主题1用字母表示数

1、模块二：从算数到代数在小学我们就会用含字母的式子表示数量、数量关系、运算定律和计算公式 ，还可以用字母表示一些特殊图形（三角形，正方形、长方形、平行四边形等）的面积和周长，常用字母表示面积，用字母表示周长。还会根据字母所取值，会求简单的含有字母的式子的值，而且会化简一些简单的式子。主题1 用字母表示数【关键知识衔接】用含有字母的式子表示下列各数量关系。比多3 ；比的3倍多3；与的差的一半；与的和的4.6倍；小敏今年岁，前年小敏几岁；等腰三角形的底角是，这个三角形的顶角多少度；用字母表示正方形的面积和周长。分析：（1）把字母看成已知数，“多”表示加法。（2）把字母看成已知数，“倍”表示乘法，“多

2、”表示加法。（3）把字母看成已知数“差”表示减法。（4）把字母看成已知数，“和”表示加法，“倍”表示乘法。（5）把字母看成已知数。（6）把字母看成已知数，三角形的内角和等于，而且等腰三角形的两个底角相等就可知顶角为。（7）正方形的面积是边长乘以边长，周长等于四条边之和（即边长的4倍）。解：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）设正方形的边长为，周长为，面积为，于是有。方法指导：以上列式时把所有的字母都可以看成已知数，另外还要注意（3）（4）式中的运算顺序哦！像上题这些含有字母的式子都是代数式 ，单独的一个数或一个字母也是代数式。列如：1，等就是代数式 。列代数式时 ，数字

3、与字母，字母与字母相乘，乘号通常用“” 表示或省略不写，并且把数字写在字母的前面，除法运算通常写成分数的形式。列如：（1）和的积不应写成，而应写成或（2）6和的积不应写成或，而应写成或（3）除以10不应写成而应写成。另外还要注意：如果所列代数式是积商形式并且有单位，后面直接跟单位，如果是和差形式并且有单位，要用括号将单位前的式子括起来。用代数式表示下列式子 小亮家去年共用电千瓦时，平均每月用电多少千瓦时，如果每千瓦时的电费为0.5元，小亮去年应该交纳电费多少元 ？把含糖的千克糖水和含糖的千克糖水均匀混合后，试问糖水中糖的重量为多少千克？如果个人天做个零件，照这样的速度计算，那么个人做个零件需要

4、多少天？某船在静水中的速度为每小时千米，水流速度为每小时千米：船顺水航行的速度和逆水航行的速度分别为多少？船顺水航行了小时，船航行了多少路程？船逆水航行了千米，需要多少时间？某商场为了促销，常用打折的办法。某商品原来售价为元，先后两次打折，第一次打八折，第二次打七折，两次打折后的零售价为多少元？比原价便宜多少元？分析：（）一年有个月，每月耗电千瓦时，一共交纳电费元（）这是一道浓度问题。要熟悉浓度、溶液及溶质三者之间的关系“溶质=浓度溶液”，含糖的千克糖水中含糖千克，含糖的千克糖水中含糖千克。因此可知混合后为（）千克（3）由题意知道每个人每天可做个零件，个人一天可做个零件，于是可知需要天（4）这

5、是一道典型试题，要弄清船静水中的速度（即船本身的速度）、水流的速度、船顺（逆）水的速度之间的关系“船顺水的速度=水流的速度+船本身的速度，船逆水的速度=船本身的速度-水流的速度”。熟悉这一点妨可解题。（5）这是一道百分数应用题，对“打几折”的理解很重要，“打八折”表示商品按定价的出售。理解这一点问题就可以解决了。解：（1）千瓦时，元；（2）（）千克；（3）天；（4）千米每小时，千米每小时千米小时；（5）。3 （1）三个连续的整数，中间一个为，另外两个分别为，其中为整数； （2）偶数可以表示为，其中为整数； （3）奇数可以表示为，其中为整数； （4）三个连续的偶数可以表示为:; (5) 三个连续

6、的奇数可以表示为:。【经典例题讲解】例1 用代数式表示下列式子（）比的倍少的数； （）除以的商的倍；（）的平方的和；（）甲数是，比乙数的倍多，则乙数为。解：（1）；（2）；（3）；（4）。方法点拨：这是一道典型的好题，主要考查同学们对数量关系的理解和灵活运用字母表示数并进行推算的能力，把个小题中的字母都看成已知数。（）的表示为，少就是，（）除以的商表示为的倍就是，（）先平方后求和，即（）甲数是，比乙数的倍多，则乙数的倍是，所以乙数是。例 列代数式（）一个长方形的长为，宽是，这个长方形的周长是多少；（）利率为，利息个人所得税的税率为20%。某人存入的本金为元，则到期支出时实得本利和为多少元；（）

7、植树节，小明种树棵数比小聪多，则小聪种树的棵数比小明少； （）已知是两位数，是一位数，把接写在的后面，就成为一个三位数，这个三位数可表示成。解：（）；（）；（）%；（）。方法点拨 ：（）长方形的周长（长宽），即；（）一年期存款的年利息为，扣除利息税之后的利息为，即本利和为；（）由小明种树棵数比小聪多，可以把小明植树看成份，小聪植树看成份，很容易知道小聪种树的棵数比小明少%，；（）任意两位数都可表示为，任意三位数都可表示为等等。即这个三位数可表示为：。例求代数式的值根据下面所给的值，求代数式的值。（） （）解：（）当时，代入代数式中则有（）当时，代入代数式中则有方法点拨：代数式，用字母表示的数量

8、关系，弄清楚代数式的运算顺序“字母的平方与的倍的和再加”，接着用具体的数字替换字母，就可以解决（）（）问题。题后小结：一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算顺序计算得出的结果，叫做代数式的值。例 写出下列代数式表示的实际意义（）一根弹簧长，挂的物体时，弹簧伸长，则表示；（）某超市原来有袋水果，又运进袋。如果每袋水果重千克，则表示；（）一件衣服的进价为元，加上的利润后出售，则表示；（）可以表示；（）可以表示。解：（）挂物体时弹簧的长度；（）超市总共有水果的质量；（）个相加 （）大圆与小圆面积的差。方法点拨：此题和生活紧密联系，这一类题通过字母表示数量关系并列出代数式。把给出的代数式

9、和每小题的实际背景相结合，让我们说出代数式在每一小题中实际意义。例用字母表示图形的面积如图所示：边长为的正方形和边长为的正方形，求图中阴影部分的面积。解： = = = = =方法点拨：主要考查同学们识图及用字母表示图中阴影部分的面积的能力。而图中的影部分不是规则的图形，因此不能直接用面积计算公式，从整体考虑可知：阴影部分的面积=（正方形的面积+正方形的面积）- （三角形的面积+三角形的面积）。【衔接训练】1 填空题：（1）千克玉米售价为元，1千克玉米的售价为 元（2）一辆汽车行走的路程为，所用的时间为，则它的速度为 （3）一个三角形的底边长为，高为，则这个三角形的面积为 （4）比与的和的一半大

10、的数是 （5）由两种本，一种单价是0.3元，另一种单价是0.5元，买这两种本的本数分别是和，问供需 元(6)三个连续自然数，中间的一个是，则其他两个数分别是 2 列代数式（1）与两数差的平方的一半； （2）1与的倒数的差；（3）的平方的3倍与的积的相反数；（4）两数的和的平方与它们的差的平方的和.3说出下列代数式的意义（1） （2） （3） （4）4用代数式表示（1）比的倒数与的倒数的和大的数 ； （2）被整除得的数；（3）被除商余的数 ； （4）比与的积的倒数的倍小的数；（5）两数的平方和除以两数的和的平方。5 列代数式（1）小院里栽下米高的小树苗，以后每年长米，则年后的树的高度；（2）一台

11、电视机成本元，销售价比成本价增加，因库存积压，所以就按销售价的出售，那么每台实际售价为；（3）一根绳长米，第一次用掉了全长的多米，第二次用掉了余下的少2米，最后还剩的米数。6当时，求代数式 的值.7已知为3的倒数，为最大的负整数，求代数式的值. 8兰州某中学为了美化校园，学校决定修建一块长方形草坪，长50米，宽30米，并在草坪上修建如图所示的十字路，小路宽为米，用代数式表示. （1）修建的小路面积为多少平方米. （2）草坪的面积是多少平方米.9用两种方法表示图中由正方形和长方形拼成的图形的面积，你能得aa到一个怎样的结论. 【能力衔接】10 已知时，求的值。11已知时，求代数式的值12 已知，

12、当时，；那么当时，的值等于多少？13你能很快计算出吗？为了解决这个问题，我们来考察个位为5的自然数的平方，任意一个个位为5的自然数都可以写成的形式，于是原题即求的值。为自然数，分析这些简单情况，从中探索其规律，并归纳、猜想出结论。（1）通过计算、探索规律： = = = ；（2）从（1）小题的结果，归纳、猜想得：= ；（3）根据上面的归纳、猜想，请计算出= 。主题2 识别同类项【关键知识衔接】生活中，我们常常把具有相同特征的事物归为一类 ，同学们进到超市买东西时会发现，有蔬菜区，水果区，饮料区，日用百货区等。这样摆放有于顾客短时间找到自己所需物品。在数学中，也是一样的我们知道图形的分类，数的分类

13、等。1把下列数分类，-11.5, -8 , 101 , , , -7， 0。哪些是整数？哪些是分数？哪些是负数？分析：整数包括正整数、0和负整数，分数包括正分数和负分数。解： 1， -8 ，101 ，-7 ，0； ，-11.5 ，；-11.5, -8，-7。2列代数式（1）若正方形的边长为，则正方形的面积是；（2）若一个三角形的边长为，并且这边上的高为，则这个三角形的面积是；（3）若表示有理数，则它的相反数是；（4）长方体的长为，宽为，高为，则长方体的体积为。分析：字母表示数可以简单地描述许多问题中的数量关系。可以反映出事物的一般性。解：（1）（2）（3）（4）上面4个代数式（1）（2）（3）

14、（4）都是由数与字母的乘积组成的，我们把这样的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式。例如 2，-9，等就是单项式。在单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，例如：的系数是，的系数是1，的系数为-1.一个单项式中所有字母指数之和叫做这个单项式的次数，例如：的次数是3，的次数是4，的次数是1. 前面我们学习了用字母表示数量及数量之间的关系，我们一起来看一个代数式： ，它有6个单项式，像这样由几个单项式的和叫做多项式。例如就是一个多项式，它含有6个项，次数最高项的次数为3次，也可以说成为三次六项式。单项式与多项式统称为整式。这个代数式中含有6个项它们分别是。你认为上述代数式中哪些项可以

15、归为一类？结论：与可以归为一类，与可以归为一类，还有与也是一类。像与所含的字母相同（都是）并且的指数都是，的指数都是；同样地，与所含的字母相同，的指数都是，的指数都是。像这样，所含的字母相同，并且相同的字母的指数也相同的项叫做同类项。所有的常数项都是同类项。列如与也是同类项。3指出下列代数式中的同类项（）321325；（）。分析：同类项的概念中“两个相同”的正确理解便可以轻松解题了.解：（）3与2是同类项，2与3是同类项，1与5是同类项（）与是同类项，与是同类项解题后反思：第一要注意同类项概念中的“两个相同”，第二要注意项和符号不能分家。【经典例题讲解】例1 判断下列各代数式是否为单项式，如果

16、不是，请简单说明理由；如果是，请你指出它的系数与次数（1） ； （2） 。解：（1） 不是。因为原代数式中出现了加法运算。（2）是。它的系数为，次数为3.方法点拨：“由数字与字母乘积组成的”就是单项式。（1）不是单项式；（2）是单项式，系数是，次数是3.例2 指出下列多项式的项和次数，并说出是几次几项式（1） （2）解：（1）多项式的项有，次数是2；是二次三项式；（2）多项式的项有，次数是3；是三次四项式。方法点拨：熟悉掌握多项式的项、次数、几次几项式的概念，就容易解题了。例3 下列各组整式中不是同类项的是 （ ）（1）与； （2）与；（3）与 ； （4）与。解：（2）与不是同类项。方法点拨：

17、判断两个是式子是否为同类项，看两点（1）一看字母是否相同（2）二看相同字母的指数是否相同。二者缺一不可。（1）中有相同的字母，并且的指数都为2，的指数都为1，满足以上两点，因此（1）是同类项；（2）中有相同的字母，的指数都是2，但的指数一个是1，另外一是2，不满足以上两点，故不是同类项；（3）中有相同的字母，而且的指数都为1，的指数都为1，因此满足以上两点，是同类项；（4）单独的字母或单独的数也是同类项。判断两个是式子是否为同类项与字母前面的系数无关哦！例4 取何值时与是同类项解：时，与是同类项。方法点拨：代数式中含有两个字母，并且的指数是，的指数是1；代数式中也含有两个字母，且的指数是2，的

18、指数是1。要是它们两个是同类项必须满足“字母相同，相同的字母的指数也相同”，两式中的指数都是1，于是就有的指数都是2，故。例5 去括号 ：某爱好数学队原来有名同学，由于有些同学跟不上进度，走了位同学。后来由于强化集训又有位同学离开爱好数学队，请你用两种方法写出爱好数学队还剩下几位同学，从中你学到了什么？解：或，方法点拨：爱好数学队原来有名同学，第一次走了位同学，第二次走了位同学，还剩下位同学；两次一共走了位同学，还剩下位同学。于是我们会发现=。同学们还知道加法的结合律：，观察两个等式中括号和各项正负号的变化，你能得出什么结论？结论：括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都

19、不改变正负号；括号前面是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉，括号里各项都改变正负号。 我学到了去括号法则：括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不改变正负号；括号前面是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉，括号里各项都改变正负号。去括号很重，在后面的学习过成中经常会用到，去括号可以把式子简化。例如 去括号：（1）（2）（3）（4）例6 添括号：上例中=。从左边到右边是去括号，从右边到左边是添括号，你又会发现什么结论？我们发现去括号和添括号正好相反，请你说一说添括号的法则：所添括号前面是“+”号，括到括号里面的各项都不改变正负号；所添括号前面是“-”号，括到括号里面

20、的各项都改变正负号。例如 添括号：（1）（ ）；（2）（ ）；（3）（ ）。解：（1）；（2）；（3）。方法点拨：（1）（2）利用添括号法则直接添括号，（3）先去括号，再添括号。【衔接训练】1 判断下列说法是否正确（1）单项式既没有系数，也没有次数（2）单项式的系数是3，次数是也是3 。（3）-2010是单项式。（4）单项式的系数是。（5）单项式的系数是-4.2 请你写出的一个同类项。你能写出几个？它本身是自己的同类项吗？3 下列多项式是几次几项式：（1） ； （2）。指出下列多项式的次数与项（1）； （2）；（3）。5 填空（1） ；（2） ；（3） ；（4）（ ）；（5）（ ）；（6）（

21、）-（ ）。6 已知：与是同类项，求代数式的值。7 已知是同类项，求的值？【能力衔接】：8 请你找出下列多项式中的项，并分类9已知：，则 （ ）（A）是同类项 （B）是同类项（C）是同类项 （D）是同类项主题3 合并同类项【关键知识衔接】在小学我们解复杂的应用题时，我们今常用画线段的办法帮助我们来解决问题。学过一条线段为，那么条这样长的线段总长为1 正方形的边长为，则这个正方形的周长为多少？ 分析：正方形的周长是四条边之和解：2小花今年岁，小名今年岁，再过5年，他们的年龄之和是几岁？分析：小花再过5年是（）岁，小名再过5年是岁，容易可知他们俩的年龄之和。解： =岁对于一个代数式中如果有同类项，

22、那么我们可以把这些同类项合并起来，就叫做合并同类项。合并同类项可以使代数式变得更简单。我们可以先用加法的交换律与结合律将同类项结合在一起，再将它们合并起来。例如化简代数式：= =总结合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数保持不变。3合并下列代数式中的同类项（1）（2）分析：先用标记线找出同类项，然后用合并同类项的法则进行合并。解： = = =（2）=方法点拨：合并同类项关键是先找同类项，其次要弄清楚每一项的系数特别要注意像的系数分别为和。一般地系数为和的项都省略不写1。【经典例题讲解】例 1 合并下列各式中的同类项：(1)； （2）；（3）； （4）。解：（1） = =（2）=（利用乘法交换律）=（3）=（4）=（利用加法的交换律）=方法点拨：利用两个相同“字母相同，相同的字母指数也相同”先找出同类项，然后再合并同类项。（1）中是同类项；（2）中是同类项；（3）中是同类项；（4）中是同类项，是同类项。找出同类项之后，把同类项的系数相加减作为同类项的系数。合并同类项的目的在于把式子简化。注意找同类项的时候，利用乘法的交换律把同类项中的字母的顺序化一致。再利用加法的交换律