六年级春季班第8讲：方程与一元一次方程-教师版

1、 / 21 / 21方程与一元一次方程内容分析方程与一元一次方程是初中数学六年级下学期第 2章第1节和第2节的内 容.在预习阶段，本讲主要讲解方程和一元一次方程的相关概念， 方程的解的检 验，一元一次方程的解法.重点在于理解一元一次方程的概念， 熟练掌握一元一 次方程的解法，为后续重点学习一元一次方程的应用做好准备.知识结构模块一：列方程与方程的解知识精讲1、方程及其相关概念(1)未知数：用字母x、y等表示所要求的未知的数量，这些字母称为 未知数；(2)方程：含有未知数的等式叫做 方程；(3)元：在方程中，所含的未知数又称为元；(4)列方程：为了求得未知数，在未知数和已知数之间建立一种等量关系

2、式，就是列方程；(5)项：在方程中，被“+”、“ ”号隔开的每一部分(包括这部分前面的 “ + ”、“ ”号在内)称为一项；如在方程x 2.5 0和2 0中，x、2.5、2、 y都是方程中5 252的一项;（6）系数：在一项中，数字或者表示已知数的字母因数叫做未知数的系数；如x的系数为1,上的系数为 1； 22（7）次数：在一项中，所含有的未知数的指数和称为这一项的次数；如x、 X的次数都是1;（8）常数项：不含未知数的项称为 常数项；如2.5, 2 . 52、方程的解如果未知数所取的某个值能使方程左右两边的值相等，那么这个未知数的值叫做方程的解.例题解析【例1】 判断下列各式，哪些是方程?(

3、1)01 ；(2)2x6 7；(3)y 2y ;(4)2 x7x 3 6 ;(5)5x7；(6)69.14 ；3p2 5；(8)23一；(9)4 31 .xy【难度】【答案】（2）、（ 3）、（ 4）、（ 8）.【解析】（1）、（7）是不等式；（6）、（9）中没有未知数；（5）是代数式；所以只有（2）、（3）、（ 4）、（ 8）是方程.【总结】考察方程的定义：含有未知数的等式叫做方程.【例2】列方程：x与4的差为9;y的3倍的相反数与5的和为10;m的立方与n的平方的商为2;一个正方形的边长为 a厘米，周长为36厘米.【难度】【答案】（1） x 4 9; （2） 3y 5 10; （3） m3

4、 n2 2； （4） 4a 36 .【解析】注意差、和、商等字眼，根据这些字眼可以建立等量关系.【总结】考察方程建立的方法.22【例3】(1)万程3x mn 5 0中，项3x的系数是，次数是；项 f mn的33系数是,次数是 ;常数项是 .【难度】【答案】3, 1,2 , 2, 5.3【解析】考察方程中项的次数、系数、项数等概念.【例4】 检3软2、3是否是方程3x x 3的解.2【难度】【答案】2不是方程的解；且是方程的解.233 【解析】将2、己代入方程3x x 3中，可彳导2不能使得方程成立， 而可使得方程成立. 22【总结】考察方程的解的定义.【例5】 在下列问题中，引入未知数，列出方

5、程： 3(1) 一个数与它的一半的和是 -，求这个数；4(2)甲比乙大5岁，甲、乙两人相加为 35岁，求甲的年龄.【难度】【答案】(1)设这个数为x,可列方程为：x -x 3; 24(2)设甲的年龄为x ,则乙的年龄为x 5,可列方程为：x x 5 35.【解析】设未知数列方程中，一般是求什么设什么，用未知数表示其他的量， 然后再列方程.【总结】考察设未知数列方程.【例6】 检验下列各数是不是方程 7x 1 10 2x的解.(1)x1;(2) x 2 .【难度】【答案】(1)是，(2)不是.【解析】(1)当x 1时，左边 7 118,右边10 2 1 8左边，故x 1是原方程的 解；当x 2时

6、，左边 7 ( 2) 113,右边 10 2(2) 14 左边，故x 2不是原方程的解.【总结】考察方程的解的定义及检验的方法.【例713,1是不是方程4x2 9 2x 7的解？【难度】【答案】1是方程的解；3不是方程的解.【解析】将 3和1代入方程中，可知1可使得方程成立，而3不能使得方程成立.【总结】考察方程的解的定义.【例8】 根据条件，引入未知数列方程：甲数是595,乙数是225,要使甲数为乙数的 4倍，必须从乙数中抽多少数给甲？【难度】【答案】设必须从乙数中抽 x给甲，则可列方程：595 x 4 225 x .【解析】设未知数列方程中，一般是求什么设什么，然后再列方程.【总结】考察设

7、未知数列方程.【例9】 若x = 4是方程5x mx 4的解，求m的值.【难度】【答案】m 4 .【解析】因为x = 4是方程5x mx 4的解，所以x = 4代入方程5x mx 4中可使得方程成 立，所以5 4 4m 4 ,解得：m 4 .【总结】考察方程的解的定义及运用. / 21 / 21【例10根据下列条件列出方程：某区用一批人进行了两次数学竞赛，第一次及格人数是不及格人数的3倍多4人，第二次及格人数增加了 5人，这时及格人数是不及格人数的5倍，一共多少人参加了数学竞赛？【难度】【答案】设第一次不及格人数为x ,可列方程为3x 4 5 5 x 5 .【解析】设第一次不及格人数为 x ,

8、则第一次及格人数为 3x 4 ,则共有x 3x 4 4x 4人参加了数学竞赛；因为第二次及格人数增加了5人，为3x 4 5 3x 9人，则不及格人数减少5人，为x 5人，因为这时及格人数是不及格人数的5倍，所以可列方程3x 9 5x 5 .【总结】考察列未知数列方程.如果求什么设什么不能建立方程，则利用条件“第一次及格 人数是不及格人数的 3倍多4人”中设“是”后面的那个量，然后表示另外的量，进而列出 方程.模块二：一元一次方程及其解法知识精讲1、次方程的概念只含有一个未知数且未知数的次数是一次的方程叫做2、解方程求方程的解的过程叫做解方程.3、次方程的一般步骤去分母;去括号;(3)移项;化成

9、ax b ( a 0)的形式(5)两边同除以未知数的系数，得到方程的解x例题解析【例11】 下列方程中是一元一次方程的是（）2A. 3x y 5B. 3x 5 xC. xy 6 D. 1 xx【难度】【答案】B【解析】A、C答案中有两未知数；D答案中有分式.【总结】考察一元一次方程的概念.只含有一个未知数且未知数的次数是一次的方程叫做 元一次方程.【例12】判断下列方程是否是一元一次方程？如果不是，请说明理由.51） 2 3 5;（2） 3c 1 1 3c； （3） 2x 2;（4） 2；m ，2 2t t 1 6；（6） 3a y 7 ; x 5x 3 x 3x; （8） x a 0 .【难

10、度】【答案】（2）、（ 5）、（7）是一元一次方程；其余均不是一元一次方程.【解析】（1）中没有未知数；（3）是不等式；（4）等式中有分式；（6）、（8）有两个未 知数，所以他们都不是一元一次方程.【总结】考察一元一次方程的定义，注意（2）是关于c的一元一次方程，其解为一切实数.【例13 当a为 时，xa1 8 0是一元一次方程.【难度】【答案】2【解析】由一元一次方程的定义可知：a 1 1,则a 2 .【总结】考察一元一次方程的定义.【例14 下面的做法对不对？如果不对，请指出错在哪里，并将其改正.(1)由 3x 18 9 2x 移项，得 3x 2x 9 18;11(2)由x 12 x 5

11、移项，得 5 12 x -x .55【难度】【答案】(1)错误，移项可得：3x 2x 9+18; (2)正确.【解析】移项后符号要改变.【总结】考察一元一次方程的解法.【例15解方程:(1) 9x 4x 5;【难度】【答案】(1) x 1;3 x(3) 0.5 .0.21 x(2) 3 2 ;2(2) x 9;(3) x 3.1 .【解析】(1)移项可得:9x 4x 5,整理得：5x 5 ,解得：x所以原方程的解为x 1(2)方程左右两边同时乘以2可得：6 1 x 4,移项可得：x 1 4 6 ,解得：x 9 ,所以原方程的解为 x 9(3)方程两边同时乘以 0.2可得:3 x 0.1,去括号

12、得：3 x 0.1, TOC o 1-5 h z 移项可得：x 0.1 3 3.1,所以原方程的解为x 3.1【总结】考察一元一次方程的解法，注意移项要变号.【例 16(1) 口 1 ,则 x =;(2),则 x =;2525 3 x ,则 x =.25【难度】17【答案】(1) x ；(2) x 5；(3) x 10.517【斛析】(1)左右两边同时乘以 10可信：5 x 3 2 ,去括三移项可信：x ；5(2)左右两边同时乘以 10可得：5x3 2x,去括号移项可得：x 5;(3)左右两边同时乘以 10可得：5x 30 2x ,去括号移项可得：x 10 .【总结】考察一元一次方程的解法，注

13、意去分母时每一项都要乘分母的最小公倍数.【例17若关于x的方程xn3 2n 3【难度】【答案】x 7 .【解析】因为方程为一元二次方程，所以解得这个方程的解为 x 7【总结】考察一元一次方程的概念和解法.。是一元一次方程，则这个方程的解为n 3 1 ,则n 2 ,所以方程为x 7 0,【例18】方程1 x 20的解与3x k9的解相同，则k =【难度】【答案】k 6 .【解析】方程1 x 2 0的解为x 3,则方程的解3 x k9为x 3,所以将x 3代入方程3 x k9成立，则33 k 9 ,解得：k 6【总结】考察一元一次方程的解的定义.1x 3的解，贝U a =x 3的解，所以x 1使得

14、方程|a x 22【例19】x 1是方程a x 22【难度】【答案】a -. 3【解析】因为x是方程a x 22 37 成立，所以|a万 2 ,解得:【总结】考察一元一次方程的解的定义，注意对绝对值的正确理解.【例20 当x取何值时，x 2与3x互为相反数？【难度】【答案】x 1 .2【解析】由题意可得：x 2 3x 0,解得：x -.2【总结】考察相反数的定义和一元一次方程的解法. / 21 / 21【例21】解方程:(1) 5x 1 20 x 7x 3 ;(2) 3 x 69 2 2 2 x 45;/0、1111(3) - - - -x 1111 .2 3 4 5【难度】1【答案】(1)

15、x ；(2) x 3；(3) x 205 . TOC o 1-5 h z 4 【解析】(1)去括号得：5x 1 20 x 7x 3,移项可得：5x 20 x 7x 3 1 ,-1-r1 .1整理可得：8x 2,解得：x ,所以原方程的解为 x ;44(2)去括号得：3x 18 18x18 45,移项可得：3x 18x45 ,整理可得:15x 45,解得：x 3,所以方程的解为 x 3;(3)去括号可得:1 111e-/口 1 115”“ x 1 1 1 整理可得：x 11 ,2 3 2042 3 204去括号可得:去括号可得:1x 605121 ,整理可得:11一 x2 6017121,1 x

16、 12017241 ,左右两边同时乘以120 可得：x 85 120,解得：x 205,所以方程的解为x 205 .【总结】考察一元一次方程的解法，注意去括号的方法，先从里面的括号去，一层一层的去 括号.【例22】解方程:(1)x164x 582；【难度】13【答案】(1) x 6;(2) y .19【解析】(1)方程两边同时乘以16 可得：x 2 4x 532,去括号可得:x 8x 10 32,移项可得：x 8x 10 32,整理可得：7x 42 ,解得：x 6 ,所以原方程的解为 x 6;(2)方程两边同时乘以 15可得：30y 5 y 115 3 y 2 ,去括号可得： 30y 5y 5

17、 15 3y 6 ,移项可得： 30y 5y 3y 15 6 51313整理可得：38y 26,解得：y ，所以原方程的解为 y .1919【总结】考察一元一次方程的解法，注意去分母时每一项都要乘分母的最小公倍数.【例23】解方程：(1)4x25 35 x2;(2) 2x 25x220 8x2.【难度】【答案】(1)x8;(2) x 2 .【解析】(1)去括号可得：4x 8 5 35 x 2,移项可得：4x x 35 2 8 5 ,整理可得：5x 40,解得：x 8,所以原方程的解为 x 8;(2)去括号可得：2x 4 5x 10 20 8x 16,移项可得：2x 5x 8x 20 16 4

18、10 ,整理可得：5x 10 ,解得：x 2 ,所以原方程的解为x 2.【总结】考察一元一次方程的解法，括号前面有负号时，去掉括号每一项都要变号.【例24】解方程：一、11 x 2 g30% x；(2) 5%x 31% 12%x 2 .5【难度】【答案】(1) x ;(2) x 33.5【解析】(1)去括号可得：1 0.3x 0.6 0.2x,移项可得：0.3x 0.2x1 0.6,一-44整理可得：0.5x 0.4,解得：x 一，所以原方程的解为 x 一；55(2)两边同时乘以100可得5x 31 12x 200,移项可得：5x 12x 200 31 ,整理可得：7x 231 ,解得：x 3

19、3,所以原方程的解为 x 33.【总结】考察一元一次方程的解法，注意移项时要变号.【例25解方程:(1) 3x-0.53x 51.5 (2)2x0.03650.314 3x0 .0.0228,11(2)2913【解析】(1)两边同时乘以1.5,可得3x 1去括号可得：9x 320 5x 3x 5,移项可得:9x 5x3x 20 5 3,整理可得：11x 28 ,解得：x竺，所以原方程的解为1128一, 11(2)两边同时乘以0.6可得202x130 30 14 3x 0 ,去括号可得：40 x130 42090 x0 ,移项可得：40 x90 x420 130 ,整理可得：130 x290,解

20、得:29 一 、，29 ,所以原方程的解为 x132913【总结】考察次方程的解法，注意去分母时每一项都要乘分母的最小公倍数.【例26】若方程1 2x62x 1 .、一一1与关于x的方程x46x a3-3x的解相同，求a6的值.【解析】方程两边同时乘以12,可得：2 1 2x 4 x 1123 2x去括号可得:4x4x4 12 6x 3 ,移项可得:6x124 ,整理可得：6x 3 ,解得:2x62x 1与关于x的方程46x33x的解相同,所以关于x的方程x6x3a a 3x的解为x 6所以两边同时乘以12 可得：6 4 3 a2a 18 ,去括号可得:6 12 4a 2a 18 ,移项可得:

21、4a2a18 612整理可得:6a 36 ,解得：a【总结】考察次方程的解的定义和具体的解法.【例27】 已知p、q都是素数，并且以x为未知数的一元一次方程px 5q 97的解是1,求代数式p2 q的值.【难度】【答案】p2 q 15.【解析】因为x为未知数的一元一次方程 px 5q 97的解是1,所以p 5q 97 , 则p和5q中必有一个为偶数，当p 2,则5q 95 ,即q 19,所以p2 q 22 1915；当5q为偶数，则q 2, p 87,而87不是质数，与题意矛盾，所以 p2 q 15.【总结】考察一元二次方程的解的定义和素数的定义.【例28解关于x的方程：ax = b.【难度】

22、【答案】见解析.【解析】当a 0时，x -;当a 0, b 0时，方程无解; a当a 0, b 0时，方程的解为任意数.【总结】考察含字母系数的一元一次方程的解法，注意分类讨论. TOC o 1-5 h z 58【例29】 已知关于x的万程-x a -x 142 ,且a为某些自然数时，方程的解为自然数， 25试求自然数a的最小值.【难度】【答案】2.9 97【斛析】由原万程可得：a 一x 142 因为a为自然数，所以一 x 142 ,解得：x 157-,10109因为自然数a取最小值，所以x应取160,此时a 2,所以自然数a的最小值为2.【总结】考察一元一次方程的解法和整除的定义，综合性较强

23、.【例30 若abc = 1,解方程:2 ax2bx2cxab a 1bc b 1ca c 1【解析】因为abc = 1 ,所以原方程可化为2ax2bx2cxab aabcbc b 1ca c 1整理可得：- b2x2bx2cx因为abc = 1 ,2 整理可得：-1 bc bc b 12x 1 b所以 2x 1 bb abc1 b x 2bcxac cbcca c 1即 2x 1 bb 1 bc2cxca c 12cxca c 12x 1即因为abc = 1,所以2x abcbcb 1 ac c整理可得：2x1,【总结】考察随堂检测2x 1 b即b 1 ac cac cbc一1 ，即 2x

24、ac 1 c 1,1 ac c1解得：x万，所以原方程的解为 x2cxca c 11,次方程的解法，本题综合性较强，求解时要注意观察分母与分子之间的【习题1】若2xm 3 5是一元一次方程，则 m的值是【难度】【答案】4.【解析】由一元一次方程的定义可得：m 3 1,则m 4.【总结】考察一元一次方程的概念.【习题2】列方程：梯形的上底为 3,高为5,面积为30,求下底x： 【难度】1【答案】1 3 x 5 30 .2【解析】梯形的面积=（上底+下底）x高+ 2.【总结】考察列方程，注意寻找题目中的等量关系.【习题3】一本书x页，第一天读了全部的过，求x.列出方程，正确的是（A. 6 36 5

25、45x 6C. 36 x 545【难度】【答案】D【解析】一本书x页，第一天读了全部的1还多6页，第二天读了 36页，还有54页没看 5)r 1c ccB. -x 6 36 5451D. -x 6 36 x 545 TOC o 1-5 h z 1还多6页，则第一天读了 3x 6页，进而列出 55方程.【总结】考察设未知数列方程，注意寻找题目中的等量关系.【习题4】方程旦a W 4 x 1的解为x = 3,则a的值为 102【难度】【答案】10.3 2x 43【解析】因为万程 a 4 x 1的解为x = 3,所以 3a 5 8,解得：a 10 .10210【总结】考察一元一次方程解的定义.【习题

26、5】如果方程2x 6 0与方程1 xa 8的解相同，则a= . 2【难度】【答案】a 11 .x a 一【解析】因为方程2x 6 0的解为x 3,所以方程1 8的解为x 3,2一,3 a所以1工一8,两边同时乘以 2可得：23 a 16 ,去括号可得：2 3a 16,移项可得：a 11 .【总结】考察一元一次方程解的定义和解法.3 ,则 x 二【解析】由题意有:3或L_x 3,两边同时乘以2可得：1 x26,解得x 5或x【总结】考察次方程解法，注意两解的分类讨论.【习题7当a = 0,关于x的方程ax = b ()A.有且仅有一个解B.没有解C.有无数个解D.可能没有解，也可能有无数解当b

27、0时，方程有无数个解；当 b 0时,方程无解.考察次方程解法，注意分类讨论.【习题8】解方程:(1)8x 43 4x 32 3x0.91 3y20%20% 320 x320 40% ;0.4x0.50.90.030.030.02x0 .；(2)38E(3)y 160.25； (4)177，(5)【解析】(1)去括号可得：8x整理可得：10 x12x 91 x -2，6x 8,移项可得:所以原方程的解为8x 12x 6x12，4,(2)两边同时乘以30可得:5 5y 127 30y 6 1 3y ,去括号可得：25y5 27 30y6 18y ,移项可得：25y30y 18y 627整理可得：1

28、3y 38,解得：y38,所以原方程的解为 y133813 ；(3)两边同时乘以10可得：2 8 320 x 320 4 ,去括号可得：2 2560 8x1280,移项可得： 8x 1280 2 2560,整理可得：8x 1282,解得:160.25所以原方程的解为(4)去括号可得:160.25 ;1-x 311111 x,整理可得：6331 1x1 3 ?,-1去括号可得：-x18118两边同时乘以18可得：x 1186x移项解得:17x 一7所以原方程的解为17,7，(5)方程可以变化为4x 95x 5 3 2x0,两边同时乘以30可得:6 4x9 15x510 3 2x 0,去括号可得：

29、24x 5415x 75 30 20 x0,整理可得:11x99 ,解得:9,所以原方程的解为x 9 .【总结】考察次方程的解法，注意去分母和去括号的方法.【习题9已知x = 3是方程32的解，n满足关系式2n m求m n的值.【难度】【答案】 刍或“66【解析】因为x = 3是方程2的解,所以左右两边乘以2可得:因为2n m2n1或2n116，n的值为11【总结】考察次方程的解的定义和解法，注意对n的值的分类讨论.【习题10 解方程：a 1 x b 2.【难度】【答案】见解析.【解析】当a 1, b 2时，方程的解为任意数；当a 1, b 2时，方程无解;当a 1时，方程的解为x L2 .

30、a 1【作业2】下列方程中，与方程A. x 3 2x 9C. 2x 6 0【难度】【答案】A【解析】方程2x 15解为x【总结】考察含字母系数的一元一次方程的解法，注意要分类讨论.【作业3】根据下列条件列出方程：甲仓库存粮200吨，乙仓库存粮 70吨.若甲仓库每天运出 15吨粮，乙仓库每天运进25吨，经过多少天，乙仓库的存粮是甲仓库的2倍？【难度】【答案】设经过x天，乙仓库的存粮是甲仓库的2倍，则可列方程为： 2 200 15x70 25x.【解析】列方程解方程，一般求什么设什么.【总结】考察列方程，注意找出题目中的等量关系.【作业4】若4a 9与3a 5互为相反数，则a2 2a 1的值为.【

31、难度】【答案】1【解析】若4a 9与3a 5互为相反数，则 4a 9 3a 5 0,则a 2 ,则a2 2a 1 【总结】考察一元一次方程的解法.【作业5】x = 5是方程2x 6| a的解，则a =【难度】【答案】4【解析】因为x = 5是方程|2x 6 a的解，所以a 4 .【总结】考察方程的解的定义. TOC o 1-5 h z 11【作业6】已知万程3x 8 1x a的解满足x 20,则.4a【难度】271【解析】万程 x 2 0的解为x 2 ,则万程3x 8 x a的解为x 2 ,4 ,1112所以6 8 a ,则a 13一,所以一一.22 a 27【总结】考察方程的解的定义.【作业

32、7】解方程：(1)0.3x 45 0.2x 39；(2)2x 12x 110 x12(4)50%30% y 10.15x 0.40.31.8 8x1.21.3 3x 【答案】(1) x 80; (2)14x -； (3)312;(4)y(5) x 0.1 .【解析】(1)去括号可得:0.6x 8 x159 ,移项整理可得:0.4x 32解得：x 80,所以原方程的解为80;1(2)去括号可得：1x 23ix 3一 一 32,整理可得：-x2解得:一 、，14所以原方程的解为x (3)方程两边同时乘以12,可得:123 2x 14 2x 110 x去括号可得：12 6x8x 4 10 x 1 ,移项整理可得:8x所以原方程的解为x 1 ;2(4)方程两边同时乘以10可得：