数学物理方法 第一章

1、数学物理方法吴高建南京工业大学理学院概述数学物理方法是物理系物理教育本科的必修课，是衔接数学与物理学的一门重要的基础课程。本课程在高等数学和普通物理学的基础上论述古典数学物理中的常用方法，为后续的理论物理系列课程做准备，打下用数学知识定量解决复杂物理问题的基础。课程的主要特色：在于数学与物理的紧密结合，既具有数学的理论深度和系统性，同时又具有相当的应用性。课程的主要目的是：培养学生用数学语言表述物理问题的能力、综合应用数学知识的能力，提高运算能力。课程的主要内容有：复变函数论和数学物理方程两大部分.参考文献梁昆淼编.数学物理方法，第三版，高等教育出版社，1998年6月 胡嗣柱、倪光炯编，数学物

2、理方法 高等教育出版社。上篇 复变函数论主要内容:复变函数和解析函数复变函数的积分复变函数的级数拉普拉斯变换与傅立叶变换线性常微分方程的级数解法及特殊函数等。第一章 复数与复变函数第一节 复数及运算第二节 复变函数第三节 复变函数的多值性第一节 复数及运算1. 复数的概念复数相等复数形如z=x+iy的数被称为复数，其中x , y均为实数。x=Rez，y=Imz分别为z的实部和虚部，i为虚数单位，其意义为i2=-1z1=z2当且仅当Rez1= Rez2且Imz1= Imz1复平面复数与平面向量一一对应z平面复数z=x+iy虚轴实轴模幅角复数不能比较大小主幅角2 复数的表示代数表示： z=x+iy

3、三角表示：指数表示：注意在三角表示和指数表示下，两个复数相等当且仅当模相等且幅角相差2k3 复数的运算设z1=x1+iy1和 z2=x2+iy2是两个复数加减运算z1 + z2 =(x1 +x2) +i(y1 +y2 )复数加减法满足平行四边形法则，或三角形法则z1 +(- z2)- z2乘法运算两个复数相乘等于它们的模相乘，幅角相加除法运算两个复数相除等于它们的模相除，幅角相减共轭运算复数z=x+iy的共轭复数为z*=x-iy共轭复数为z*是复数z关于实轴的对称点几个重要的计算公式复球面无穷远点例 将 写成三角表达式。例 将 和 写成三角表达式。例 假设 ，y不等于零， ，试证明只有 ， 才

4、是实数。例 将 和 表示成 和 的幂。第二节 复变函数一 区域的概念邻域平面上以z0为中心， 为半径的圆的内部的点所组成的集合，称为z0的 邻域|z-z0|0|z-z0|z0z0开集设G为一平面点集，z0为G中任意一点，如果存在z0的一个邻域，使该邻域的所有点都属于G，那么称z0为G的内点。如果G内的每一个点都是它的内点，那么称G为开集。Gz0区域平面点集D称为一个区域，如果它满足下列两个条件：1. D是开集；2. D是连通的。边界设D为复平面上的一个区域，如果点 p不属于D，但是在 p的任何邻域内都包含有D中的点，这样的点 p称为D的边界点。D的边界点之全体称为D的边界，一般用 来表示。闭区

5、域区域D连同它的边界 一起构成闭区域，记为Dz1z2px yORx yORx yROr1x yR-ROxO yxO y21单连通域与多连通域设B为复平面上的一个区域，如果在其中作一条简单的闭曲线（自身不相交的闭合曲线），而曲线内部总属于B ，则称B为单连通区域，否则称为多连通区域。BB单连通域多连通域二 复变函数的定义复平面上存在一个区域D，若对于D内的每一个复数z，通过某种特定的规则，都和一个或多个复数 与之相对应，则称 为z的函数复变函数。说明1如果z的一个值对应着 的唯一一个值，那么我们称f(z)是单值的；如果z的一个值对应着多个 的值，那么我们称f(z)是多值函数。说明2复变函数 =f

6、(z)可以看作是z平面到 平面上的一个映射。复变函数 =f(z)可以写成 =u(x,y)+iv(x,y)，其中是z=x+iy =f(z)z平面 平面举例求 , 0r1经 变换后在 平面上的图形。z平面平面例 研究复变函数 将z平面上的下列曲线变成 平面的曲线。1）以圆点位圆心，2为半径，在第一象限的圆弧2）倾角为 的直线。3）双曲线 4）双曲线几何意义上复变函数与实变函数的区别实变函数通常可以用几何图形表示出来。复变函数中，z和 均为复数，因此不能通过同一平面或空间来表示复变函数。复变函数的几何意义是：可以看作两个复平面上点集之间的对应。三 复变函数举例基本初等函数指数函数性质根式函数记注意根

7、式函数是多值函数对数函数性质1性质2注意符号lnz与ln|z|，以及Lnz的区别恒等式下列式子不成立三角函数性质周期性恒等式非有界函数反三角函数双曲函数性质1. 以 为周期2. 与正弦函数、余弦函数的关系3. 恒等式注意： 当我们讨论的范围是复变函数范畴内时，|sinz|和|cosz|完全可以大于1。原因是：显然，由于ArgZ的周期性，对于对数函数， Z有无限多个值。而且在复数领域里，Z为负数时，lnz是有意义的！.以z轴作实部,颜色作虚部在这个图像中,为了把不同虚部表示出来,我们将它画成了4个图像,它们分别具有不同的颜色,也就是虚部的值是不同的,而实部的形状则相同.注意,在实轴的正方向,曲面

8、的表现就是我们熟悉的实数的对数函数曲线的图像. 以z轴作虚部,颜色作实部这个图像很像一个螺旋和上一个图像完全不同. 反双曲函数幂函数第三节 复变函数多值性的讨论一、定义：对于自变数z的每一个值，有不止一个函数值w与之相对应，w 便称为z的多值函数。二、1. 多值性n=2,3, 重复前二值两个单值分支2.自变数变化时函数关系的变化处理多值函数时，首先要解决的问题是自变数z与函数w的对应关系，特别是当z连续变化时这种对应关系的可能变化。从 出发，绕红线(含z=0!),绕紫线(不含z = 0!)，3. 支点对于多值函数 w=f(z),如绕某点 z0 一周，函数值 w不复原，而当 z 不绕 z0 点转

9、一圈回到原处时，函数值还原。则称 z0 点为 f(z)的分支点。z 绕支点 n 圈，函数值复原，该支点称为 n-1阶支点。z=0是 的一阶支点。 亦是 一阶支点。因此, 为了完全确定多值函数w=f(z)的函数值w与自变数 z 之间的对应关系, 除了要在某一点z规定函数的对应值,还必须说明z的变化路径!4. 黎曼(Riemann)面单值分支单值分支xyoxyoArg(z)=0Arg(z)=2Arg(z)=2Arg(z)=4平面平面切割线 w1: z 的幅角02, 4 6, 8 10, w2: z 的幅角2 4, 6 8, 10 12, Riemann 面概念：在 Riemann 面上，多值函数变为解析的单值函数，即 z 与 w 是一一对应的。 立方根 的Riemann面对数函数 的Riemann面:无穷多页，支点z=0, z=.Riemann面,支点z=0，abcdef每一Riemann面无限大,对于每组（x,y)对应4个函数，每组（x,y,)(0 8)是单值函数例题指出 多值函数的支点及其阶， 并作黎曼面