线性空间知识小结

1、线性空间知识小结向量组与线性空间1.定义向量组(某些向量的集合)S线性空间：非空集崎数域FV中定义了加法、数乘两种运算(封 闭)八条运算性质:交换律，结合律，加法 协调，数乘协调，加法与数乘协调2.例子矩阵A的行向量组，列向量组F, a1, a 2., a 彻3.不变量秩:r(S)(极大无关组所含向量个数)维数:dim(V)(基所含向量个数)4.代表兀极大无关组*,%.,气G S线性无关S中任意向量可由其线性表示(2) 添加任意一个向量后线性相关基 & ,&，,& G V 12n线性无关V中任意向量可由其线性表示(2)添加任意一个向量后线性相关5.等价命题若 r(S) = r。,七,a g S

2、,则%.,ar g S是极大线性无关组=a%., a r线性无关.o、a g S, a = a a .i=1o* g S, a,aa.,a,线性相关.若 dimV = n , & ,&，,& g V ,则12n& ,&，,&是V的一个基 12n=, &2,S线性无关.o Va g V,a = a& .i=1o Va G V, a,q,&2,勺线性相关.6.重要命题若s1线性无关，S可由s2线性表示， 则S1所含向量个数 s2所含向量个 数且 r(S1) r(S2).若dim V = n,则V中任意n+1个向量必线性相关；V中任意n个线性无关向量都是V的 一个基.(2) V中任意线性无关向量组必

3、可扩 为V的一个基.向量组的等价向量组S1, s2等价Vae S1,a可由S2线性表示，并且VP e S2, P可由S1线性表示O r（S1） = r（S2）,且S1可由S2线性表示。S1与S2的极大无关组等价。S1= S 2向量组等价是等价关系：（1）S1与S2等价；（2）若S与S2等价，则S2与S1等价；（3）若S】与S2等价,S2与S3等价，则S1与S3等价坐标与过渡矩阵坐标：& ,&，,&是V的一个基，对任意 TOC o 1-5 h z 12na e V ,a = a & + a & HF a & = (& ,&，,& )X ,其中 X = (a ,a ,., a )t.112 2n

4、n 12n12 n过渡矩阵a :丑m，丑是v的另一个基，(n ,n，丑)=&,&，,& M,a的第i12n12n12n个列向量是n在基& ,&，,&下的坐标. i12 n同一向量在不同基下的坐标：a = (& ,&，,& )X = (n，n，门)丫，则Y = A-1 x .12n12n度量矩阵的性质：(1) &,&，,&和n ,n，,n分别是v的两个基，(n ,n，,n ) = &,&，,& )a,12n 12n12n12n则a可逆，且笆,&，,& ) = (n ,n，,n )a-1； 12n12n(2)设g ,g ,g 是 v的一个基，且(g ,g ,g ) = (n ,n，,n )b，则1

5、2 n12 n12 n(G，G，,G ) = (&，&，,& )AB ；12n12n 设(n ,n，,n ) = &,&，,& )a，则若&,&，,&是v的一个基,a可逆，则12n12n12nn ,n，,n是v的另一个基.12n子空间定义：称W是V的子空间，若W是V的非空子集；W对于V的加法，数乘封闭.从本质上说子空间就是一个线性空间.运算：V + V = a +a I a g V,a g V ;12121122匕 口 V = a I a g 匕且 aG V .由S张成的子空间S: S中向量所有可能的线性组合构成的子空间.S是包含S的V的最小子空间; dimS= r(S);S的极大无关组是S的

6、基;3.5.(4) V UV 主 V + V ,例 V = (a,0) I a g F, V (0, a )I a g F.但V UV= V + V .1212121212直和：V匕.Vo ZmV中任意向量的表示法唯一o ZmV中零向量的表示法唯 i = 1 ii = 1 ioVnE V = 0,i = 1,2,.,m oV。Z i-1 V ,i = 1,2,.,m-1i E jij=1 joZm V dim = dimZm V o V的基可拼凑成Zm V的基，i = 1,2,.m. TOC o 1-5 h z i=1 ii=1 i ii=1 i注意:V = 0,1 i主j m A VVVi j12mV = V V o V = V + V 且 VV =0121212o V = V + V 且 dim V + dim V = dim( V + V )121212o V n V =0 且 dim 匕 + dim V = dim(V