数列与其他知识交汇5：数列与解析几何

1、关注公众号“品数学”获取更多干货!数列与解析几何交汇题型总结一、数列”与直线”交汇例题1.取直角坐标系内P(Xi,yi),P2(X2 ,y2)两点，使1,Xi, 7依次成等差数列，1,yi,y2,8依次成等比数列，若P, P2两点关于直线l对称，则直线l的方程为()A - x y 1 0 B . x y 1 0C. x y 7 0 D. 2xy50【解析】Q1 ,得，x2 , 7依次成等差数列，x 3, “ 5Q1 , %, y2 , 8依次成等比数列，%2, y2 4,P(3,2) , P2 (5,4)QP, P2两点关于直线l对称，PP2两点连线的斜率是土N 15 3直线l的斜率是1 ,直

2、线l过点(4,3)直线l的方程是y 31(x 4),即直线l的方程是x y 7 0 ,故选C .【小结】本题根据所给的两个数列，写出数列中出现的字母，即得到两个点的坐标，根据要求的直线与这两个点的连线垂直，求出直线l的斜率，又根据直线过两点连线的中点，根据点斜式写出方程.例题2.已知数歹13,定直线l :(m 3)x (2m4)y m 9 0 ,若(n)在直线l上，则数列1的前13项和为()A. 10B. 21C.39D. 78【分析】由点(n , an)(n N)在直线l:(m 3)x(2m 4)y m 9 0上,可得an黑n黑,即可得到数列an的前13项和.数列”与圆”交汇例题3.已知曲线

3、G的方程为x2 y2 1 ,过平面上一点P作G的两条切线，切点分别为A, Bi且满足 APBi 60 ,记P的轨迹为C2,过一点P2作C2的两条切线，切点分别为A , B2且满足AF2B 60 ,记P2的轨迹为C3,按上述规律一直进行下去，设点An与An 1之间距离的最小值为an,且Sn为数列 的前n项 an和，则满足|Sn 2|工的最小的n为100A. 5B. 6C. 74.同理可得P2的方程C3为：x2 y2 16 .设D. 8【分析】设P(x, y),则|OP | 2|OA | 2 ,可得方程C2：x2 y2A (cos ,sin ) , A2 (2cos ,2sin ),可得|AA|

4、/(Cos2cos )2 (sin 2sin )2,5 4cos(),3 1 2,同理可得：an | AnAn 1 |max 2n 1 2n.可得. an可得数列1的前n项和Sn ,代入| a 2|X , an33 2100由此能求出n .【解析】设P(x,y),则|OR | 2|OA | 2 ,可得方程C2：x2 y2 4.同理可得P2的方程C3为：x2 y2 16.设 A (cos ,sin ) , A2 (2cos ,2sin )| A1A, | J(cos2cos )2 (sin 2sin )2，5 4cos(), 3 12,同理可得：an |AnAn1|max 2n 1 2n.an数

5、列 的前n项和Snan1112I。则满足 |l i焉，解得n”.故选C.例题4,在圆x2 y210 x 2y 1 0内，过点（2,1）有n条弦的长度成等差数列，最短弦长为数列的首项al ，最长弦长为an,若公差d （怜，那么n的取值集合为【分析】先由圆的几何性质，最短时该点与圆心的连线与所在直线垂直，最长时则该直线过圆心，即圆的直径.从而求得首项和末尾项，再由公差的范围求解.【解析】圆x2 y2 10 x 2y 1。即为（x5）2 （y 1）2 25,圆心为（5,1）,半径为5,则最长的弦长为直径,即 an 10 ,最短弦长为2旧32 8 ,即a1anal1 1121Q A 差 d （一,一）

6、,- -3 53 n 1 5n12-9, 10,n为8, 9, 10,故n的取值集合为8最长弦与最短弦的求法，还考查了等差数列的通项公式及不等式问题，体现了知识间的渗透，应用了转化思想.三、数列”与椭圆”交汇22例题5.椭圆亍,1上有n个不同的点P,P2,P3,Pn,椭圆右焦点F,数列1PnF1是公差大于焉的等差数列，则n的最大值为(A. 4036B. 4037C. 4038D. 4039【分析】由椭圆方程求出a、b、e的值，再求出右焦点的坐标、右准线的方程，设P(Xn, %),根据圆锥曲线的统一定义、题意，列出X、xn的不等式，再利用椭圆上点的横坐标范围，解之即可得到n的取值范围，从而得出n

7、的最大值.22【解析】由椭圆-L 1得，a43所以右焦点为F(1,0),离心率设P(Xn, yn) , P到右准线X4的距离为dn 4Xn ,根据圆锥曲线的统一定义得,|PnF |dn11所以 1PnF1 2(4 xn) 2 -xn因为数列| rf|是公差大于差数列,所以 |PnF| |PF | 201P 可得 2X1 化简得普，1n 1 xn ，22019结合椭圆上点的横坐标的范围，得X1 Xn 2a 4 ,所以磊4，解得n 4039，得n的最大值为4038,故选C四、数列”与 抛物线”交汇例题6.对于每个自然数n ,抛物线y (n2 n)x2 (2n 1)x 1与x轴交于A, Bn两点，以

8、|ABn|表示该两点间的距离，则lABi II A2B2IA015B2015I 的值是()A.等2015C.2014B.D.2016201520152016【分析】根据抛物线的解析式，抛物线与X轴交点的横坐标，根据 X轴上两点间的距离公式，得|AnBn| 1 ,再代入计算即可.n n 1【解析】Q抛物线的解析式为y (n2 n)x2 (2n 1)x 1, TOC o 1-5 h z 抛物线与x轴交点坐标为(-,0) , ( , 0), nn 1，“-11| AnBn | 一 , n n 1|AB| | A2B2IIA2015B2015I111111 ,2232015 2016.12015120

9、16 2016故选D .【小结】本题是一道找规律的题目，考查了抛物线与x轴的交点问题，令y 0,方程的两个实数根正好是抛物线与x轴交点的横坐标.五、数列”与双曲线”交汇例题7.已知一簇双曲线En：x2 y2 ()2(n N*,n, 2020),设双曲线巳的左、右焦点分别为七、7, R 2020是双曲线En右支上一动点，三角形 RFn1Fn2的内切圆Gn与x轴切于点儿( , 0),则a 8282020 .【解析】如图所示，设RFm, R、与圆Gn分别切于点B。，根据内切圆的性质可得：|PnBn | |PnAn| , | BnFn111An | , | An2 | |& | ,lAnFn AF 就

10、又点Pn是双曲线En右支上一动点,1Pl Fn1 | |Fn2Pn | 232020 元而8n ( Cn )就.可得:n8n2020可得：31a2a20202020 202120202故答案为:20212例题8.已知数列a。的首项为2, Sn为其前n项和，且Si qS02(q 0,n N*)(1)若a4, a5, a4生成等差数列，求数列a。的通项公式；2(2)设双曲线x2匕1的离心率为en,且e2 3, an2222本 e 2e2 3e3nen .【解析】(1)通过Sni qSn 2, 02 qSn 1 2,两式相减得到an 2 qani, n-1 .说明数列an是首项为2,公比为q的等比数

11、列.通过a4，a5, a4 a5成等差数列，求出q 2 .然后求解通项公式.2 (2)求出双曲线x2 1的离心率en广葺 J1 4q2(n1).然后利用错位相减法，转化求解思念的和 an即可.【解答】解：(1)由已知，S.1qSn2 ,Sn2qSn1 2,两式相减得到an 2 qan 1 , nT .又由S2qS2得至a2qa1,故an1qan对所有nT都成立.所以，数列an是首项为2,公比为q的等比数列.由a4, a5 , a4 a5成等差数列，可得 2a5 a ad a5,所以a5 2a4,故q 2 .所以 an 2 (n N ).(2)由(1)可知，an 2qn1,2 所以双曲线x241

12、的离心率en7 J1 4q2(n1). an所以一2屋3e322一 、 2、ng(1 4) 2(1 4q )2( n 1)n(1 4q )2q22(n 1)、nq )，记 Tn 1 2q 3q22(n 1) /nq CL2-一 2q Tn q 2q(n2(n 1) 2n 国1)q nq S2n得(1q2)Tn2( n 1) q2nnq2nnq2n所以Tn(mY2n / 2nnq 1 q(TT2)(1 q )2nnq(1 q2)1 2n ng2n(n1)2n 1 .所以屋2e222ngenn 2(n 1)2n(n 1)2【小试牛刀】变式1 .已知直线l : ax by c 0 ,若a , b ,

13、 c成等差数列,则当点P(2,1)到直线l的距离最大时,直线l的斜率是.【解析】a, b, c成等差数列，可得a c 2b,即 a 2b c 0,由直线l :ax by c 0 ,可得直线l包过定点M (1, 2),当点P(2,1)到直线l的距离最大时，可得直线l垂直于直线PM ,由直线PM的斜率为L2 3, 2 1则直线l的斜率为1. 3故答案为：1. 3变式2.已知点(sin, an4一)在直线l:yV2x当一2皎上，则数列的前30项的和为【解析】 点(sin, an 2二)在直线l:y24上,244an 2g2 M2sin n ,sinn2的最小正周期为4,取值是1, 0,1, 0的循环

14、，数列4的前30项和:S3030 2 衣 727(10 1 0) 1 059& .故答案为：59位.变式3.椭圆的焦点是Fi( 3, 0)F2(3,0) , P为椭圆上一点，且IF1F2I是|PF1|与IPF2I的等差中项,则椭圆的方程为.【解析】Q椭圆的焦点是Fi( 3, 0)F2(3,0),P为椭圆上一点,且|讦2 |是|PFi |与|PF2|的等差中项,| PF1 | |PF2| 2| F2 | 12 , 2a 12 , 2c 6,即 a 6, c 322b2 36 9 27,椭圆的方程为上 L 1.36 27变式4.已知Sn为数列an的前n项和，点列(n,J)(n N )在直线y x上

15、.n(1)求数歹Ian的通项a(2)求数歹1一的前n项和Tn.anan 1【解析】解：(1)依题意有Sn n即Sn1时时，a1S 1,当n-2时，aSn2n 11时时上式也成立，an 2n 1 ,(2)Tn1anan 1111,1一(2n 1)(2 n 1) 2 2n 1一(1 一)(一 一)(2335 2n 1 2n 11)2(1变式5.已知数列an的前n项和为s , a1 2,1 ) n2n 1 2n 1S 1 3Sn 2 , n N *(1)证明：数列Sn 1为等比数列；(2)已知曲线Cn:x2 (19 an)y2 1,若Cn为椭圆，求n的值;(3)若bn (y)哈(等)，求数列bn的前

16、n项和Tn .【解析】(1)证明：Q Sn13Sn2 ,Sn1 1 3Sn 33(&1),Sn 1是以3为首项，以3为公比的等比数歹1J.(2)解：由(1)可知 与 1 3n，即与 3n 1 ,当 n2 时，anSnSn 1 3n3n12gpi显然当n 1时，上式也成立，故ann 12g3Q 曲线 Cn：x2 (19 an)y21表示椭圆,19 an0 且 19 a2$2$19 ,又 n18(3)解:n 1bn3 glog3 3n 1ng30Tn 1g322g3 3g334c3nng3两边同乘3可得:3Tn1g32g323g33 4g34ng3n ，可得:1 3 32333n 1nng31 n

17、(-n)g3Tn2n 1 n g3n4变式6.已知数列a。的首项为1, &为数列an的前n项和,Sn 1qSn 1 0 ,其中 q 0(1)若a2, a3, 2 4a2成等差数列，求4的通项公式;(2)设双曲线y22 x2 an1的渐近线斜率的绝对值为bn ,若b23,i 1 (b 1)(b 1 1)【解答】解：(1)QSn1 qSn 1, Sn qSn 1 1幻，an 1 qan(n2) , Q & q 1 ,a1 a2 qa1 1 ,Q 口 1 ,a2 qa1 ,Q an 1 qan(n N ) , q 0 ,an为公比是q的等比数列，即 an qn1,Q a2 , a3 , 2 4a2成

18、等差数列，2a3 a2 2 4a2 , 2q2 2 3q(2q 1)(q 2) 0q 2 (舍)，q ；,1 n 1 TOC o 1-5 h z an (2).(2) Q bn , bn (-)n 1 , anq_n 1Q 3,bn 3 .nninbi 13311._i1777177二 (trs1-Tj7T)，i 1 (b1)(bi1 1)i 1 (31)(31)2i 1 (31)(31)i 1 (bi1)(bi 11)3/1111二 (TOTiTi_ 22 301 311311 3213 1133一(一)n22314 20213n 1 12变式7.设双曲线时：x2上31,正项数列xn满足X 1,对任意的n-2,n N* ,都有(xn, V3xn 1)是 上的点.(1)求数列xn的通项公式;、一 11(2)记 Snx1 x2 x