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1、4.2 向量内积一、向量内积 1.定义1 设 ， ，称实数为 与 的内积，记作 .内积是向量的一种运算, 可用矩阵乘法表出.引言 基本单位向量组 是n维向量空间 的一组非常漂亮的基, 如二维向量空间 中的 ,不仅数简单,关键是向量的长度为1,并且相互垂直. 我们希望在n维向量空间中也引入向量长度和向量“垂直”的概念.【注】 内积也记为2.内积的性质 （1）（2）（3）内积的对称性（4）【注】与二维、三维几何空间 向量长度计算一致.二、向量长度 1.定义2 设 ，称 为向量 的长度，也称范数，记作 .长度为1的向量称为单位向量.2向量长度的性质（1） ，（2）（3） （柯西不等式），且 线性相关

2、.向量内积与向量长度之间的关系(4) (三角不等式) 【说明】利用性质（2），可以由任意非零向量得到单位向量长度为1的向量，称为向量单位化（或标准化）即 为单位向量. 三、向量正交【注】 正交向量组不含零向量.1定义3 若 ，则称 与 正交. 如果非零向量组 中，向量两两正交，即 , 则称该向量组为正交向量组.性质 1）零向量与任何向量正交； 2）与自己正交的向量只有零向量； 性质 3) 正交向量组线性无关；4) 三角不等式类似于勾股定理例1 已知求一单位向量3 , 使得3 与1 , 2 正交. 解 设 使得即 解此方程组， 由 可知, 则基础解系为 令将其单位化，故 令 c = 1,例2 设 为一非零向量.（1）试证 与 正交的向量全体构成n-1维子空间；（2）如果 ，试求该子空间的一组基.【解析】(1) 设则 为齐次线性方程 的解, 即V是该方程的解集, 前面已证齐次线性方程组的解集构成向量空间.由于 为非零向量, 则秩为1, 故方程的基础解系含n-1个解向量

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