专题四-无理数及二次根式

1、I专题四无理数及二次根式I考点1无理数（专题一有简单提及过）无理数是非有理数的实数，不能写作两整数之比。假设将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循 环。f即无限不循环的小数,如兀，考点2平方根、算术平方根、立方根（1）平方根：一般地，如果一个数X的平方等于a,即x2=a,那么这个数，就叫做a的平方根（也叫二次方根），一个 正数a的平方根有两个，记作土 Ja o一个正数有两个平方根，它们互为相反数，其中正的平方根就是算术平方根；0的平方根只有一个, 是0;复数无平方根（2）算术平方根：如果一个正数x的平方等于a,即f二a,那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记作Ja 。规定 0

2、的算术平方根是0,即J0=0只有非负数才有算术平方根，而且算术平方根都是非负数；（Ja） 2二a （a20）,有时也逆用这一公（3）开平方：求一个数a的平方根的运算叫做开平方，其中a叫做被开方数且.平方与开平方互为逆运算（4） J a?的性质：Va2= I a | = a （a 20）-a （a VO）（5）立方根：如果一个数x的立方等于a,即x：=a,那么这个数就叫做a的立方根（也叫三次方根）。a的立方根表示为,J a由立方根的定义可以得出，每一个数都有立方根，且只有一个。正数的立方根是正数；0的立方根 是0；负数的立方根是负数。利用这个性质可把负数立方根转化为正数立方根来处理； Va3=a

3、, （3 Va） 3=a,从而有 a，= C Va） 3（6）开平方：求一个数a的立方根的运算叫做开平方，其中a叫做被开方数。开立方与立方互为逆运算。考点3二次根式的运算（1）二次根式：一般地，式子W （a0）叫做二次根式，其中，a叫做被开方数。当吟。时，表示a的算术平方根；当 a小于。时，非二次根式（在一元二次方程求根公式中，假设根号下为负数，那么无实数根），被开方数必须大于或等于0。（2）二次根式的乘、除运算：两个二次根式相乘（除），把被开方数相乘（除），根指数不变，用式子表示为近X Vab （心0, b2o）6 千a=y/ab （心o, bo）二次根式的乘法运算法那么，用语言表达为：两个

4、因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根；二次根 式的除法运算法那么，用语言表达为：两个数的算术平方根的商，等于这两个数商的算术平方根。（3）有理化根式：如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式叫做有理化根式,也称有理化因式。（4）最简二次根式：满足以下两个条件的二次根式叫做最简二次根式被开方数每一个因式都小于2；被开方数不含 分母。（5）同类二次根式：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数 相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。（6）合并同类二次根式：把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。（7）二次根式的加减运算：二

5、次根式的加减就是合并同类项二次根式。合并同类二次根式的方法与合并同类项类似，把同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变。例如：2而+3日二5而；近+4近二5行考点4二次根式的化简a _ x m _ ab _ ab赤 Vbx Vb (痂2 T(1)直接利用二次根式的运算法那么：例： y I1_ a-yfb _a-b历+VF （a + b（a - b （?_（m，a-b利用平方差公式：例：八N f y f1+2血-历-而（1 + -网（1 +回亍=1 + V”（3）利用因式分解：例： 1 +乃一 7b1 +乃一 7b（此题可运用待定系数法便于分子的分解）例题 TOC o 1-5 h z _3

6、-1.以下各数中，3. 14159, 一 0. 131131113-,-兀，25,7,无理数的个数有（）A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个答案：B.在3. 14, V7, Ji和5这四个实数中，无理数是（）A. 3. 14和西 B,兀和FC.,和近 D. n和W答案：D.以下结论，正确的选项是（）A.带根号的数都是无理数_1.假设-5a/2b2与3aby是同类项，那么尸-2C. - 0.019988用科学记数法表示为- 1988X1（）22a b zs r- _i 2一, z-, 一 0. dxjH- yD.在X 3这三个代数式中，只有- 0. 5xy+y2是整式答案：B. 1,

7、2, 3，100这100个自然数的算术平方根和立方根中，无理数的个数有一个无理数.答案:解:Vl2=l, 2M, 32=9,102=100,1, 2, 3，100这100个自然数的算术平方根中,有理数有10个,工无理数有90个；VI =1, 23=8, 3 =27, 4 =64100,1, 2, 3，100这100个自然数的立方根中，有理数有4个，无理数有96个；1, 2, 3，100这100个自然数的算术平方根和立方根中,无理数共有90+96=186个.故答案为：186.4. 9的平方根 ，0.216的立方根 。答案：3 , o. 6.J1&的平方根, 向的立方根 o答案：2, 2.算术平方

8、根等于它本身的数有,立方根等于本身的数有 o答案：0和1, 0和1.假设工2 =256,那么1=,假设/=_216,那么1=o答案：16, -4练习.下面说法中，正确的选项是（）A.无限不循环小数都是无理数B.带根号的数都是无理数C.无理数都是带根号的数D.无限小数都是无理数. （一61的平方根是（）B .36C. 6 D. V6D. 1, 7、D. aWbD.以下命题正确的个数有：（1）荷 = a,（2）J/ = （3）无限小数都是无理数（4）有限小数都是有理数（5）实 TOC o 1-5 h z 数分为正实数和岁实数两类（）A.1个B. 2个C.3个D. 4个. X是（一次）2的平方根，y

9、是64的立方根，那么x+y=（）A. 3B. 7C. 3,.数 a, b,假设 yj（a -b）2 =ba,那么（A. abB. abC. ab.当mVO时，化简业匚的结果是（）mA. -1 B. 1 C. m D. -m.以下计算正确的选项是（）厅A. /16 = 4 B. 3布.-2拒=1 C. 2 C. xT 且 xN210.以下根式中，与百是同类二次根式的是（）A. V6 B. V8 C. V12 D. Vi?11,a 0,那么J? 一2可化简为（）A. -aB. aC. 一3aD. 3a.X二夜，那么代数式上二的值为() X-1A. 2 + /2 B. 2 - /2A. 2 + /2

10、 B. 2 - /2C.22 V2D.3. -的绝对值等于A. 42A. 42B. - -/2C.2D.2.如果尸,2-4+，4一X2 +1,那么2x+y的值是.假设实数M y满足Jx + 2 + (y 一百了 二。,那么肛的值是电以下各数3.5926(2)0.3 呜(4)直-圾(6)f(7)0.3030030001.其中无理数有 . 一，有理数有一 _ (填序号).如果 Jx 4 +(3 + 6)2 =0 那么 x+y=。.如果2 -1和 5一。是一个数加的平方根，那么a =,m =.求以下各式中x的值： 16- -49=0(2)(x-I)2 = 25(2x)3 = -8(2x)3 = -8(42 3)3=2720、20、计算：(1) V12 -2 1+1 y/3 -21 + y/321、先化简，再求值：(!_)x(2_d，其中。=6一3。a- +122、先化简，再求值：(2ab)“一2a(ab) (2a+b”)，其中 a=，5+l, b=3 1.23.:y = J1-8jc + J8x-1 +g,求代( 数不，2+ 2-4+ ?-2的值。 y x V y x24.把(ab)ab化成最简二次根式11 b25.先化简，再求值：11a + b b a(a + h)逐+ 1V5-1其中a