行列式的计算方法开题报告

1、开题报告信息与计算科学行列式的计算方法一选题的背景、意义1.1选题的背景1行列式的概念最早是由十七世纪日本数学家关孝和提出来的，他在1683年写了一部叫 做解伏题之法的著作，标题的意思是“解行列式问题的方法”，书里对行列式的概念和 它的展开已经有了清楚的叙述。1693年4月，莱布尼茨在写给洛比达的一封信中使用并给出了行列式，并给出方程组 的系数行列式为零的条件。同时代的日本数学家关孝和在其著作解伏题元法中也提出了 行列式的概念与算法。1750年，瑞士数学家克莱姆(G.Cramer，17041752)在其著作线性代数分析导引 中，对行列式的定义和展开法则给出了比较完整、明确的阐述，并给出了现在我

2、们所称的解 线性方程组的克莱姆法则。稍后，数学家贝祖(E.Bezout,17301783)将确定行列式每一 项符号的方法进行了系统化，利用系数行列式概念指出了如何判断一个齐次线性方程组有非 零解。在行列式的发展史上，第一个对行列式理论做出连贯的逻辑的阐述，即把行列式理论 与线性方程组求解相分离的人，是法国数学家范德蒙(A-T.Vandermonde，17351796)。 范德蒙自幼在父亲的知道下学习音乐，但对数学有浓厚的兴趣，后来终于成为法兰西科学院 院士。特别地，他给出了用二阶子式和它们的余子式来展开行列式的法则。就对行列式本身 这一点来说，他是这门理论的奠基人。1772年，拉普拉斯在一篇论

3、文中证明了范德蒙提出 的一些规则，推广了他的展开行列式的方法。继范德蒙之后，在行列式的理论方面，又一位做出突出贡献的就是另一位法国大数学 家柯西。1815年，柯西在一篇论文中给出了行列式的第一个系统的、几乎是近代的处理。 其中主要结果之一是行列式的乘法定理。另外，他第一个把行列式的元素排成方阵，采用双 足标记法；引进了行列式特征方程的术语；给出了相似行列式概念；改进了拉普拉斯的行列 式展开定理并给出了一个证明等。继柯西之后，在行列式理论方面最多产的人就是德国数学家雅可比(J.Jacobi，18041851)，他引进了函数行列式，即“雅可比行列式，指出函数行列式在多重积分的变量替换中的作用，给出

4、了函数行列式的导数公式。雅可比的著名论文论行列式的形成 和性质标志着行列式系统理论的建成。由于行列式在数学分析、几何学、线性方程组理 论、二次型理论等多方面的应用，促使行列式理论自身在19世纪也得到了很大发展。整 个19世纪都有行列式的新结果。除了一般行列式的大量定理之外，还有许多有关特殊行 列式的其他定理都相继得到。1.2选题的意义行列式的应用在消元法、矩阵论、坐标变换，多重积分中的变量替换，解行星运动的 微分方程组、将二次型及二次型束化简为标准型等诸多的问题中都有广泛的应用，然而这些 应用最终都离不开行列式的计算，它是行列式理论中的一个重要问题。超出了代数的范围， 成为解析几何、数学分析、

5、微分方程、概率统计等数学分支的基本工具。行列式是代数学中 线性代数的重要分支，是研究高等代数的一个重要工具。行列式的理论和方法，是研究现代 科学技术的重要方法，在众多的科学技术领域中应用都十分广泛。对行列式在高等数学中的 应用作了总结，初步揭示工科数学两门重要的基础课线性代数与高等数学之间密切的联系。 利用行列式去解决一些问题，使复杂问题简单化，在解决问题方面起到抛砖引玉的效果。二研究的基本内容与拟解决的主要问题2.1行列式的定义34行列式在数学中，是一个函数，其定义域x的矩阵A，取值为一个标量，写作 det(A)或I A I。行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中 的推广

6、。或者说，在n维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。由n个数组成n阶行列式等于所有取自不同行列的元素的乘积的代数和记作：简记作aiia21a12a22anan= （一1*（叩2 p）a a 圮a2p2npna：n1a：n 2a：nndet(aj或D，数 a,.称为行列式D的元素。其中pp p是一个n阶排列，t (ppp )为这个排列的逆序数。1 2 n1 2 nn个元素的乘积的代数和D = (-1)t(PP2 pn)a a a1P1 2 P2nPn1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的；2、n阶行列式由n项的代数

7、和3、n阶行列式的每项都是位于不同行、不同列n个元素的乘积;4、每项a1 % a的符号为（一1*叩2 pn5、一阶行列式|i| = a不要与绝对值记号相混淆. alnjpn的逆定理n阶行列式det （a.）的一般项可记为（一母 z）+T j j）a ayi j l2 j其中ll l 与jj j均是邠介排列。1 2 n 1 2 n2.2行列式的性质5,6,7性质1行列式与它的转置行列式相等.性质2互换行列式的两行（列），行列式变号.证明：设行列式D= (T)a1p ajp anp t为排列七 序数”r. D = (T)气a a a J 11P1jp.%np-T (p1 PpPn）与T 3； pj

8、 pi pn ）的奇偶性不同。于是D1 = -D-推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.性质3行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k,等于用数k乘此行列式 推论 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面.推论 行列式中如果有一行（列）元素等于零，则此行列式的值为零.性质4若行列式中有两行（列）元素成比例，则此行列式的值等于零性质5行列式具有分列（行）相加性.注:如果行列式的某一行（列）所有元素都是两个项的和，则此行列式等于两个行列式的和，具体如下：即D =a11a21a12a22(a + a ) (a + a )a1na2 nan1an 2(a :

9、+ a) a nn 则行列式等于下列两个行列式之和：a11a1ia a.1n11a.1i a a2ia1nDa=21a2ia a2 n + 21a2 nan1 ani a annn1 . r .ani ann性质6把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变.C + kc (r + kr )aaaa111i1 j1naaaa212i2 j2 n a:aaan1 , ni . nj , nna (a + ka )aac+ kcr(a： +4)a：a： j 咯(a”气)九a定理1函数det: M 2x2( F) F是2 x 2的矩阵当一列固定不变时是另一行

10、的线性函数。也就是，如果p,v,3det在F中，K是，一个数值，那么，+KV )=detO+K det()333det( 3)= detd det。)日+KV口V .定理2 9交换行列式中的第r行跟第i行将改变行列式符det(P (r, s) A)= - det A号。类似的交换行列式的第r列跟第i列也改变行列式的符号。那就是det(AP (r, s )= 一 det A, r 丰 s2.3行列式的计算方法与运用2.3.1分块矩阵的初等变换在行列式中的应用分块矩阵是在处理基数较高的矩阵时所采用的一种方法，即把一个大矩阵看成是由一些 小矩阵构成，就如矩阵由数构成的一样。特别在运算中把这些小矩阵当

11、成数来处理，这就是 所谓的分块矩阵。用广义初等矩阵所作的分块矩阵的初等变换，是矩阵运算中极为重要的手段，它能够使 一些困难的问题变得容易处理。下面分别给出它在矩阵的行列式、矩阵求逆、矩阵的秩和矩 阵特征值等方面的应用。公式1设A为n阶可逆矩阵，以,6为两个n维向量，=|A| (1 +Py A-ia)公式2 设A为n阶可逆矩阵，其中B 1为n X 2阶矩阵，B 2为2 * n阶矩阵，则A + BB1 2=|A|E2 + B2 A-1B1 .公式3设A为n阶可逆矩阵，U，V均为n维向量，A *为A的伴随矩阵，Vt为V的转置，则 A + UVt = |A| + VtA*U公式4换元公式n ._A =

12、 D + txi=1j=12.3.2范德蒙行列式的应用有.11 HYPERLINK l bookmark7 o Current Document aa12形如行列式d = a12a22anan2称为n阶的范德蒙行列式。a n-1a n-112a n-12用连乘号，这个结果可以简写为:11aa12a 2a212a n-1a n-112(a - a )ij1 j i na n-1由这个结果立即得出：范德蒙行列式为零的充分必要条件ai，a2，an，这n个数中至少有两个相等。2.3.3 Laplace 展开 口。】 所谓Laplace展开定理就是指，如果在n阶行列式中任意选定k行（列），1 k n 一

13、 1,则出现在这k行（列）中一切k阶子式与它们相应的代数余子式的乘积之和等于原行列式。2.3.4化成三角形行列式法35,7先把行列式的某一行（列）全部化为，再利用该行（列）把行列式化为三角形行列式， 从而求出它的值，这是因为所求行列式有如下特点：1）各行元素之和相等；2）各列元素除 一个以外也相等。2.3.5行列式乘积法在行列式中 如果每个元素都可分解为乘积之和G b + a b + a b ）的在行列式中，如果每|元素都可 分解牛为乘积之和 i1 1 j i2 2 jin nj 的形式，那么该行列式就可转化为两个矩阵乘积的行列式，只要分解的这两个矩阵的行列式比 较容易计算，则可由公式|A|

14、= A B计算出原行列式的值。.2.3.6待定系数法11此方法是数学中的重要方法，它是对数学问题，根据求解问题的固有特征，可转化为一 个含有待定系数的恒等式，然后利用恒等式性质求出未知系数，从而获得问题解决的方法， 用待定系数法求行列式的思想是：若行列式中含有未定示，则行列式一定是关于x的一个 多项式，且当取某些值，如x=a能够使行列式的值为零，根据多项式整除理论，则行列一定 可以被x- a这个线性因子整除，即行列式的表达式里应该含有该因子，如果可以找出行列 式的所有因子，求出待定常数即可得到行列式的值。2.3.7加边法mi一般计算行列式，是将其进行降阶，但对于某些行列式，我们可以反过来，在保

15、持原行 列式值不变的基础上再加上一行一列（增加的一行一列元素一般是由1和0构成），把n阶 行列式转化为n+1阶行列式，只要巧妙地选取气，X2，七，结合行列式的性质，便可计 算出行列式的值。三 研究的方法与技术路线、研究难点，预期达到的目标 3.1研究方法与技术路线主要是以查阅资料,以现有的知识水平，充分理解掌握行列式的定义、行列式的性质、 行列式的展开计算以及行列式的简单应用，结合其它人所做的行列式的计算和应用方面的相 关研究文献，大量阅读分析这些行列式计算的相关文献，结合一些相对复杂的高阶行列式的 具体计算来探讨行列式的计算方法，并对行列式的计算方法进行总结归纳升华。3.2研究难点（1）需要

16、加强代数学知识的学习，除了行列式章节知识；也需要熟练掌握三角行列式等 一些特殊行列式的计算结果;矩阵的初等变换和分块矩阵理论和特征值和特征向量理论等也 有助于行列式的计算。（2）行列式的计算相对来说是代数学中的一个重点和难点，要充分理解掌握其中的知识 有很大的难度，特别是哪些高阶的不规整的行列式的计算，计算量比较大，如何做到降阶或 者采用数学归纳法等需要对行列式的性质有较好的把握才能灵活运用以达到一题多解和快 速求解。（3）该论题需要把一些其它学科知识融入到行列式的计算之中，比如：利用微积分法， 利用幂级数变换、待定系数法、差分方程求解多项式行列式等等，这些要求对其它学科知识 掌握的比较好。3

17、.3预期达到的目标通过这次论文的撰写更好的掌握行列式的知识，包括行列式的历史背景，行列式的定 义和性质以及行列式的一些应用；能更深的理解和领悟有关行列式的计算和应用等方面的文 献著作，能较好的计算一些较复杂的行列式。掌握参考文献资料的查找方法和论文写作的基 本要求和技巧，培养自己利用所学知识分析和解决问题的能力，从而提高自己对所学多学科 知识融会贯通的能力。四、论文详细工作进度和安排第一阶段（2010年11月5日一2011年1月10日）: 确定毕业论文题目，查阅文献，收集相关信息、资料。完成文献检索、开题报告及外文翻译 的初稿。第二阶段（2011年1月10日一2011年3月11日）：完成毕业论

18、文的数据收集、论文初稿。第三阶段（2011年3月11日一2011年5月3日）：进入实习单位进行毕业实习，对论文进行修改，将完成毕业论文交给指导教师审阅。第四阶段（2011年5月23日一2011年5月28日）：准备并进行毕业论文答辩。五、主要参考文献：罗定职业技术学院高等代数精品课程.行列式的发展史OL.网址： HYPERLINK 30/xnjpkc/gdds/kewyd_3.htm 30/xnjpkc/gdds/kewyd 3.htm 2008,9.数学论文论坛（行列式的计算与应用）OL.网址： HYPERLINK /%CE%D2%B0%AE%C1%F5%BA%A3%B6%F9/blog/item/20f0af8b9a3e97 /%CE%D2%B0%AE%C1%F5%BA%A3%B6%F9/blog/item/20f0af8b9a3e97 d0fd1f1049.html 2007.10.陈宝谦，张源.线性代数（经济数学基础2）M.天津:天津大学出版社.P广55.同济大学数学教研室编.线性代数M.北京:高等教育出版.1989,6.刘剑平，施劲松,曹宵临.线性代数M.上海：华东理工大学出版a.2004,8.P4176.李启文，谢季坚.线性代数内容、方法与技巧M.武汉：华中科技大学出版社.2003,9.P广