“隐形圆”问题专题复习

1、“隐形圆”问题江苏省通州高级中学 一、问题概述江苏省高考考试说明中圆的方程是 C级知识点，每年都考，但有些时候，在条件中没 有直接给出圆方面的信息， 而是隐藏在题目中的，要通过分析和转化，发现圆(或圆的方程)， 从而最终可以利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐形圆”问题.二、求解策略如何发现隐形圆(或圆的方程)是关键，常见的有以下策略. 策略一 利用圆的定义(到定点的距离等于定长的点的轨迹)确定隐形圆例1 (1)如果圆(x 2a) 2+(ya 3)2=4上总存在两个点到原点的距离为 1,则实数a的取值范围是._6ao5略解：到原点的距离为1的点的轨迹是以原点为圆心的单位圆，转化到此单位圆与

2、已知圆相交求解.(2016 年南京二模)已知圆 Q x2+y2=1,圆 M (x-a)2+(y-a+4)2=1,若圆 M 上 存在点P,过点P作圆O的两条切线，切点为 A, B,使彳导/ APB= 60。，则a的取值范 围为.解：由题意得OP2 ,所以P在以O为圆心2为半径的圆上，即此圆与圆 M有公共点，因此有210M 24)2 W 92w a 2 222y21上的动点，3 , P(2017年苏北四市一模)已知 A B是圆C : x21是圆C2 : (x3)21上的动点，则 PA PB的取值范围是 . 7,13(y 4)2|略解：取AB的中点M则C1M=所以M在以G圆心，半径为工的圆上，且 2

3、2|PA PB 2PM ,转化为两圆上动点的距离的最值.(4)若对任意R,直线l : xcos +ysin= 2sin(十)+4与圆C：(x- n)f+ (y-3 n)26=1均无公共点，则实数 m的取值范围是 . ( 1= 5 ) 22略解：直线l的方程为：(x-1)cos+ (y- 3 )sin=4,JM(1, 3 )至U l距离为4所以l是M 为圆心半径为 4 的定圆的切线系，转化为圆 M 与圆 C 内含注：直线 l ： (x-xo)cos+(y- yo)sin= R 为圆 M (xx )：( x线系.y )2R2的切例2 （2017年南通市一模）在平面直角坐标系xOy中，已知B, C为

4、圆x2y24上两点， 点A（1, 1），且ABL AC则线段BC的长的取值范围为解：法（标解）：设BC的中点为x, y因为oBOM2BM2OM2所以4牝简得所以点M的轨迹是以为圆心一 3圆，所以AM的取值范围是 ?1以BC的取值范围是、厂6 2 , 6法二：以AB AC为邻边作矩形 BACN则BC= AN上的任意一点到其对角线上的两个顶点的距离的平方例2平面PN ,则PQ的PMOO : x2y216 ，点由矩形的几何性质和相等），有OB OC OAON2 ,所以阴 6 ,故N在以O为圆心，半径为 J6的圆上，所以BC的取值范 6变式1（2014年常州高三期末卷）在平面直角坐标系 xOy中,P

5、(1, 2) , M N 为圆最小值为o上两个不同的点，且rr pn 0,变式2 已知圆C : x 2yR1,0)，动点 A B90 ,29 ,圆 C2 : 2x 24 ,定点y分别在圆C和圆C2上，满足 APB】则线段AB的取值范围12 3不23c) I (b c)0 ,贝U a变式3 已知向量a、b、c满足a 3, b 2, c 1, (ab范围为. 2 jT3J231策略二 动点P对两定点A、B张角是900 (1 犬 1，当 & PB 0)确定隐形例3 (1) (2014年北京卷)已知圆 C: (x 3) 2( y 4) 21和两点A m,0) , B(m 0),若圆上存在点P,使彳导

6、APB 90 ，则m的取值范围是 .4, 6略解：由已知以 AB为直径的圆与圆 C有公共点.(2)(海安2016届高三上期末)在平面直角坐标系xOy中，已知点 P (-1, 0),Q2 , 1),直线l ： ax by c 0其中实数a, b, c成等差数列，若点P在直线l上的射影为 H,则线段QH的取值范围是 一广2, 3 2解：由题意，圆心CU , -2)在直线ax + by+c = 0上，可得a2b+ c=0,即c=2b a. 直线 l ： (2ab)x+(2bc)y+(2ca) = 0,即 a(2x + y3)+b(4 x) =0,2xy 30,由，可得x=4, y=5,即直线过定点

7、M(4 , 5),4 x 0由题意，H在以PM为直径的圆上，圆心为 A(5, 2),方程为(x-5)2+(y-2)2=50,. CA=412 ,CH最小为广 2/4 0=2, CH最4 ,22 =92 ,线段CH长度的取彳1范围是2 , 9 2 .(3)(通州区2017届高三下开学初检测)设 m R ,直线I1 ： x my 0与直线12 ： mx y 2 m 40交于点P( x0 , 2的取值范围V。)，则 x0y 2 0 2x0是. 120,12 1 4 10 略解：l 1过定点Q0 , 0) , l 2过定点A(2 , -4),则P在以OA为直径的圆上(除去一点)，变式(2017年南京二

8、模)在平面直角坐标系xOy中，直线l1： kx-y+ 2= 0与直线l2： x+ky2=0相交于点P,则当实数k变化时，点P到直线x-y- 4= 0的距离的最大值为. 32策略三 两定点A、B,动点P满足PA -Pb确定隐形圆，点P在直线3x 4 y 3例4 (1) (2017年南通密卷3)已知点A2, 3)，点R6 0上，3)若满足等式 AP BP 20的点P有两个，则实数的取值范围是 .13解：设 P (x, y),贝U AP ( x 2, y 3) , BP ( x 6, y 3)根据 AP fp 20 ,有 x 4 2 y 2132Eh题意一二圆： 相交,13213圆与直线3x圆心到直

9、线的距离d3 (2016届常州一模)在平面直角坐标系xOy中，已知圆QO： (x-4)2+y2=4,动点P在直线x J3 y b 0上，过点P作圆Q O的两条切线，42(2) (2016年盐城三模) 数)，已知线段 AB的长为2,动点C满足CA CB为常1 .且点C总不在以点B为圆心，,为半径的圆内，则负数的最大值是2略解：动点C满足方程x2y2策略四 两定点A、B,动点P满足PAPB?是定值确定隐形圆例5 (1)在平面直角坐标系 xOy中，已知圆C： (x a)2+(ya+2)2=1,点70, 2)若圆C上存在点M满足mA+ mO= 10,则实数a的取值范围是03略解：M满足的方程为x2(

10、y1)24 ,转化为两圆有公共点(2) (2017年南京、盐城一模)在 ABC中，A, B, C所对的边分别为a,b,a2b22 c28 ,则 ABC面积的最大值为解：以AB的中点为原点,5AB所在直线为x轴，建系.0)q x, y)，则由 a2b22 c2得(x-c )2 y2 - 22c )y22 c2_8 ,即 x24y2所以点C在此圆上，Sccr1(454c?)策略五 两定点A B,动点 圆)P满足PA0,1)确定隐形圆(阿波罗尼斯PB例 6 (1)略解：点P满足圆的方程为x2y 24 ,转化到直线与圆相交x2+y2= 1,切点分别为 A B,若?t足PB 2 PA的点P有且仅有两个，

11、则 b的取值范围-20,43l （一条南北方向的直线）3.8海里的A处，发现在其北偏东 30。方向相距4海里的B处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追击.已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的3倍.假设缉私艇和走私船均按例7 （2017年南通二模）一缉私艇巡航至距领海边界线直线方 向以最大航速航行.（1）若走私船沿正东方向逃离，试确定缉私艇的追击方向，使得用最短时间在领海内拦截成功；（参考数据:sin17（2）问：无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海内成功拦截？并说明理由.领海公海B30解：（1）略(例7)（2）如图乙，以A为原点，正北方向所在的直线为y轴建立平面直角坐标系,设缉私艇在P（

12、x , y）处（缉私艇恰好截住走私船的位置）与走船相遇，则 即PAPB9整理得，x所以点Rxy)的轨迹是以点_994 4为圆心,60为半径的圆.图乙因为圆心一939T 3到领海边界线lx 3.8的距离为1.55 ,大于圆半径所以缉私艇能在领海内截住走私船.策略六由圆周角的性质确定隐形圆例8(1)已知a, b, c分别为 ABC的三个内角A, B, C的对边，a 2 ,(a+b)(sin A-sin B)=( c-b)sin C 则 ABC 面积的最大值为 . 3 TOC o 1-5 h z 略解：cos/A= 1 , /A= 60 ,设 ABC的外接圆的圆心为 Q外接圆白半径为 23 ,则 2

13、3O到BC的距离为3L ,则边BC上的高h的最大值为亡3至3= 3 ,则面积的最 大值333为耶.(2)(2017 年常州一模)在 ABC中，/C= 45,O 是 ABC的外心，若Oc -mOAnOB(mnCR),则许n的取值范围是_72,1).略解： ZAOB= 2/C= 90 ,点C在以O为圆心，半径 OA的圆上(在优弧 AB上).三、同步练习.已知直线l : x 2 y m 0上存在点 M满足与两点 A 2, 0) ,B(2, 0) 连线的斜 TOC o 1-5 h z 率之积为1 ,c2 , c b的取值范围a2c则实数m的取值范围是 .# 5r2 5 . (2016年泰州一模)已知实

14、数a, b, c满足a2b20 ,则33.已知 ，t R ,则(cos t 2) 2 (sint 2) 2的取项范围是匚. 221,2 2.已知圆 C : ( x 3)2( y 4)21 和两点 A m 0), B(m 0) (m0)C上存在点P,使得PA PB 1 ,则胆中型值范围是 . 15,35. (2016年无锡一模)已知圆 C : ( x 2) 2y24 ,线段EF在直线l : y x1上运动，点P为线段EF上任意一点，若圆 C上存在两点 A B,使得PA fB & 0 ,则线段EF长.如图，已知点 7 1,0）与点B（1,0） , C是圆x2+y2=1上的 动点（与点A B不重合）

15、，连接BC并延长至D,使得| CD|= |B(C,则线段PD的取值范围.(2 , 2)3.在平面直角坐标系 xOy中，已知点 A t , 0)( t 0) , B(t ,0) , *HC书妃ACBC 8 ,且点C到直线l : 3x4y 240的最小雪离为9 ,则实数t的值是 .1. (2013年江苏卷第17题改编)在平面直角坐标系 xOy中，已知点Q0, 0) , A。，3) 如果圆C :(xa)2( y 2a 4)21上总存在点 M使得MA 2 MO,则圆心C的横坐标a的取值范围是一.0, 12 5.已知向量a、b、c满足a J2 , b a b=3 ,若(c2a)(2，则 b c 的最 TOC o 1-5 h z b 3。0大值是. 1 12.设点A B是圆x2y24上的两点，点C(1, 0),如果 ACB 90 ,则线段AB长度的取值范围为. 17 JT, 71.在 ABC中，BC=AC= 1,以AB为边作等腰直角三角形 ABD( B为直角顶点，CD两点在直线 AB的两侧).当/ C变化时，线段 CD长的最大值为 . 3. (2016年南通三模)在平面直角坐标系