全等三角形讲义

1、全等三角形全等三角形性质图形全等：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即卩平移、.翻折、.旋转前后的图形全等。“全等”用=表示，.读作“全等于”全等三角形的定义：两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，如AABC和ADEF全等时，点A和点D,点B和点E,点C和点F是对应顶点，记作AABC仝ADEF。把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。TOC o 1-5 h z1下列说法：全等图形的形状相同、大小相等；全等三角形的对应边相

2、等；全等三角形的对应角相等；全等三角形的周长、面积分别相等，其中正确的说法为（）A.BC.D.如图，ABD9AACE,则AB的对应边是,ZBAD的对应角是.已知：如图，ABE9AACD,ZB=ZC,则ZAEB二,AE=.如图：ABC9ADCB,AB和DC是对应边，ZA和ZD是对应角，则其它对应边是,对应角是.已知:如图，ABC9ADEF,BCEF,ZA二ZD,BC二EF,则另外两组对应边是,另外两组对应角是.2题3题4题5题三角形全等的条件一（SSS）三角形有六个条件：三条边和三个角如果两个三角形满足上述六个条件中的一个或两个时有几种情形，能否保证两个三角形全等？满足一个条件：只有一条边对应相

3、等；只有一个角对应相等；结论：满足两个条件：两角对应相等；两边对应相等；一边一角对应相等结论：如果两个三角形满足上述六个条件中的三个时，有几种可能的情况？两边一角对应相等B结论：两角一边对应相等结论：三边对应相等结论：三个角对应相等结论：定义：如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等简写为“边边边”,或简记为（S.S.S.）。例1.已知：如图，DE二CE,DF二CF.求证：DEF9ACEF.例2.已知：如图，DA=CB,DB=CA.求证：DAB9ACBA.DC例3.已知：如图AB二CD,AD二BC,求证：ADBC。例4.已知：如图，点A、C、B、D在同一条直线上,AC=BD,A

4、M=CN,BM=DN,求证：AMB9ACND.例6.已知AB二CD,BF二CE,AE二CF,问ABCD吗？例6已知：如图,AB=AE,AC=AD,BC=DE,C,D在BE边上求证:ZCAE=ZDAB.课堂练习：1如图,AB=AD,CB=CD,ZB=30,ZBAD=46，则ZACD的度数是(A.120)D.104B.125C.1272如图，线段AD与BC交于点0,且AC=BD，AD=BC，则下面的结论中不正确的是（A.ABC9ABADB.ZCAB=ZDBAC.OB=OCD.ZC=ZD3如图，AB=CD,BF=DE,E、F是AC上两点，且AE=CF.欲证ZB二ZD,可先运用等式的性质证明AF二，再

5、用“SSS”证明9得到结论.6已知：如图，AB=DC,BD=AC,AC,BD交于0.求证：A0B9AD0C.7如图，已知：AB=AC,BE=CE,E为AD上点，求证：ZBED二ZCED。8已知：如图，A、E、F、B在一条直线上，AC二BD,AE二BF,CF二DE。求证：ADBC课后练习：1工人师傅常用角尺平分任意角，做法如下：如图：ZAOB是一个任意角，在OA、OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M、N重合，过角尺顶点P的射线0P便是ZAOB的平分线。你知道这样做的理由吗？2已知：如图：BE二CF,AB二DE,AC二DF，求证：ABC9ADEF。3如图,AB=AC,BD

6、=CD，求证:Z1=Z2.4已知AC=BD,AE=CF,BE二DF,问AECF吗？10如图，AC=BD，BC=AD，求证：ABC9ABAD.能力提高：1如图，AC=DF,BC=EF,AD=BE,ZBAC=72,ZF=32，则ZABC=2已知：如图，E是AD上的一点，AB二AC,AE二BD,CE二BD+DE.求证：ZB二ZCAE.3如图：AB=DC,BE=CF,AF二DE。求证：ABEADCF;(2)CFBE.4如图，AD二BC,AB二DC.求证：ZA+ZD=180三角形全等的条件二(SAS)定义：如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等简写成“边角边”或简记为(S.A.S

7、.)两边一角对应相等结论：例1.如图，AE二DB,BC二EF,BCEF,求证：ABC9ADEF.c例2.如图，AB=AD,AC=AE,ZBAE=ZDAC，求证：ABC9AADE.例3.已知:如图,AD是BC上的中线，且DF=DE.求证:BECF.例4.如图，已知，等腰RtAOAB中，ZAOB二90。，等腰RtEOF中,ZE0F二90。，连结AE、BF.求证：(1)AE=BF；(2)AE丄BF.例5.如图，在ABE中，AB=AE,AD=AC,ZBAD=ZEAC,BC、DE交于点0.求证：ABC9AAED；（2）OB=OE.课堂练习：TOC o 1-5 h z1在ABC和厶ABC中，要使ABCAB

8、C,需满足条件（）AB=AB,AC=AC,ZB二ZBB.AB=AB,BC=BC,ZA=ZAC.AC=AC,BC=BC,ZC=ZCD.AC=AC,BC=BC,ZC=ZB2如图,在ZAOB的两边上截取AO=BO,在AO和BO上截取CO=DO,连结AD和BC交于点P,则厶A0D9AB0C理由是（）A.ASAB.SASC.AASD.SSS3如图，在ABC和ADEF中，已知AB=DE,BC=EF,根据(SAS)判定ABCADEF，还需的条件是()A.ZA=ZDB.ZB=ZEC.ZC=ZFD.以上三个均可以4.如图,AD二AE,AB二AC,BE、CD交于F,则图中相等的角共有_对，(除去ZDFE=ZBFC

9、)()A.5B.4C.3D.26.如果两个三角形全等,则不正确的是()A.它们的最小角相等B.它们的对应外角相等C.它们是直角三角形D.它们的最长边相等7如图，已知：ABE9AACD,Z1=Z2,ZB=ZC,不正确的等式是()A.AB=ACB.ZBAE=ZCADC.BE=DCD.AD=DE8.下图中全等的三角形是（）A.I和IIB.II和IVC.II和IIID.I和III9如图，已知Z1=Z2,要使ABC9AADE,还需条件（）A.AB二AD,BC=DEB.BC=DE，AC=AEC.ZB=ZD,ZC=ZED.AC=AE,AB=ADADD10已知：ADBC,AD=CB，求证：ADC9ACBA.A

10、D11如图，AABC中，AB=AC,AD平分ZBAC,试说明ABD9AACD.13.如图，已知:AC二DF,ACFD,AE二DB,求证：ABC9ADEF.14.如图，在ABC中,AB=AC,ABAC=40,分别以AB,AC为边作两个等腰直角ABD和ACE,使ZBAD=ZCAE=90.(1)求ZDBC的度数；(2)求证：BD=CE.15如图：AB=AC,AD=AE,AB丄AC,AD丄AE.求证：(1)ZB=ZC,(2)BD=CE16如图ZBAC=ZDAE,ZABD=ZACE,BD二CE。求证：AB二AC。课后练习：1下面各条件中，能使ABC9ADEF的条件的是（A.AB二DE,ZA=ZD,BC=

11、EFAB二BC,ZB=ZE,DE=EFAB二EF,ZA=ZD,AC=DFBC二EF,ZC二ZF,AC二DF2如图，AD,BC相交于点0,OAPD,OBPC.下列结论正确的是（C.ZA=ZCA.AOB竺ADOCB.ABO竺ADOCD.ZB=ZD列结论不正确的有（3如图，已知AB=AC,）AD=AE,ZBAC=ZDAE.A.ZBAD=ZCAEB.ABDAACECAB=BCDBD=CE4.如图所示,ABC与ABDE都是等边三角形,ABCDC.AECDD.无法确定5已知：如图，CE?AB,DF?AB,垂足分别为E,F,AF=BE,且AC=BD,则不正确的结论是（）A.R弋AEC9RtABFDB.如+肝

12、二90C.ZA二ZDD.ACBD.6.如果AABC和ADEF全等，ADEF和AGHI全等，则AABC和厶GHI全等，如果ABC和厶DEF不全等，ADEF和厶GHI全等，则AABC和厶GHI全等.（填“一定”或“不一定”或“一定不”）TOC o 1-5 h z7如图，已知AB丄BD于B，ED丄BD于D，AB=CD，BC=DE，则ZACE二.8已知如图，F在正方形ABCD的边BC边上，E在AB的延长线上，FB=EB，AF交CE于G,则ZAGC的度数是9如图，AABC是不等边三角形，DE=BC，以D，E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作的三角形与AABC全等，这样的三角形最多可以画出个.10.如图

13、，已知AABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中和ABC全等的图形是11.已知：如图,AC=AB,AE=AD,Z1=Z2求证:Z3=Z4O12已知：如图,AB=AC,AE平分ZBAC.求证:ZDBE=ZDCE.13.如图，已知:ADBC,AD二BC.求证:ABCD.14.已知:如图，点B,E,C,F在同一直线上,ABDE，且AB=DE,BE=CF.求证:ACDF.15已知:如图,AD是BC上的中线，且DF=DE.求证:BECF.16如图，在ABC中，D是AB上一点，DF交AC于点E,DE二FE,AE二CE,AB与CF有什么位17如右图，已知DE丄AC,BF丄AC,垂足分别是E、F,AE=

14、CF,DCAB,(1)试证明：DE=BF；(2)连接DF、BE，猜想DF与BE的关系？并证明你的猜想的正确性.DG18.已知如图，B是CE的中点,AD二BC,AB二DC.DE交AB于F点。求证：(1)ADBC(2)AF二BF.19.已知：如图,AC二AB,AE二AD,Z1二Z2.求证：Z3二Z4。能力提高：1.观察下列图形，则第n个图形中三角形的个数是（A.2n+2B.4n+4C.4n-4)第2个D.4n第1个2如图，AD丄AB,CB丄AB,DM二CM二a,AD二h,CB二k,ZAMD=75,ZBMC=45，则AB的长为(k+hC.-2A.aB.kD.h3.已知：如图,AB=AC,AD=AE,

15、ZBAC=ZDAE.求证:BD二CE。4如图已知：AABC和厶BDE是等边三角形，D在AE延长线上。求证：BD+DC二AD。5.已知：如图，BE、CF是AABC的高，分别在射线BE与CF上取点P与Q,使BP二AC,CQ二AB。求证：（1）AQ=AP；（2）AP丄AQ6如图，AABC为等边三角形，点M,N分别在BC,AC上，且BM=CN,AM与BN交于Q点。求7已知C为AB上一点，AACN和ABCM是正三角形.（1）求证:AM二BN；（2）求ZAFN的度数.8如图，已知ABC的边长为1的正三角形，ABDC是顶角ZBDC=120。的等腰三角形，以D为顶点作一个600角，角的两边分别交AB于M,交A

16、C于N,连MN形成AAMN,求证：AAMN的周长等于2。AD9已知在AABC中，ZB=2ZC,AD平分ZA交BC于D点，求证：AC二AB+BD。10.如图，AABC是等腰直角三角形，其中CA=CB，四边形CDEF是正方形，连接AF、BD.观察图形，猜想AF与BD之间有怎样的关系，并证明你的猜想；11五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE二CD,ZABC+ZAED=180，求证：AD平分ZCDE.若将正方形CDEF绕点C按顺时针方向旋转，使正方形CDEF的一边落在AABC的内部,请你画出一个变换后的图形，并对照已知图形标记字母，题(1)中猜想的结论是否仍然成立？若成立，直接写出结论，不必证明

17、；若不成立，请说明理由.三角形全等的条件三、四(ASA,AAS)定义：如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等.简记为“角边角”或简记为(A.S：A：)。.如果两个三角形的两个角及其其中一角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为“角角边”或简记为(A.A.S)两角一边对应相等结论：问题：一块三角形玻璃碎成如图形状4块，配一块与原来一样的三角形玻璃要不要4块都带去？带哪一块呢？带D块，带去了三角形的几个元素？另外几快呢？例1.如图，ZBDA二ZCEA,AE二AD.求证:AB二AC.例2.如图，ZACB=9O0AC=BC,D为AB上一点,AE丄CD,BF丄CD,交

18、CD延长线于F点求证:BF=CE.例3.如图在ABC中，ZACB=90,AC=BC,AE是BC的中线，过点C作CF丄AE于F,过B作BD丄CB交CF的延长线于点D。(1)求证：AE=CD,(2)若BD=5cm，求AC的长。例4.如图：在ABC中，ZACB=90,AC二BC,D是AB上一点，AE丄GD于E,BF丄CD交CD例5.如图，已知在ABC中，AD是角平分线，CF丄AD交AB于F,垂足为M,CEAD交BA的延长线于E,求证：AC=AE=AF0例6.如图，AABC中，ZBAC=900,AB=AC,BD是ZABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E,直线CE交BA的延长线于F.求证：B

19、D=2CE.课堂练习1已知：如图，AC=CD,ZB=ZE=90,AC丄CD,则不正确的结论是（）C.ABC9ACEDD.Z1=Z2A.ZA与ZD互为余角B.ZA=Z22在ABC中，AC=5，中线AD=4，则边AB的取值范围是（）A.1AB9B.3AB13C.5AB13D.9ABZ2的平分线。则Z1与Z2的关系是A.Z1AC,AD是ZBAC的平分线.P是AD上任意一点.求证：AB-AOPB-PC.ABDC例7.如图，ZA+ZD=1800,BE平分ZABC,CE平分ZBCD,点E在AD上.(1)探讨线段AB、CD和BC之间的等量关系；(2)探讨线段BE与CE之间的位置关系.例8.如图，已知在厶AB

20、C中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，延长BE交AC于F,AF二EF,求证：AC=BE.课堂练习：1如图所示，在ABC中，P为BC上一点，PR丄AB于R,PS丄AC于S,AQ=PQ,PR=PS，则下列三个结论中正确的是（）AS=AR:PQAR:厶BRPACSPA.和B.和C.和D.全对TOC o 1-5 h z2如图，AB=AC,BE丄AC于E,CF丄AB于F,BE、CF交于点D,则ABEAACF；CDE；点D在ZBAC的平分线上，以上结论正确的是（）A.B.C.D.3在ABC和厶ABC中，AB=AB;BC二BC;AC=AC:ZA=ZA;ZB=ZB;ZC=ZC;则下列哪组条件不保证厶AB

21、CABC.（）A.B.C.D.4如图，已知点P到BE、BD、AC的距离恰好相等，则点P的位置：在ZB的平分线上；在ZDAC的平分线上；在ZEAC的平分线上；恰是ZB,ZDAC,ZEAC三个角的平分线的交点。上述结论中,正确结论的个数有（）A.1个B.2个C.3个D.4个5.ZAOB的平分线上一点M,M到OA的距离为1.5cm，则M到OB的距离为6如图，ABCD,0是ZBACZACD的平分线的交点，0E丄AC于E,且0E=2，则AB与CD间的距离等于7已知AABC的周长是15,ZABC和ZACB的平分线交于点0,过点0作0D丄BC与点D,且0D=2,求厶ABC的面积。8已知BD=CD,BF丄AC

22、,CE丄AB。求证：D在ZBAC的平分线上.9如图，在ABC中，AD交BC于点D,点E是BC中点，EFAD交CA的延长线于点F,交AB于点G,若BG=CF，求证：AD为ZBAC的角平分线.10.已知ABC,ZB=ZC,D,E分别是AB及AC延长线上的一点，且BD=CE，连接DE交底BC于G，求证GD=GE11.如图，A,B两点位于一个池塘的两端，小丽想用绳子测量A、B间距离，但是绳不够长.你课后练习：1如图，在RtAABC中，ZACB=90,CD、CE，分别是斜边AB上的高与中线，CF是ZACB的平分线。则Z1与Z2的关系是（）2尺规作图作ZAOB的平分线方法如下：以0为圆心，任意长为半径画弧

23、交OA、0B于C、D,再分别以点C、D为圆心，以大于1CD长为半径画弧，两弧交于点P,作射线OP由作法得2TOC o 1-5 h zOCPODP的根据是（）ASASBASACAASDSSS3如图，在ABC中，AC=BC,ZACB=90.AD平分ZBAC,BE丄AD交AC的延长线于F,E为垂足.则结论：AD=BF:CF=CD；AC+CD二AB:BE=CF；BF=2BE，其中正确结论的个数是（）1B.2C.3D.44如图在RtAABC中，ZC=90,BD是ZABC的平分线，交于点D,若CD=n,AB=m,则AABD的面积5已知：如图，ZB二ZDEF,AB=DE，要说明厶ABCDEF,（1）若以“A

24、SA”为依据，还缺条件（2）若以“AAS”为依据，还缺条件（3）若以“SAS”为依据，还缺条件6如图，C为线段AE上动点（不与点A,E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE、AD与BE交于点0,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连结PQ.以下五个结论:AD=BE；PQAE；AP=BQ；DE二DP；ZA0B=60恒成立的结论有（把你认为正确的序号都填上）。.1:27如图，0M平分ZPOQ,MA丄0P,MB丄0Q,A、B为垂足，AB交0M于点N.求证：Z0AB=Z0BAo8已知ZABC=3ZC,Z仁Z2,BE丄AE，求证：AC-AB=2BE.9.已知，如图，在四边形ABCD中

25、，BCAB,AD二DC,BD平分ZABC.求证：ZBAD+ZBCD=180如图：在厶ABC中，ZA=60，ZB，ZC的平分线BE，CF相交于点0。求证：0E=0F。11.已知AMABC的中线,ZAMB,ZAMC的平分线分别交AB于E、交AC于F.求证:BE+CFEF.能力提高：1如图，ABC中，ZC=90,AC=BC,AD是ZBAC的平分线，DE丄AB于E,若AC=10cm,则厶DBE的周长等于（）A10cmB8cmC6cmD9cm2.如图所示，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有()A.1处B.2处C.3处D.4处如图，已知AE平分ZB

26、AC,BE上AE于E,EDAC,ZBAE=36Q那么ZBED二4已知在RtAABC中，ZC=90,AC=BC,AD为ZBAC的平分线，DE丄AB，垂足为C.求证：ADBE的周长等于AB.5如图，在ABC中，D,E分别为AB,AC边中点，连接CD、E并分别延长至F、,使BE二EG,CD二DF,连接FA,GA.求证：AF=AG.6如图：在ABC中，ZC=90,AC=BC,D是AC上一点，AE丄BD交BD的延长线于E,且AE=1BD,2DF丄AB于F。求证：CD二DF。7如图，在四边形ABCD中，AC平分ZBAD,过C作CE丄AB于E,并且ae=j(AB+AD),求ZABC+ZADC的度数。8如图：

27、人。是厶ABC中ZBAC的平分线，过AD的中点E作EF丄AD交BC的延长线于F,连结AF。求证：ZB二ZCAF。9已知ABC中，AB=AC,BD为AB的延长线，且BD=AB,CEABC的AB边上的中线.求证CD=2CE10.如图，已知在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F,AF与EF相等吗？为什么？全等三角形复习一、选择题：1如图，OA=OC,OB=OD，则图中全等三角形共有（）下列各图中，不一定全等的是（）有一个角是45。腰长相等的两个等腰三角形周长相等的两个等边三角形有一个角是100，腰长相等的两个等腰三角形斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形。ABC中，ZC=90,AD为角平分线，BC=32,BD:DC=9:7,则点D到AB的距离为（）A.18cmB.16cmC.14cmD.12cmZM0N的边0M上有两点A、C,ON上有两点B、D,且0A=OB,OC=OD,AD,BC交于E,则厶0AD9A0BC，ACE9ABDE，连0E.则0E平分ZA0B,以上结论（）A.只有一个正确B只有一个不正确C.都正确D都不正