随机信号分析：3数字特征

1、第三讲 随机变量的数字特征以统计的眼光看问题概率论数字特征的引入以前我们都是用概率分布来描述随机变量的，这种描述虽然详尽，但却不能“集中”地反映出随机变量的变化情况和某些特征。例如有两个射手甲和乙：击中环数 8 9 10甲的概率 0.3 0.1 0.6乙的概率 0.2 0.5 0.3谁的成绩好呢？这恐怕难以一眼看出来，因此我们需要有更清楚直观地描述随机变量特征的方法。这些用来描述随机变量的概率分布特征的数字称为随机变量的数字特征，主要包括数学期望，方差等。数字特征的引入象上面的例题，实际是要求谁平均起来打中的环数高，设他们各打N枪，则甲乙的平均环数分别为：甲：80.3N+90.1N+100.6

2、N=9.3N乙：80.2N+90.5N+100.3N=9.1N因此甲的成绩好一些。1随机矢量的数字特征数学期望矩相关理论特征函数一维随机变量二维随机变量n维随机变量随机矢量的函数条件数学期望随机变量关于某个给定值的条件数学期望随机变量关于另一个随机变量的条件数学期望离散型连续型数学期望的性质23新数学期望（一维）已知随机变量X的分布 ，求其函数Yg(X) 的数学期望。由于g()是单值变换g()是多值变换函数的数学期望（一维）例：已知随机变量X的可能取值是4，1，2，3，4，而且每个值出现的概率相同均为1/5。求随机变量X和函数g(X)X2的数学期望?解：举例（数学期望）数学期望（二维）设二维随

3、机变量(X1,X2)的联合概率密度 已知，其二维概率质量分布的“重心坐标”应该为函数的数学期望（二维）求函数 的数学期望？已知二维随机变量（X,Y）的联合概率密度数学期望（n维）设(X1, X2, , Xn)是n维随机变量，其联合概率密度为：fx(x1,x2, ,xn)，则：(1) 若a Xb, (a,b为常数),则 a EX b数学期望的性质(3) 变量加权求和的均值等于各变量的均值加权和(2) 常数C的期望 EC=C(4) 相互独立变量积的期望等于变量期望的积期望运算与求和运算可交换次序 X1,X2,Xn相互独立相互独立时，期望运算与求积运算可交换次序条件数学期望（关于给定值）条件数学期望

4、（关于给定值）函数的条件数学期望 条件数学期望（关于随机变量）定义随机变量Y关于另一随机变量X 的条件期望为 举例（条件数学期望）均匀分布（X,1）之间举例（条件数学期望）条件数学期望条件数学期望的性质条件期望的期望等于非条件期望随机矢量的数字特征数学期望矩相关理论特征函数数学期望方差互相关协方差矩原点矩中心矩一维二维n维一维二维n维数学期望均方值互相关方差协方差随机矢量的方差阵展开可得随机矢量的方差阵 随机矢量的方差阵称为n维随机变量的协方差矩阵（随机矢量的方差阵）求 协方差矩阵？已知二维随机变量（X,Y）的联合概率密度随机矢量的数字特征数学期望矩相关理论特征函数相关系数的引入不相关、正交不

5、相关、正交、独立之间的关系相关系数的引入在实际中，描述X 和Y 的相互关系最简单的方法散布图相关线性相关非线性相关找到逼近其散布点密集分布的一条回归线（某种曲线） 直线曲线线性回归法a，b参数的确定 极小点 相关系数 定义：表征两个随机变量之间线性相关程度的量。相关系数的性质：举例（相关系数）解：协方差相关系数正交、不相关、独立不相关、独立和正交的关系：正交定义：随机变量X 和Y 满足 独立互不相关一定不能得出正交不存在必然关系由计算推出关系举例（三者关系）解：正交互不相关随机矢量的数字特征数学期望矩相关理论特征函数定义性质一维n维新1.5.5 随机变量的特征函数一、特征函数定义（一维）特征函

6、数的定义（一维）变换是唯一的存在2系数，不是傅立叶变换举例（一元特征函数）一元特征函数的性质一元特征函数的性质5、相互独立变量和的特征函数等于特征函数之积。6、若随机变量X的n阶绝对矩存在，例1.30 求高斯变量的特征函数=先介绍一个积分公式 (复变函数积分的应用公式)例1.31 求二项分布的数学期望、方差和特征函数？ 解： 方法一：二项分布的分布律为计算很难举例（一元特征函数的性质）性质5举例（一元特征函数的性质）性质67、特征函数可由随机变量的各阶矩唯一地确定。常用在理论推导中特征函数的定义（n维）特征函数的性质（n维） 两种特殊情况 一元多元n维随机变量一维随机变量特征函数的性质（n维）对比1：互推对比2：一元特征函数性质5形式相似，内容不同特征函数的性质（n维）6、边缘特征函数 举例（多维）解：边缘特征函数举例（多维）相关系数对X举例（多维）对Y 举例（多维