函数幂级数展开式的应用课件

1、第五节 函数幂级数展开式的应用一、近似计算二、计算定积分三、Euler公式四、习题课两类问题:1.给定项数,求近似值并估计精度;2.给出精度,确定项数.关健:通过估计余项,确定精度或项数.一、近似计算常用方法:1.若余项是交错级数,则可用余和的首项来解决;2.若不是交错级数,则放大余和中的各项,使之成为等比级数或其它易求和的级数,从而求出其和.例1解余和:例2解其误差不超过 .解法逐项积分展开成幂级数定积分的近似值被积函数二、计算定积分第四项取前三项作为积分的近似值,得例3解收敛的交错级数复数项级数:三、Euler公式复数项级数绝对收敛的概念三个基本展开式 揭示了三角函数和复变量指数函数之间的

2、一种关系.欧拉公式幂级数 习题课一、主要内容函数项级数幂级数收敛半径R收敛域Taylor级数Taylor展开式幂级数(1) 定义(2) 收敛性对总存在正数使得收敛半径（，）收敛区间注形如的级数，求收敛域的收敛半径原级数的收敛点应先求出原级数的发散点再研究用公式求收敛半径应是的系数，否则可作代换或直接利用检比法或检根法来确定求出收敛半径后必须用常数项级数审敛法判定端点处的敛散性的点的敛散性(3)幂级数的运算a.代数运算性质:b.和函数的分析运算性质:和函数连续，逐项微分，逐项积分收敛半径不变幂级数求和函数利用几个已知的展开式，如通过某些简单运算而求得化成两个幂级数的和，差，积，商作变量代换求导或

3、积分通项形如先微后积通项形如先积后微步骤：求收敛域对进行运算保留所有的运算记号的运算结果要具体算出化成易求和的形式再进行上述运算的逆运算得幂级数展开式(1) 定义(2) 充要条件(3) 唯一性() 展开方法a.直接法(泰勒级数法)步骤: 根据唯一性, 利用常见展开式, 通过变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积分等方法,求展开式.b.间接法() 常见函数展开式() 应用欧拉公式的展开式，并且要十分熟悉几何级数及函数间的微分关系求函数的幂级数展开式，必须相应地写出展开式成立的范围，对于不同类型的函数注意采用不同的展开方法和步骤有理分式化部分分式，利用几何级数展开反三角函数或对数函

4、数先展开其导数，再逐项积分，但此时必须注意积分的下限几个基本初等函数须直接展开，其它函数应尽量采用间接展开，但间接展开法必须牢记注1. 求下列级数的敛散区间:解:(1)当因此级数在端点发散 ,时,时原级数收敛 .故收敛区间为解: 因故收敛区间为级数收敛;一般项不趋于0,级数发散; 例2.解: 分别考虑偶次幂与奇次幂组成的级数极限不存在 原级数 = 其收敛半径注意: 解收敛域令积分例3求和函数求导令求导积分故注意先微后积，收敛域可能扩张先积后微，收敛域可能收缩例4. 求幂级数法1 易求出级数的收敛域为法2先求出收敛区间则设和函数为例5解两边逐项积分例6 求级数和解考虑幂级数由乘以 x 求导再乘以 x再求导注：此题也可按照上例的解法练习:解: (1) 显然 x = 0 时上式也正确,故和函数为而在x0 求下列幂级数的和或和函数：级数发散,(2)显然 x = 0 时, 和为 0 ; 根据和函数的连续性 ,