控制工程基础第5章控制系统的频域分析课件

1、 时域分析法直观、准确控制系统的时域分析法是研究系统在典型输入信号作用的性能，对于一阶、二阶系统可以快速、直接地求出输出的时域表达式、绘制出响应曲线，从而利用时域指标直接评价系统的性能。缺点：1. 分析高阶系统非常繁琐2.当某些系统工作机理不明了时，数学模型难以确定，因而无法分析系统性能。3.系统的响应不能满足技术要求时，不容易确定应该如何调整系统来获得预期效果。第5章 控制系统的频率特性频域法是利用频率特性研究自动控制系统的一种古典方法，它有如下特点：1) 频率特性有明确的物理意义，很多元件的这一特性都可以用实验的方法确定，这对难于分析其物理规律来列出微分方程的元部件和系统，有很重要的工程实

2、际意义。2) 频率特性分析法不仅适用于线性系统，而且可以推广到某些非线性系统。3) 应用Nyquist(奈奎斯特)稳定性判据，可以根据系统的开环频率特性，研究闭环系统的稳定性，而不必求特征方程的根。5.1 频率特性的基本概念及表示方法 5.2 极坐标图 5.3 对数坐标图5.4 乃氏稳定性判据5.5 控制系统的稳定裕量复数相加（减）：两个复数的实部和虚部分别相加得和（差）的实部和虚部。 如：复数相乘（除）：积的幅值等于两个复数幅值的乘积（商），相角等于两个复数相角的和（差）。 如：复数分母有理化 分子和分母同时乘上分母的共轭复数。 如： 5.1.1 频率响应 频率响应是控制系统对正弦输入信号的

3、稳态响应。5.1 频率特性的基本概念示例：如图所示一阶RC网络，ui(t)与uo(t)分别为输入与输出信号RC RC网络ui(t)u0(t)i(t)G(s)= ui(t)=Uisin t输入信号为 ui(t)=Uisin t输出与输入相位差为： = -arctanT稳态输出与输入幅值比为： 即一个稳定的线性定常系统，在正弦信号的作用下，稳态时输出仍是一个与输入同频率的正弦信号，且稳态输出的幅值与相位是输入正弦信号频率的函数。对于稳定的线性定常系统（或元件），当输入信号为正弦信号r（t）=Rsint 时，过渡过程结束后，系统的稳态输出必为 Css（t）=ARsin（t+）线性定常系统G（s）Rs

4、intRAsin（t+）0t5.1.2 频率特性的定义1、基本概念 线性定常系统（或元件）在零初始条件下，当输入信号的频率在0的范围内连续变化时，系统稳态输出与输入信号的幅值比A与相位差随输入频率变化而呈现的变化规律为系统的频率特性。 A（）与（） A（）反映幅值比随频率变化的规律，称为幅频特性（）反映相位差随频率而变化的规律，称为相频特性2、频率特性的复数表示方法 对于线性定常系统，当输入一个正弦信号r（t）=Rsint时，则系统的稳态输出必为Css（t）= A()Rsin（t+（） 由于输入、输出信号均为正弦信号，因此可以利用电路理论将其表示为复数形式，则输入输出之比为 G（j）=G（j）

5、ejG（j）=A（）ej 指数表示法G（j）=A() () 幅角表示法G（j）=U（）+jV（）实部虚部表示法U（）称为实频特性，V（）称为虚频特性。U()V()输出信号的拉氏变换为：为简化分析，假定系统的特征根全为不相等的负实根。输入信号为 r(t)=Rsint设n阶系统的传递函数为BD3、由传递函数求取频率特性css(t) =Be-jt+Dejt 系数B和D由留数定理确定，可以求出其中同理 A()= | G（j）|= | G（s）| s=j ()=G（j）系统的频率特性为 G（j）= G（s）|s=j= A()ej 重要对于上例所举的一阶电路，其幅频特性和相频特性的表达式分别为：A（）=

6、（）= -arctanTRC RC网络ui(t)u0(t)i(t)G(s)= 例：已知单位负反馈系统的开环传递函数为 当输入信号为r（t）=sin2t时，求闭环系统的稳态输出。解：系统的闭环传递函数与频率特性分别为 G(s) 在系统的输入端加入一定幅值的正弦信号，稳定后系统的输出也是正弦信号，记录不同频率的输入、输出的幅值和相位，即可求得系统的频率特性。正弦函数发生器被测系统0显示记录仪器4、频率特性的实验求取方法 w=1w=101、根据定义求取 输出稳态分量与输入正弦量的复数比。2、根据传递函数求取 s=j代入系统的传递函数。3、通过实验的方法直接测得频率特性的求取方法：系统模型间的关系1.

7、幅相频率特性曲线（奈氏曲线），图形常用名为奈奎斯特图或奈氏图，坐标系为极坐标。奈氏图反映A()与 ()随变化的规律。2.对数频率特性曲线，包括： 对数幅频特性曲线和对数相频特性曲线。图形常用名为对数坐标图或波德图，坐标系为半对数坐标。波德图反映L()=20lg A()与 ()随lg变化的规律。3.对数幅相频率特性曲线，图形常用名尼柯尔斯图或对数幅相图，坐标系为对数幅相坐标。尼柯尔斯图反映L()=20lg A()随 ()的变化规律，主要用于求取闭环频率特性。 5.1.3 常用频率特性曲线 5.2.1 幅相频率特性曲线（奈氏图）基本概念系统的频率特性表达式为 G（j）=A（）ej 对于某一特定频率

8、i下的G（ji）总可以用复平面上的一个向量与之对应，该向量的长度为A（i），与正实轴的夹角为（i）。5.2 极坐标图 0映射相角正向：逆时针为正 绘制奈氏图的坐标系是极坐标与直角坐标系的重合。取极点为直角坐标的原点,极坐标轴为直角坐标的实轴。 在绘制奈氏图时，常把作为参变量，标在曲线旁边，并用箭头表示频率增大时曲线的变化轨迹，以便更清楚地看出该系统频率特性的变化规律。5.2.2典型环节的奈氏图 1、比例环节 用j替换s，可求得比例环节的频率特性表达式为 G(j)=KImRe0K0 比例环节的幅相频率特性 传递函数为 ：G(s)=K幅频特性A()= | K |= K相频特性（）=0 比例环节的幅

9、频特性、相频特性均与频率无关。所以当由0变到,G(j)始终为实轴上一点，说明比例环节可以完全、真实地复现任何频率的输入信号，幅值上有放大或衰减作用；()=0,表示输出与输入同相位，既不超前也不滞后。2、积分环节 积分环节的传递函数为积分环节的频率特性为幅频特性为 A()=|1/|=1/ ，与角频率成反比相频特性为()=-9000Re 积分环节的幅相频率特性Im3、微分环节理想微分环节的传递函数为 G(s)=s频率特性为 G(j)=j故幅频特性为: A()=|=，与成正比。相频特性为 ： ()=90。4、惯性环节 根据实频特性与虚频特性表达式，可以判断出实频特性恒0，而虚频特性恒0，由此可见惯性

10、环节的奈氏图必在坐标系的第四象限。 当从0变到 时,可以根据幅频特性与相频特性表达式描点绘制奈氏图，例如可以绘出三个点， 是一个位于第四象限的半圆，圆心为(1/2,0),直径为1。 若惯性环节的比例系数变为K，则幅频特性成比例扩大K倍，而相频特性保持不变，即奈氏图仍为一个半圆，但圆心为(K/2,0),直径为K。 由惯性环节的奈氏图可知，惯性环节为低通滤波器，且输出滞后于输入，相位滞后范围为 0- 90。5、一阶微分环节 可见一阶微分环节的实频特性恒为1，而虚频特性与输入频率成正比。 当从0变到时,可以根据幅频特性与相频特性表达式描点绘制奈氏图，可以绘出三个点，见表G(s)=(s+1)()=ar

11、ctan() 由一阶微分环节的奈氏图可知，一阶微分环节具有放大高频信号的作用，输入频率越大，放大倍数越大；且输出超前于输入，相位超前范围为090，输出对输入有提前性、预见性作用。 一阶微分环节的典型实例是控制工程中常用的比例微分控制器（PD控制器），PD控制器常用于改善二阶系统的动态性能，但存在放大高频干扰信号的问题。根据这些数据绘出幅相频率特性，是平行于正虚轴向上无穷延伸的直线。6、二阶振荡环节 以为参变量,计算不同频率时的幅值和相角, 其中几个重要的特征点见表。 可以判断出虚频特性恒0，故曲线必位于第三与第四象限。0ReG(j)ImG(j)1BB:振荡环节G(j) 在极坐标上画出由0变到时

12、的矢量端点的轨迹,便可得到振荡环节的幅相频率特性,如图所示，且12。且振荡环节与负虚轴的交点频率为=1/T，幅值为1/(2)。 由奈氏图可知，振荡环节具有相位滞后的作用，输出滞后于输入的范围为0-180；同时的取值对曲线形状的影响较大.7、延迟环节01 =时，()=-，即输出相位滞后输入为无穷大。当从0连续变化至时，奈氏曲线沿原点作半径为1的无穷次旋转，越大，转动速度越大。 故延迟环节的奈氏图是一个以原点为圆心,半径为1的圆。即延迟环节可以不失真地复现任何频率的输入信号，但输出滞后于输入，而且输入信号频率越高，延迟环节的输出滞后就越大。例 绘制 频率特性极坐标图解：手工绘制 用计算机绘制5.2

13、.3 乃氏图的绘制 00.51210A ()17.914.21.10.070 ()-90-119.4-140.7-164.73-219.4-270用matlab画乃氏图num=10;den=0.1 1.1 1 0;nyquist(num,den)axis(-15,0,-2,2)% grid% title(Nyquist Plot of G(s)=10/s(s+1)(0.1s+1)系统的幅频特性是的偶函数，而相频特性是的奇函数，即G（j）与G（-j）互为共轭。因此，假定可为负数，当在-0的范围内连续变化时，相应的奈氏图曲线G（j）必然与G（-j）对称于实轴乃氏图的一般绘制步骤1. 用j代替s，求

14、出频率特性G（j）2. 求出幅频特性A()与相频特性（）的表达式，也可求出实频特性与虚频特性，帮助判断G（j）所在的象限。3. 在0的范围内选取不同的，根据A()与（）表达式计算出对应值，在坐标图上描出对应的向量G（j），将所有G（j）的端点连接描出光滑的曲线即可得到所求的奈氏曲线。0jVU0.670jVU15.2.4 乃氏图的一般规律：K1、低频段002、高频段 例0jVU5.3.1 对数频率特性曲线基本概念 对数坐标图（Bode图）将幅频和相频特性分别画在两张图上，用半对数坐标纸绘制，频率坐标按对数分度，幅值和相角坐标则以线性分度。 1. 伯德（ Bode ）图的构成 对数幅频特性图的横坐

15、标是对 取以10为底的对数进行分度的。5.3 对数坐标图00.11101002040-20单位：dB00.1110100十倍频程十倍频程十倍频程十倍频程十倍频程十倍频程 纵坐标是用幅值分贝(dB)数进行分度，用L()=20 lgA()表示。 对数相频特性图的横坐标分度方法同对数幅频特性，而纵坐标则对相角进行线性分度，单位为度（o） ,仍用 ( )表示。0.1110100 / (rads-1)230.10.21210201000db20db40db-20db-40dbL()对数坐标系G(j)=G1(j)G2(j)Gn(j)= A()ej() 式中 A()=A1()A2()An()； () = 1

16、() + 2() + + n() 在极坐标中绘制幅相频率特性,要花较多时间，而在绘制对数幅频特性时,有 L() =20 lgA() = 20lgA1() + 20lgA2() + + 20lgAn() = L1()+L2()+Ln() 2Bode图法的特点 （1）横坐标按频率取对数分度，低频部分展宽，而高频部分缩小。 （2）幅频特性取分贝数20Lg|GH|后，使各因子间的乘除运算变为加减运算，在Bode图上则变为各因子幅频特性曲线的叠加，大大简化了作图过程，使系统设计和分析变得容易。（3）可采用由直线段构成的渐近特性（或稍加修正）代替精确Bode图，使绘图十分简便。 5.3.2 典型环节的伯德

17、图 1. 比例环节（K） 00K=1K1K1说明比例环节可以完全、真实地复现任何频率的输入信号，幅值上有放大或衰减作用；()=0,表示输出与输入同相位，既不超前也不滞后。2、积分环节000.110120-90-180-20 频率每增加10倍，幅频特性下降20dB，故积分环节的对数幅频特性是一条斜率为-20dB/dec的斜线,并且在=1这一点穿过0dB线。0.10.21210201000db20db40db-20db-40dbL()-20返回积分环节L()3、微分环节000.11012090 微分环节的对数幅频特性是一条斜率为+20dB/dec的斜线,并且在=1这一点穿过0dB线。0.10.21

18、210201000db20db40db-20db-40dbL()+20返回微分环节L() 4.惯性环节 (1)对数幅频特性 为简化对数频率特性曲线的绘制，常常使用渐近对数幅频特性曲线。1.低频段在T1(或1(或1/T)的区段,可以近似地认为 L()为因变量，lg为自变量，因此对数频率特性曲线是一条斜线, 斜率为-20dB/dec, 称为高频渐近线，与低频渐近线的交点为T =1/T，T 称为转折频率，是绘制惯性环节的对数频率特性时的一个重要参数。（2）对数相频特性 精确相频特性为: () = -arctan (T)； 对数相频特性曲线将对应于=1/T及()=-45这一点斜对称，如图所示，可以清楚

19、地看出在整个频率范围内，()程滞后持续增加的趋势，极限为-90。0.10.21210201000db20db40db-20db-40dbL()+208db返回惯性环节L()5一阶微分环节（Ts1） 1. 低频段 在T1(或1(或1/T)的区段,可以近似地认为高频渐近线是一条斜线, 斜率为20dB/dec, 当频率变化10倍频时,L()变化20dB。转折频率为T=1/T。 可知,一阶微分环节的对数幅频特性和相频特性与惯性环节的相应特性互以横轴为镜像。精确曲线的修正方法也与惯性环节相同。但需要注意到修正值的符号相反。如转折频率处T对应的精确值是L（T）=0+3=3dB。0.10.212102010

20、00db20db40db-20db-40dbL()+20-8db一阶微分L() 6二阶振荡环节 （1）对数幅频特性 1.低频段T1(或1(或1/T)时,并考虑到（01），有L() -20lg(T)2= -40lg(T)=-40lgT-40lg dB这说明高频段是一条斜率为-40dB/dec的斜线,称为高频渐近线。T=1/T为低频渐近线与高频渐近线交点处的横坐标，称为转折频率，也就是环节的无阻尼自然振荡频率n。（2）相频特性 可知，当=0时，()=0；=1/T时，()=-90；时，() -180。与惯性环节相似，振荡环节的对数相频特性曲线将对应于=1/T及() =-90这一点斜对称。 振荡环节具

21、有相位滞后的作用，输出滞后于输入的范围为0-180；同时的取值对曲线形状的影响较大。0db20db40db-20db-40dbL()返回0.1110100-40振荡环节L() 8延迟（滞后）环节（e-Ts） ()是呈指数规律下降的曲线，随增加而滞后无限增加，5.3.3 一般系统伯德图作图方法幅频特性由各典型环节幅频特性叠加；相频特性由各典型环节相频特性叠加。3、画近似幅频折线和相频曲线并叠加04020-40-200.22200.40.60.81468103结论： 先比例，后积分，然后按照转折频率由小到大的顺序。0.10.51210301000db20db40db-20db-40dbL()-20

22、-40-20-40返回低频段：时为38db转折频率：0.5 2 30斜率： -40 -20 -40时为52db L()曲线5.3.4 最小相位系统最小相位系统具有最小相位传递函数的系统。最小相位传递函数在s右半平面既无极点、又无零点的传递函数，称最小相位传递函数；否则，为非最小相位传递函数。000结论: 对于相同阶次的基本环节,当连续变化时,最小相位的基本环节造成的相移是最小的。 对于最小相位系统，知道了幅频特性，其相频特性就唯一确定，而非最小相位系统则不唯一确定。 实用的大多数系统为最小相位系统，为了简化工作量，对于最小相位系统的伯德图，可以只画幅频特性。1、对于0型系统5.3.5 由频率特

23、性曲线求系统传递函数2、对于 I 型系统1-6013、对于 II 型系统115.4 乃奎斯特稳定判据利用开环系统的乃奎斯特图，来判断系统闭环后的稳定性。系统某些环节的传函无法列写，可通过实验方法获得这些环节的频率特性曲线可以解决包含延迟环节的系统稳定性问题整个系统的开环频率特性曲线代数判据无法解决-系统稳定的充要条件:的全部根，都必须位于左半s平面。乃奎斯特稳定判据的方法：作出开环传递函数 的乃奎斯特曲线，根据曲线判断闭环系统的稳定性。这一判据是由H.nyquist首先提出来的。 控制系统设计中，一些元件的数学表达式往往是未知的，仅仅知道它们的频率响应数据，所以采用这种稳定性分析方法比较方便。 由解析的方法、或者由实验的方法得到的开环频率响应曲线，都可以用来进行稳定性分析。 闭环系统的稳定性可以由开环频率响应曲线图解确定，无需实际求出闭环极点，所以这种判据在控制工程中得到了广泛应用。5.4.1米哈伊洛夫定理 证明Nyquist判据的一个引理 证明：先看一次式000再来研究零点在右半S平面的一次式00 的角增量为问题：若n次多项式D(s)的所有根都在复平面的左半面，则当以s=jw带入D(s)，并令w从0连续增大到无穷大时，复数D(jw)的角增量连续增大？0+5.4.2 Nyquist