2023届高三数学一轮复习课时过关检测(62)离散型随机变量的数字特征

1、课时过关检测(六十二) 离散型随机变量的数字特征A级基础达标1抛掷一枚质地均匀的硬币，若出现正面朝上则停止抛掷，至多抛掷ni次，设抛掷次数为随机变量i，i1,2，若n12，n23，则()AE(1)E(2)，D(1)D(2)BE(1)D(2)CE(1)E(2)，D(1)E(2)，D(1)D(2)解析：A抛掷一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上则停止抛掷，至多抛掷ni次，设抛掷次数为随机变量i，i1,2，n12，n23，n12，1的分布列为1 1 2Peq f(1,2)eq f(1,2)E(1)1eq f(1,2)2eq f(1,2)eq f(3,2)，D(1)eq blc(rc)(avs4alco1

2、(1f(3,2)2eq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(2f(3,2)2eq f(1,2)eq f(1,4)，n23，2的分布列为2 1 2 3Peq f(1,2) eq f(1,4)eq f(1,4)E(2)1eq f(1,2)2eq f(1,4)3eq f(1,4)eq f(7,4)，D(2)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(7,4)2eq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(2f(7,4)2eq f(1,4)eq blc(rc)(avs4alco1(3f(7,4)2eq f(1,4)eq f(11,16)E(1)E(2)，D(1)D(

3、2)故选A2若随机变量的分布列如下表，则E()()101Peq f(1,2)12qq2A1eq f(r(2),2)B1eq f(r(2),2)C1eq r(2)D1eq r(2)解析：C由离散型随机变量分布列的性质，得eq blcrc (avs4alco1(012q1，,q21，,f(1,2)12qq21，)解得q1eq f(r(2),2)，E()(1)eq f(1,2)0(12q)1q2q2eq f(1,2)1eq r(2)3已知袋子中装有若干个大小形状相同且标有数字1,2,3的小球，每个小球上有一个数字，它们的个数依次成等差数列，从中随机抽取一个小球，若取出小球上的数字X的数学期望是2，则

4、X的方差是()Aeq f(1,3)Beq f(2,3) Ceq f(8,3)Deq f(4,3)解析：B因为取出小球上的数字X的数学期望是2，且个数依次成等差数列，设标有数字1,2,3的小球依次为ad，a，ad个，则P(X1)eq f(ad,3a)，P(X2)eq f(a,3a)eq f(1,3)，P(X3)eq f(ad,3a)，所以E(X)eq f(ad,3a)eq f(2,3)eq f(ad,3a)32d0，aN*故袋中标有数字1,2,3的小球个数相同不妨设标有数字1,2,3的小球各有1个，从而随机抽取一个小球的概率皆为eq f(1,3)，方差为eq f(1,3)(12)2eq f(1,

5、3)(22)2eq f(1,3)(32)2eq f(2,3)，故选B4(多选)对于离散型随机变量X，它的数学期望E(X)和方差D(X)，下列说法正确的是()AE(X)是反映随机变量的平均取值BD(X)越小，说明X越集中于E(X)CE(aXb)aE(X)bDD(aXb)a2D(X)b解析：ABC离散型随机变量的期望反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度，方差越小，说明随机变量的取值越集中于均值；即A、B正确；由期望和方差的性质可得，E(aXb)aE(X)b，D(aXb)a2D(X)，即C正确，D错误故选A、B、C5(多选)设0p1，随机变量的分布列如下表所示，则

6、当p在(0,1)内增大时，下列说法正确的是()012Peq f(1p,2)eq f(1,2)eq f(p,2)AE()减小BE()增大CD()先减小后增大DD()先增大后减小解析：BD由分布列可得：E()0eq f(1p,2)1eq f(1,2)2eq f(p,2)peq f(1,2)，所以当p在(0,1)内增大时，E()增大，故选项B正确；D()eq f(1p,2)eq blc(rc)(avs4alco1(0pf(1,2)2eq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(1pf(1,2)2eq f(p,2)eq blc(rc)(avs4alco1(2pf(1,2)2p2peq f

7、(1,4)eq blc(rc)(avs4alco1(pf(1,2)2eq f(1,2)，所以D()在eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(1,2)上单调递增，在eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，1)上单调递减，先增后减，故选项D正确，故选B、D6已知随机变量X的分布列为X012Peq f(1,3)ab若E(X)1，则E(aXb)_解析：由概率分布列的性质知abeq f(2,3)E(aXb)aE(X)babeq f(2,3)答案：eq f(2,3)7现有10件商品，其中3件瑕疵品7件合格品，若从这10件商品中任取2件，设取到X件瑕疵品，则X的数学期望是_解析：依

8、题意，X的所有可能值是0,1,2，P(X0)eq f(Coal(2,7),Coal(2,10)eq f(7,15)，P(X1)eq f(Coal(1,7)Coal(1,3),Coal(2,10)eq f(7,15)，P(X2)eq f(Coal(2,3),Coal(2,10)eq f(1,15)，E(X)0eq f(7,15)1eq f(7,15)2eq f(1,15)eq f(3,5)，所以X的数学期望是eq f(3,5)答案：eq f(3,5)8(2020浙江高考)盒中有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止设此过程中取到黄球的个数为，

9、则P(0)_，E()_解析：0表示停止取球时没有取到黄球，所以P(0)eq f(1,4)eq f(1,4)eq f(1,3)eq f(1,3)随机变量的所有可能取值为0,1,2，则P(1)eq f(2,4)eq f(1,3)eq f(2,4)eq f(1,3)eq f(1,2)eq f(1,4)eq f(2,3)eq f(1,2)eq f(1,3)，P(2)eq f(2,4)eq f(1,3)eq f(1,2)eq f(1,4)eq f(2,3)eq f(1,2)eq f(2,4)eq f(1,3)eq f(1,2)eq f(2,4)eq f(1,3)eq f(1,2)eq f(1,3)，所以

10、E()0eq f(1,3)1eq f(1,3)2eq f(1,3)1答案：eq f(1,3)19为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念和提高生态环境的保护意识，某校准备成立一个环境保护兴趣小组该校高二年级有男生400人，女生200人；高三年级有男生100人，女生300人现按男、女用分层随机抽样的方法从高二年级中抽取6人，从高三年级中抽取4人，组成环境保护兴趣小组，再从这10人的兴趣小组中抽出4人参加学校的环保知识竞赛(1)设事件A为“选出参加环保知识竞赛的4人中有两个男生、两个女生，而且这两个男生高二、高三年级学生都有”，求事件A发生的概率；(2)用X表示抽取的4人中高三年级女生的人数，求X

11、的分布列及方差解：(1)由题意可得，抽取了高二年级男生4人，女生2人，高三年级男生1人，女生3人所以P(A)eq f(Coal(1,4)Coal(1,1)Coal(2,5),Coal(4,10)eq f(40,210)eq f(4,21)(2)X的可能取值为0,1,2,3，P(X0)eq f(Coal(4,7)Coal(0,3),Coal(4,10)eq f(1,6)，P(X1)eq f(Coal(3,7)Coal(1,3),Coal(4,10)eq f(1,2)，P(X2)eq f(Coal(2,7)Coal(2,3),Coal(4,10)eq f(3,10)，P(X3)eq f(Coal(

12、1,7)Coal(3,3),Coal(4,10)eq f(1,30)，所以X的分布列为X0123Peq f(1,6)eq f(1,2)eq f(3,10)eq f(1,30)所以E(X)0eq f(1,6)1eq f(1,2)2eq f(3,10)3eq f(1,30)eq f(6,5)，所以D(X)eq blc(rc)(avs4alco1(0f(6,5)2eq f(1,6)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(6,5)2eq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(2f(6,5)2eq f(3,10)eq blc(rc)(avs4alco1(3f(6,5)2eq f(

13、1,30)eq f(14,25)B级综合应用10如图所示是一个正方体，现将其六面分别都涂红、蓝、黄、白、绿、紫6种颜色放干后，再切割为125个同样大小的正方体，然后放在足够大的容器内均匀搅拌，若从中随机取出一个小正方体记它的涂有颜色面数为X，则X的均值为()Aeq f(126,125)Beq f(7,5)Ceq f(168,125)Deq f(6,5)解析：D根据题意正方体内部有33327个小正方体没有被涂上颜色，仅有一面被涂上颜色的有6954个，仅有两个面涂上颜色的有31236个，有三个面涂上共有8个，故随机变量X的可能取值为0,1,2,3于是P(X0)eq f(27,125)，P(X1)e

14、q f(54,125)，P(X2)eq f(36,125)，P(X3)eq f(8,125)所以期望为E(X)0eq f(27,125)1eq f(54,125)2eq f(36,125)3eq f(8,125)eq f(150,125)eq f(6,5)故选D11(多选)eq f(1,4)p1，随机变量X的分布列如下，则下列结论正确的有()X012Ppp21pp2AP(X2)的值最大BP(X0)eq f(1,4)，A错误；因为eq f(1,4)p1，所以pp2p(1p)1p，即P(X0)P(X1)，B正确；E(X)(1p)2p22eq blc(rc)(avs4alco1(pf(1,4)2eq

15、 f(7,8)，因为eq f(1,4)p1，所以E(X)随着p的增大而增大，C错误，D正确，故选B、D12一个袋中共有10个大小相同的黑球、白球和红球已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是eq f(2,5)；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是eq f(7,9)，则白球的个数为_；从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为，则随机变量的数学期望E()_解析：设白球的个数为y，从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是eq f(7,9)，则eq f(Coal(2,y)Coal(1,y)Coal(1,10y),Coal(2,10)eq f(7,9) ，化简得y219y700，解得y

16、5或y14(舍)，由题设知的所有取值是0,1,2,3，P(0)eq f(Coal(3,5),Coal(3,10)eq f(1,12)，P(1)eq f(Coal(1,5)Coal(2,5),Coal(3,10)eq f(5,12)，P(2)eq f(Coal(2,5)Coal(1,5),Coal(3,10)eq f(5,12)，P(3)eq f(Coal(3,5),Coal(3,10)eq f(1,12)则随机变量的分布列为0123Peq f(1,12)eq f(5,12)eq f(5,12)eq f(1,12)所以E()eq f(5,12)eq f(5,12)2eq f(1,12)3eq f

17、(3,2)答案：5eq f(3,2)13某投资公司在2023年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为eq f(7,9)和eq f(2,9)；项目二：通信设备据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为eq f(3,5)，eq f(1,3)和eq f(1,15)针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由解：若按“项目一”投资，设获利为X1万元，X1的所有可能取值为30

18、0，150则X1的分布列为X1300150Peq f(7,9)eq f(2,9)E(X1)300eq f(7,9)(150)eq f(2,9)200(万元)，D(X1)(300200)2eq f(7,9)(150200)2eq f(2,9)35 000若按“项目二”投资，设获利X2万元，X2的所有可能取值为500，300,0则X2的分布列为X25003000Peq f(3,5)eq f(1,3)eq f(1,15)E(X2)500eq f(3,5)(300)eq f(1,3)0eq f(1,15)200(万元)，D(X2)(500200)2eq f(3,5)(300200)2eq f(1,3)

19、(0200)2eq f(1,15)140 000E(X1)E(X2)，D(X1)D(X2)，这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥综上所述，建议该投资公司选择项目一投资C级迁移创新14一个射箭运动员在练习时只记射中9环和10环的成绩，未射中9环或10环就以0环记该运动员在练习时射中10环的概率为a，射中9环的概率为b，既未射中9环也未射中10环的概率为c(a，b，c0,1)，如果已知该运动员一次射箭射中环数的期望为9环，则当eq f(10,a)eq f(1,9b)取最小值时，c的值为_解析：由该运动员一次射箭射中环数的期望为9环，得10a9b9，所以eq f(10,a)eq f(1,9b)eq blc(rc)(avs4alco1(f(10,a)f(1,9b)eq blc(rc)(avs4alco1(