”是“方程表示椭圆”的必要而不充分条件.故选：B.2（2017浙江东阳.高二期中）如果方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是（ ）ABC或D或【答案】D【解析】椭圆的焦点在轴上

4、，解得或，故选D.3（2019北京北师大实验中学高二期中）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【解析】因为方程表示椭圆，故：，且；又该椭圆的焦点在轴上，故只需，解得.故选：D.【例2-2】（1）（2018黑龙江哈尔滨三中高二期中（文）已知的顶点，在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在上，则的周长是（）ABCD（2）（2019广西田阳高中）已知是椭圆上一点， 为椭圆的两焦点，且，则面积为（ ）ABCD【答案】（1）C【解析】（1）的顶点，在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在上，由椭圆的定义可得：的周长是故选：C（2）由椭圆的标准方程可得

5、：a5，b3，c4，设|PF1|t1，|PF2|t2，所以根据椭圆的定义可得：t1+t210，在F1PF2中，F1PF260，所以根据余弦定理可得：|PF1|2+|PF2|22|PF1|PF2|cos60|F1F2|2（2c）264，整理可得：t12+t22t1t264，把两边平方得t12+t22+2t1t2100，所以得t1t212，F1PF23故选A【一隅三反】1（2019黑龙江哈尔滨市第六中学校高二月考（文）已知点分别是椭圆的左、右焦点,点在此椭圆上,则的周长等于（ ）A20B16C18D14【答案】C【解析】根据椭圆方程可知，根据椭圆的定义可知，的周长为，故选C.2（2018湖南高二期

6、中（理）已知E、F分别为椭圆x225+y29=1的左、右焦点，倾斜角为60的直线l过点E，且与椭圆交于A，B两点，则FAB的周长为( )A10B12C16D20【答案】D【解析】椭圆x225+y29=1，可得a=5，三角形AF2B的周长=|AF2|+|BF2|+|AB|，|AB|=|AF1|+|BF1|，所以：周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|，由椭圆的第一定义，|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a=10，所以，周长=4a=20故选：D3已知P是椭圆上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且F1PF260，则F1PF2的面积是_【答案】【解析】|PF1|PF2|

7、4，又F1PF260，由余弦定理可得|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos6012(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|PF1|PF2|，.考点三 椭圆的标准方程【例3】（2020四川内江,高二期末）分别求适合下列条件的方程：（1）焦点在轴上，长轴长为，焦距为的椭圆标准方程；（2）与椭圆具有相同的离心率且过点的椭圆的标准方程（3）已知椭圆的两个焦点的坐标分别是，并且经过点，则此椭圆的标准方程【答案】（1）；（2）或（3）【解析】（1）由已知条件可得，可得，因此，所求椭圆的标准方程为；（2）易知椭圆的离心率当所求椭圆的焦点在x轴上时，可设椭圆的方程为，把点代入方程

8、，得又，解得，所以所求椭圆的方程为当所求椭圆的焦点在y轴上时，同理可设椭圆的方程为，把点代入方程，得又，解得，所以所求椭圆的方程为（2）因设椭圆的标准方程为，因为点在椭圆上，所以，所以椭圆的标准方程为此椭圆的标准方程是或.根据焦点位置分类讨论，再根据离心率以及点在椭圆上列方程组解得，即得结果.【一隅三反】1（2019全国高二课时练习）求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点M(3,2)；(2)ca513，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.（3）已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点和【答案】(1) (2)或（3）【解析】(1)由焦距是4，可得c2，且

9、焦点坐标为(0，2)，(0,2)由椭圆的定义知，所以a4，所以b2a2c216412.又焦点在y轴上，所以椭圆的标准方程为.(2)由题意知，2a26，即a13，又因为ca513，所以c5，所以b2a2c213252144，因为焦点所在的坐标轴不确定，所以椭圆的标准方程为或.（2）设椭圆的方程为将A，B两点坐标代入方程，得，解得，故所求椭圆的方程为考点四 离心率【例4】（1）（2020武威第八中学高二期末（理）已知椭圆：的一个焦点为，则的离心率为 。（2）（2019江西南昌十中高二期中（文）过椭圆的右焦点作椭圆长轴的垂线交椭圆于两点，为椭圆的左焦点，若为正三角形，则椭圆的离心率为【答案】（1）（

10、2）【解析】（1）根据题意，可知，因为，所以，即，所以椭圆的离心率为.（2）根据题意，如图所示，可得为正三角形，可得在中，有，点在椭圆上，由椭圆的定义可得，则该椭圆的离心率1椭圆的离心率的求法：(1)直接求a，c后求e，或利用eeq r(1f(b2,a2)，求出eq f(b,a)后求e.(2)将条件转化为关于a，b，c的关系式，利用b2a2c2消去b.等式两边同除以a2或a4构造关于eq f(c,a)(e)的方程求e.2求离心率范围时，常需根据条件或椭圆的范围建立不等式关系，通过解不等式求解，注意最后要与区间(0,1)取交集【一隅三反】1（2020江苏淮安.高二期中）已知椭圆的上顶点为，右顶点

11、为，若过原点作的垂线交椭圆的右准线于点，点到轴的距离为，则此椭圆的离心率为（ ）ABCD【答案】C【解析】由题可知，椭圆的焦点在轴上，则，所以，由于点在椭圆的右准线上，且到轴的距离为，则，所以，由题得，则，即，则有，即，而，所以，整理得：，则，即，解得：，即椭圆的离心率为.故选：C.2（2019历下.山东师范大学附中）椭圆的短轴长为6，焦点到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆的离心率为（ ）ABCD【答案】C【解析】设椭圆的短轴长为，长轴长为，焦距为，则，即；或，若，由得：，椭圆的离心率；若，由得：，不符合题意，舍去，故椭圆的离心率为.故选：C.3（2019内蒙古通辽实验中学高二月考）椭圆与直线交于A，B两点，过原点