高中数学专题三 数列与不等式 第2讲 数列求和及其综合应用

1、高中数学专题三 数列与不等式 第2讲 数列求和及其综合应用数列 1，6，15，28，45， 中的每一项都可用如图所示的六边形表示出来，故称它们为六边形数，那么第 10 个六边形数为 A 153 B 190 C 231 D 276 已知数列 an 满足 an+1=anan1n2,nN*，a1=1，a2=2，Sn 为数列 an 的前 n 项和，则 S2020 等于 A 3 B 2 C 1 D 0 已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn，公差 d0，a1d1记 b1=S2，bn+1=S2n+2S2n，nN*，下列等式不可能成立的是 A 2a4=a2+a6 B 2b4=b2+b6 C a42=a2

2、a8 D b42=b2b8 数列 an 满足 an+1+1nan=2n1，则 an 的前 60 项和为 A 3690 B 3660 C 1845 D 1830 已知函数 fn=n2,n为奇数n2,n为偶数，且 an=fn+fn+1，则 a1+a2+a3+a8 等于 A 16 B 8 C 8 D 16 已知数列 an 和 bn 的首项均为 1，且 an1ann2，an+1an，数列 bn 的前 n 项和为 Sn，且满足 2SnSn+1+anbn+1=0，则 S2021 等于 A 2021 B 12021 C 4041 D 14041 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn，点 n,Sn+3nN*

3、 在函数 y=32x 的图象上，等比数列 bn 满足 bn+bn+1=annN*，其前 n 项和为 Tn，则下列结论正确的是 A Sn=2Tn B Tn=2bn+1 C Tnan D Tnbn+1 定义在 0,+ 上的函数 fx 满足：当 0 x2 时，fx=2xx2；当 x2 时，fx=3fx2将函数 fx 的极大值点从小到大依次记为 a1，a2，an，并记相应的极大值为 b1，b2，bn，则 a1b1+a2b2+a20b20 的值为 A 19320+1 B 19319+1 C 20319+1 D 20320+1 数列 an 的通项公式为 an=1n+n+1，若该数列的前 k 项之和等于 9

4、，则 k= 设数列 an 满足 a1=1，且 an+1an=n+2n+1nN*，则数列 an 的通项公式 an= ，数列 1anan+1 的前 10 项和为 定义函数 fx=xx，其中 x 表示不超过 x 的最大整数，例如：1.3=1，1.5=2，2=2，当 x0,nnN* 时，fx 的值域为 An记集合 An 中元素的个数为 an，则 1ai1i=22020 的值为 已知数列 an 满足：a1=1，an+1=anan+2nN*bn+1=n21an+1nN*，b1=，且数列 bn 是单调递增数列，则实数 的取值范围是 已知数列 an 满足 2a1+22a2+2nan=3n2+5n2(1) 求

5、a1 的值；(2) 求数列 an 的通项公式；(3) 设数列 an 的前 n 项和为 Sn，求证：Sn7已知数列 an 的前 n 项和 Sn=n2，等比数列 bn 的前 n 项和 Tn 满足 3bn=2Tn+1(1) 求数列 an，bn 的通项公式；(2) 设 cn=anTn，求证：c1+c2+cn2116n+13n答案1. 【答案】B2. 【答案】A3. 【答案】D4. 【答案】D5. 【答案】C6. 【答案】D【解析】由 an1ann2，an+1an 可得 an+1=an，即数列 an 是常数列，又数列 an 的首项为 1，所以 an=1，所以当 SnSn+10 时，2SnSn+1+anb

6、n+1=0 可化为 2SnSn+1+bn+1=0，因为 Sn 为数列 bn 的前 n 项和，所以 2SnSn+1+bn+1=2SnSn+1+Sn+1Sn=0，所以 1Sn+11Sn=2，又 1S1=1b1=1，因此数列 1Sn 是以 1 为首项，2 为公差的等差数列，所以 1Sn=1+2n1=2n1，故 Sn=12n1，即 SnSn+10，所以 S2021=140417. 【答案】D【解析】由题意可得 Sn+3=32n，Sn=32n3，an=SnSn1=32n1n2，当 n=1 时，a1=S1=3213=3，满足上式，所以数列 an 的通项公式为 an=32n1nN*设等比数列 bn 的公比为

7、 q，则 b1qn1+b1qn=32n1，解得 b1=1，q=2，数列 bn 的通项公式为 bn=2n1nN*，由等比数列的求和公式有 Tn=2n1则有 Sn=3Tn，Tn=2bn1，Tnan，Tnbn+18. 【答案】A【解析】由题意，知当 0 xbnn22nn122n1n21221b112223，因此 2313. 【答案】(1) 当 n=1 时，2a1=4，所以 a1=2(2) 当 n2 时，2a1+22a2+2n1an1=3n12+5n12，所以 2nan=3n+1，对 n=1 也成立，所以 an=3n+12n(3) Sn=42+722+1023+3n+12n， 12Sn=422+723

8、+1024+3n+12n+1，所以两式相减得， 12Sn=2+3122+123+12n3n+12n+1=2+31212n3n+12n+1=723n+72n+1. 所以 Sn=73n+72n，故 Sn714. 【答案】(1) 由题意知，Sn=n2，Sn1=n12，n2，所以 an=2n1n2，当 n=1 时，a1=S1=1 满足上式，所以 an=2n1设等比数列 bn 的公比为 q，显然 q1，则 Tn=b11qn1q因为 3bn=2Tn+1，所以 3b1qn1=2b11qn1q+1，整理，得 3b11qqn1=2b1qn+2b1+1q，得 3b11q=2b1q,b1+1q=0. 得 q=3,b

9、1=2. 所以数列 bn 的通项公式为 bn=23n1(2) 方法一由（1）知，an=2n1，Tn=3n1，所以 cn=anTn=2n13n1=2n13n+113n13n+112n13n+13n13n+11=32n1213n113n+11. 所以 c1+c2+cn3213111321+33213211331+32n1213n113n+11=321311+332321321+3523321331+32n1232n3213n132n1213n+11=34+31321+1331+13n132n1213n+11. 又 13n1=3n+113n13n+113n+13n13n+11=3213n113n+11, 所以 1321+1331+13n132132113n+11所以 c1+c2+cn34+92132113n+1132n1213n+11=21163n+13n+112116n+13n. 方法二由（1）知，an